趙玉萍

(青海民族大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，青海 西寧 810007)

考慮二階非線性中立型時(shí)滯微分方程

函數(shù)x(t)稱為方程(1)的一個(gè)解，如果函數(shù)z(t)和r(t)u(x(t))|z′(t)|α-1z′(t)連 續(xù)可微且在區(qū)間 [t0，∞)上x(t)滿足方程(1).方程(1)的一個(gè)非平凡解稱為振動(dòng)的，如果它有任意大的零點(diǎn)，否則，稱它為非振動(dòng)的.方程(1)的一切解均振動(dòng)，則稱方程(1)為振動(dòng)的.

近年來(lái)，二階非線性中立型時(shí)滯微分方程被廣泛應(yīng)用在智能機(jī)器人、天體物理、動(dòng)力系統(tǒng)和其他高新技術(shù)領(lǐng)域中，許多學(xué)者對(duì)其振動(dòng)性的研究產(chǎn)生了濃厚興趣[1-11].Agarwal[1]研究了二階半線性中立型時(shí)滯微分方程

的振動(dòng)性.

吳英柱[2]將上述方程進(jìn)行了擴(kuò)展,研究了二階非線性中立型時(shí)滯微分方程

的振動(dòng)性，給出了多個(gè)振動(dòng)定理,改進(jìn)了文獻(xiàn)[1]的結(jié)果.

武秀麗[3]研究了二階非線性中立型時(shí)滯微分方程

的振動(dòng)性，獲得了3 個(gè)振動(dòng)定理，進(jìn)一步改進(jìn)了文獻(xiàn)[2]的結(jié)果.方程(2)～(4)都是本文所考慮方程(1)的特例，本文借助Riccati 變換、微分中值定理和不等式技巧研究方程(1)的振動(dòng)性，建立新的振動(dòng)準(zhǔn)則，推廣和改進(jìn)了現(xiàn)有文獻(xiàn)的研究結(jié)果，本文研究的方程更廣泛.

1 基本引理

為了證明文中的結(jié)果，先介紹下面幾個(gè)引理.

2 主要結(jié)果

定理 1設(shè)條件(H1)～(H4)成立，若存在函數(shù) φ (t)∈([t0,+∞),R+)，使得

其中B(t)=q(t)δ(t)(1-p(σ(t)))β，則方程(1)振動(dòng).

證明設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，不失一般性，設(shè)x(t) 為 [t0,∞)上 的正解(x(t)＜0的情況類似可證)，對(duì)引理3 中的(13)式從t0到t積分，得

當(dāng)t→∞時(shí)，由已知得w(t)→-∞，這與w(t)＞0矛盾.定理3 證畢.

下面用Philos 型積分平均給出定理4，考慮集合D={(t,s):t≥s≥t0}，D0={(t,s):t＞s≥t0}.

函數(shù)H∈C(D,R)，稱為屬于D類，記做H(t,s)∈X，如果H滿足下列條件：

其中B(t)=q(t)δ(t)(1-p(σ(t)))β，則方程(1)振動(dòng).

證明設(shè)x(t)是方程(1)的非振動(dòng)解，不失一般性，設(shè)x(t) 為 [t0,∞)上 的正解(x(t)＜0的情況類似可證)，由引理2 中的(12)式和(H4)，可得

3 結(jié)果的應(yīng)用