薛婷婷，曹虹，姜永勝，劉元彬

(新疆工程學院 數(shù)理學院，新疆 烏魯木齊 830000)

Hamiltonian 系統(tǒng)廣泛存在于數(shù)理科學，生命科學以及社會科學的各個領域，特別是經(jīng)典力學與天體力學、等離子物理、航天科學以及生物工程中的很多模型都以Hamiltonian 系統(tǒng)(或它的擾動系統(tǒng))的形式出現(xiàn).近年來，含左右分數(shù)階微分算子的方程在反常擴散的物理現(xiàn)象中有著廣泛應用，例如分數(shù)階對流擴散方程[1-2].其中，含有左右分數(shù)階微分算子的Hamiltonian 系統(tǒng)成為分數(shù)階微分方程理論中的一個新的領域，并取得了一系列解存在的結果[3-8].例如，Cesar Torres 在文獻[8]中首次研究分數(shù)階Hamiltonian 系統(tǒng)

作者通過山路定理，在L(t)是正定且強制的條件下，得到上述系統(tǒng)至少有一個非平凡解.

Kirchhoff 方程是波動方程的擴展，該方程最早于1883 年由Kirchhoff[9]在研究彈性弦的自由振動時所提出.Kirchhoff 型微分方程在諸多領域都有廣泛的應用，包括非牛頓力學、宇宙物理學、彈性理論電磁學及人口動力學等.近年來，國內(nèi)外眾多學者開始研究Kirchhoff 型方程問題，但由于Kirchhoff 項是非線性的且分數(shù)階微分算子是非局部算子，這給(PS)條件的驗證、Nehari 流形和值映射凸性的驗證帶來了一定的困難，從而導致Kirchhoff 型分數(shù)階微分方程的研究比較復雜，與該方程有關的研究工作也不多[10-19].

受以上文獻啟發(fā)，本文研究如下一類Kirchhoff 型分數(shù)階Hamiltonian 系統(tǒng)(簡記為KH)

通過構造合適的分數(shù)階空間，在對稱矩陣L(t)滿足半正定的條件下，給出新的嵌入定理及幾個重要的不等式，利用臨界點理論，研究上述系統(tǒng)基態(tài)解的存在性和集中性.

1 預備知識

2 系統(tǒng)(1)基態(tài)解的存在性

注4由于Kirchhoff 項是非線性的，這給PS 條件的驗證帶來了一定的困難.此外，當a=1，b=0時，KH(1)退化為文獻[17]所研究的不帶Kirchhoff 項的問題.

3 系統(tǒng)(1)基態(tài)解的集中性