陳橋楓，雷升祥, ，趙偉，肖清華，李聰明

(1. 西南交通大學 交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2. 中國鐵建股份有限公司，北京 100855；3. 中鐵十八局集團有限公司，天津 300222)

目前，既有地下空間的網(wǎng)絡化拓建成為城市發(fā)展的必然趨勢，由于既有地下結構及周邊環(huán)境對地層變形的強敏感性，地層及結構變形控制成為拓建施工的重點管控內(nèi)容之一。如圖1(a)所示地下污水、燃氣等市政管線和圖1(b)所示的既有地下結構均對臨近基坑變形有嚴格的控制。經(jīng)典的朗肯(Rankine)或庫倫(Coulomb)土壓力理論廣泛應用于基坑支護的土壓力計算，其適用條件是地層在半無限空間中延伸、需基于一定程度的位移且形成了極限平衡狀態(tài)。城市地下拓建工程中大量存在的有限土體寬度與經(jīng)典土壓力理論的半無限空間假定存在較大差別，且拓建施工對變形的控制嚴格，有限的地層變形不足以達到極限平衡的狀態(tài)，土壓力計算不能直接采用經(jīng)典土壓力理論，需要研究新的有限土體土壓力計算方法。在有限土體土壓力研究方面，國內(nèi)外學者做了大量的研究工作。FANG等[1-3]研究了不同位移模式對有限土體土壓力的影響，提出支護結構運動方式的不同導致土壓力分布模式不同；黨發(fā)寧等[4]引入Duncan-Chang 非線性彈性模型中的切線模量來反映土體模量隨土壓力的變化，依據(jù)線彈性本構理論建立了有限位移條件下支護結構的土壓力計算方法；汪來等[5-9]研究建立了基于極限平衡法的有限土寬度土體壓力的計算方法。方燾等[10]采用自主設計的自動控制模型箱，開展了墻后土體不同位移模式下的主動土壓力試驗，并通過ABAQUS進行數(shù)值模擬的分析比較；此外，肖昕迪等[11]用離散元方法、TAKE等[12]通過一系列離心試驗論證土拱效應對有限土體土壓力的影響。研究表明，目前有關有限土體土壓力的計算主要基于土體破壞極限狀態(tài)的平衡理論，并充分利用了土體的極限抗剪強度。但對于城市地下空間拓建工程來說，地層變形控制嚴格，有限范圍內(nèi)土體可能無法達到滑動面貫通破壞的極限狀態(tài)，土體的抗剪強度并未充分發(fā)揮，以假想滑動面上的抗剪強度作為剪應力建立平衡方程，求得的土壓力與實際情況存在一定出入。為更好地滿足拓建工程有限土體情況下，基坑支護結構的設計和施工對土壓力計算和變形控制的需要，有必要進一步深入研究有限土體土壓力的計算方法?；诹W平衡理論和土拱效應原理，考慮支護結構位移與有限土體的相互影響，研究非極限狀態(tài)下的有限土體土壓力計算方法，為土壓力研究和城市地下空間拓展建造提供參考。

1 無水平位移有限土體土壓力計算

1.1 經(jīng)典土壓力理論的應用條件

經(jīng)典土壓力計算方法有2個嚴格的前提條件，一是支護的水平位移要使土體產(chǎn)生貫通滑動面，二是在半無限空間內(nèi)。當支護結構的水平位移有嚴格限制，無法直接用經(jīng)典土壓力計算方法，且不能用楔體的極限平衡方法推求有限土體的土壓力。

圖2為支護結構位移與土壓力關系?？梢钥闯?，主動土壓力狀態(tài)(Ea)是土體在水平方向卸荷直至破壞時的瞬時狀態(tài)，被動土壓力狀態(tài)(EP)是土體水平方向上受到壓縮直至破壞時的瞬時狀態(tài)。主動土壓力和被動土壓力分別是2種極限狀態(tài)。這2種狀態(tài)中間，除了未受到土層變形影響、應力狀態(tài)沒有改變的靜止土壓力狀態(tài)(E0)外，還有范圍更廣的土壓力狀態(tài)分布。

靜止土壓力是支護無側向變位或側向變位微小時，土體作用于支護結構上的土壓力?！稓W洲巖土設計規(guī)范Eurocode 7》(BS EN1997-1: 2004)規(guī)定當擋土結構的位移ya≤0.05%h時(h為墻高)，土體作用于墻面上的土壓力為靜止土壓力[13]。相關研究表明[14]，對于密實砂土層，達到主動土壓力的極限狀態(tài)時支護結構的位移ya為0.1%h；對于松散砂土，ya為0.5%h。

當支護結構近似于靜止狀態(tài)時，可采用靜止土壓力，隨著支護結構遠離土體，土壓力逐漸過渡到極限主動土壓力狀態(tài)。BANG[15]給出了“中間主動土壓力狀態(tài)”的概念，提出在不同位移條件下土體內(nèi)剪切強度發(fā)揮程度是不同的。

在城市地下工程的拓建施工中，常遇到支護結構僅允許向基坑內(nèi)側移動某一很小的位移，土體并沒有達到滑動破壞極限狀態(tài)，這時支護結構受到的土壓力介于靜止土壓力和主動土壓力之間。

1.2 有限土體拱效應形成機理

水在靜止狀態(tài)下沒有抗剪強度，所以水向任何方向的壓力都相等；相反地，因為土體有抗剪強度，所以具有在不同的方向上，或者根據(jù)變形的不同，土壓力的大小也不同這樣奇妙的性質。

由于一部分土體相對于另外一部分土體的移動而產(chǎn)生的剪切應力使得土的強度被破壞，是建筑物地基和土坡毀壞的主要的、也是最常見的形式。土體小變形條件下，在有限土體內(nèi)部，如果土體的一部分移動，而其余部分保持其原來位置不動，土體中這種相對運動受到移動土體與不動土體接觸面的抗剪強度的阻抗，因為抗剪強度有趨向保持移動土體原來的位置，故它使移動部分土體上的壓力減小，而使不動部分土體上的壓力增加。這種移動土體把壓力傳遞給相鄰不動部分的傳遞作用叫做拱作用，也即所說的土拱效應?？梢钥闯?，土拱效應的發(fā)生有2個前提條件，一是抗剪強度的存在，且并不需要土的抗剪強度完全發(fā)揮出來；二是土體中有變形發(fā)生(或者有變形的趨勢)，且土體的變形不需要達到破壞的極限狀態(tài)。無論在施工現(xiàn)場還是實驗室中，土拱效應是土體中所遇到的最普遍的現(xiàn)象之一，即便土體處于彈性變形狀態(tài)，只要土體中有位移或者有發(fā)生的趨勢，土拱效應便隨之發(fā)生。

根據(jù)有關研究[9-10]，有限土體極限狀態(tài)下發(fā)生由上矩形部分和下三角形部分組成的梯形截面，變形從支護底部開始發(fā)生，且過程中表現(xiàn)為整體下沉?；诖耍瑸榱苏f明有限土體內(nèi)部拱效應的形成機理，作如下假設：1) 支護體系剛度足夠大，不發(fā)生水平向位移和變形；2) 墻體和有限土體接觸面粗糙；3) 有限土體底部具有向下的位移或具有向下移動的趨勢。

圖3為有限土體土壓力計算模型，兩垂直平行的墻AB和CD間土體寬度為2b1。如果兩墻間土體寬度滿足墻下部A點(或C點)的滑動邊線與土體的自由面(頂面)相交，則擋土墻上的土壓力按正常情況考慮，如果被墻體所阻斷，則中間土體在下沉時所產(chǎn)生的墻表面的摩擦力，將承受一部分土體重量，土體主應力發(fā)生偏轉，內(nèi)部形成上凸的土拱。由此可見，墻與有限土體間的摩擦阻力，是土拱效應形成的前提。

1.3 無水平變形有限土體受力分析

利用水平薄層單元豎向靜力平衡的方法，研究無水平位移的有限土體土壓力計算問題。

做一初始假定，有限土體未發(fā)生水平位移，用2個水平面劃分出一個厚度為dz的薄層土體單元(見圖3)，σv為豎向應力，σh為墻-土法向接觸力，τh為墻-土切向接觸力(摩阻力)，δ為土與墻的摩擦角，γ為土的重度，b1為有限土體的一半寬度；沿墻的厚度取單位長度，水平薄層單元受到圖3所示的力的作用，表示如下：1) 單元土體的自重：g=2b1γdz；2) 單元上部豎向壓力：2b1σv；3) 單元下部豎向壓力：2b1(σv+dσv)；4) 墻體對單元側面的水平壓力：σhdz；5) 墻體對單元側面的摩阻力：τhdz=σhtgδdz, 其 中，σh=k0σv，k0為 靜 止 側 壓 力系數(shù)。

1.4 微分方程及其求解

建立圖3水平薄層單元的豎向力平衡方程：

由z=0，σv=q，故：

和

當無地面超載，即q=0時，

和

上述公式推導表明，隨著深度z的增加，豎向壓力σv的增量以及墻上側向壓力σh的增量將越來越小，并趨于穩(wěn)定，并非經(jīng)典土壓力呈線性增加的特點；地面超載、墻-土摩擦角和土體寬度對有限土體的土壓力分布有重要影響。當深度到達一定程度時，e-Cz數(shù)值在大多數(shù)情況下可忽略不計，此時的豎向壓力將等于常數(shù)：

1.5 有限土體土壓力合力及其作用位置

對式(6)在深度(z)方向積分，求高度為H的無水平位移有限土體土壓力的合力EL0。

下面求EL0作用點位置，如圖4所示，有限土體土壓力的合力EL0對O點的力矩為：

有限土體壓力EL0對O點的力矩為：

令ME=Mσ，則有限土體土壓力合力作用點到O點的距離a為：

1.6 無水平位移有限土體土壓力的分布特點

下面舉例分析無水平位移有限土體土壓力的分布特點，假定某砂土層重度γ=21 kN/m3，變形模量Es=120 MPa，黏聚力c=0 MPa，泊松比μ=0.3，內(nèi)摩擦角φ=35°，墻-土摩擦角δ=15°，靜止側壓力系數(shù)k0=0.57，地面超載q=20 kPa，有限土體寬度2b1=3.6 m。

相關參數(shù)代入可得：

由式(3)得有限土體豎向土壓力分布為：

有限土體水平土壓力分布為：

圖5(a)為無水平位移有限土體的土壓力及半無限土體靜止土壓力計算結果?？梢钥闯觯?0 m深度處，靜止土壓力為131.1 kPa，有限土體的土壓力為84.75 kPa，為靜止土壓力的64.6%；當基坑深度20 m時，靜止土壓力為250.8 kPa，有限土體的土壓力為116.6 kPa，僅為靜止土壓力的46.5%。計算分析說明，有限土體情況下，由于土拱效應的存在，有限土體土壓力隨著深度的增加而增加，但增量表現(xiàn)出非線性遞減的特征。

改變土與墻摩擦角，分別取δ=0°，10°，15°，20°，25° 5種情況，保持其他參數(shù)不變，計算有限土體土壓力與深度關系，計算結果如圖5(b)所示?？梢钥闯霎攭Ρ彻饣?，即δ=0°時，無土拱效應現(xiàn)象，有限土體土壓力為靜止土壓力。當δ≠0°時，有限土體土壓力非線性增加，δ越大，增幅越低，且更快接近收斂值。以深度方向每增加0.1 m，水平土壓力增量0.5%作為水平壓力的收斂的分界值，δ=10°，15°，20°，25°的分界深度分別是12.5，10.7，9.4和8.3 m。

假設僅改變有限土體寬度，分別取2b1=1.6，2.6，3.6，4.6和5.6 m 5種情況，保持其他參數(shù)不變，計算土壓力與土體寬度的關系，計算結果如圖5(c)所示。隨著有限土體寬度2b1增大，有限土體土壓力非線性增加(增量降低)，且寬度越小，拱效應越明顯，有限土體土壓力收斂越快。且隨著深寬比的增大，有限土體土壓力的增量逐漸降低。假定墻高H=10 m，2b1=3.6 m，將所給參數(shù)代入式(7)得有限土體土壓力的合力為EL0=536.59 kPa。代入式(9)得有限土體壓力的合力到土體頂部的距離a=6.138 m。

2 限定水平位移有限土體土壓力計算

借鑒力矩分配法對不平衡彎矩按相對剛度進行漸近分配思想，研究有限土體土壓力的漸近法力學機制。以簡單的懸臂支護結構為例，說明漸近法計算限定水平位移時有限土體土壓力的計算過程。圖6為漸近法土壓力計算原理圖。

圖6(a)所示懸臂支護結構的高度為H，無水平位移時有限土體土壓力為σh，σh作用下支護結構位移為v1，頂端位移為Δ1。顯然，σh與v1實際上不可能達到，因為支護結構向基坑方向變形后，原本壓縮的有限土體水平方向松弛，土壓力降低，小于σh；同樣地，支護結構在小于σh的實際水平土壓力下，位移也會小于v1。

拓建工程的地層變形常常受到嚴格限制，可將有限土體視為理想彈性材料，忽略非線性變形的影響，其水平壓縮剛度仍假定為溫克爾彈性模量KH；圖6(a)中，當支護結構變形v1，可以看作有限土體從開挖前的初始狀態(tài)伸長了v1，相應地其土壓力減小了KHv1，由此，可以假想給支護結構一個相反的作用力KHv1，并產(chǎn)生偏向土體側的位移v2，如圖6(b)所示。

如前所述，v2實際上也是不可能達到的，因為支護向土體側變形時，土體會受到壓縮，支護結構受到土壓力KHv2的作用，如圖6(c)所示，將產(chǎn)生變形v3，在KHv3作用下，支護結構變形v4，依此規(guī)律，交替出現(xiàn)不同方向的土壓力增減和支護結構變形，由于支護結構本身的剛度，交替計算下的量值逐漸降低，以此求得有限土體土壓力結構的變形(v)及土壓力分布(σL)近似解。即：

3 有限土體土壓力漸近法求解方法

仍以上述懸臂支護結構為例，說明有限土體土壓力漸近法求解的具體過程。下面的推導公式中，E為支護結構彈性模量，I為支護結構(取1 m長度)的橫截面慣性矩。

1) 求解圖6(a)中σh，v1，Δ1

建立支護結構撓曲線微分方程：

對支護結構的撓曲線微分方程一次積分得：

根據(jù)z=0時，可求得積分常數(shù)；對支護結構的撓曲線微分方程二次積分得：v1=

根據(jù)z=0時，v1=0，可求得積分常數(shù)；當z=H時，Δ1=v1

2) 求解圖6(b)中v2，Δ2

建立支護結構撓曲線微分方程：

對支護結構的撓曲線微分方程一次積分得：

根據(jù)z=0時，可求得積分常數(shù)；對支護結構的撓曲線微分方程二次積分得：v2=

根據(jù)z=0時，v2=0，可求得積分常數(shù)；當z=H時，Δ2=v2

同理，可求得后續(xù)的vi和Δi，將上述結果代入式(10)：

令

則式(13)可轉化為：

假設支護結構墻厚為h，縱向長度取為1 m，則I代入式(14)得

給定基坑支護結構頂部最大水平位移限值Δmax，則可根據(jù)式(15)求得支護結構的最小厚度，并根據(jù)式(12)求得限定水平位移時有限土體的土壓力。

上述推導了限定水平位移情況下的有限土體土壓力和支護結構厚度的確定方法，可以作為基坑穩(wěn)定性校核和支護結構設計的基礎。

4 飽和靜水場有限土體土壓力

地下水對有限土體的土壓力計算有重要的影響，下面分析飽和靜水場狀態(tài)下，無黏性有限土體土壓力的計算問題。采用水土分算，并作如下假定：

1) 有限土體受到水的浮力，計算土壓力時采用浮重度γ′；2) 忽略水對無黏性土強度指標φ值的影響；3) 忽略靜止土壓力系數(shù)k0的變化；4) 地下水使墻土間摩擦角減小，摩阻力降低。

仍以圖3所示的薄層單元為例，按水土分算，由于水無抗剪強度，因此由水產(chǎn)生的水平壓力系數(shù)為1，且在墻面無剪應力發(fā)生，墻-土間摩阻力僅由土體有效重度產(chǎn)生的水平側壓力產(chǎn)生。

水平土壓力：

墻-土摩阻力：

水平水壓力：

總水平壓力：

其中：γ′為土的浮重度；γw為水的重度。

根據(jù)土拱效應的水平薄層豎向力平衡方程，可求得：

等式(16)右邊第1項為浮重度產(chǎn)生的水平側壓力，第2項為地下水產(chǎn)生的側壓力。式(17)Cw為與墻-土摩擦角δw(非零)有關的常數(shù)。

選 取 砂 土 層 重 度γ′=11 kN/m3，水 重 度γw=10 kN/m3，墻-土摩擦角δw=10°，靜止側壓力系數(shù)k0=0.57，有限土體寬度2b1=3.6 m，地面超載q=20 kPa，假定水位位于z=0 m處。

根據(jù)式(16)可得飽和靜水場狀態(tài)下有限土體的土壓力為：

σhw=10.2+1.2e-0.05584z+10z

圖7為飽和有限土體壓力和非飽和有限土體壓力計算結果。計算表明，當深度小于5 m時，飽和情況下土壓力和非飽和情況土壓力接近；當深度大于5 m后，隨著深度的增加，飽和土的土壓力大于非飽和情況，這是由于飽和狀態(tài)下，墻-土間的摩阻力僅由浮重度產(chǎn)生的側壓力貢獻，摩阻力小，弱化了土拱效應；另一方面，飽和土水土分算時，側壓力等于浮重度產(chǎn)生的側壓力和水產(chǎn)生的側壓力之和，由于水無抗剪強度，水產(chǎn)生的側壓力系數(shù)為1，總的側壓力增大。

5 結論

1) 城市地下空間拓建施工地層空間及地層變形受到限制，經(jīng)典土壓力計算方法不能直接套用，有必要采用有限土體土壓力的計算方法。

2) 由于土拱效應的存在，有限土體土壓力隨深度呈非線性增加，且增加的幅度呈遞減趨勢，并趨于收斂；地面超載、墻-土摩擦角和土體寬度對有限土體的土壓力有重要影響。

3) 墻-土間的摩擦阻力是產(chǎn)生土拱效應的前提條件，基于土拱效應的有限土體土壓力漸近法計算方法為拓建工程基坑支護的土壓力計算提供了新思路和方法，為基坑穩(wěn)定驗算和強度校核奠定了基礎。

4) 地下工程施工的很多重大事故，均和沒有預料到的水的作用有關，地下水增大地層總應力，降低土拱效應；隨著深度的繼續(xù)增加，飽和土的土壓力大于非飽和情況。