汪程

不等式證明題的題型多變，解法多種多樣，對(duì)同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維和邏輯推理能力有較高的要求.證明不等式的方法有很多種，如比較法、分析法、綜合法、導(dǎo)數(shù)法、構(gòu)造法、放縮法等.下面重點(diǎn)探討一下比較法、綜合法、分析法、放縮法.

一、比較法

比較法是證明不等式的基礎(chǔ)性方法.運(yùn)用比較法證明不等式，需將不等式左右兩邊的式子作商或作差，然后將商式與1進(jìn)行比較，將差式與0作比較，再根據(jù)所得的結(jié)果證明不等式.

例1.

二、綜合法

綜合法是證明不等式問(wèn)題的常用方法，對(duì)一些較為復(fù)雜的不等式證明題，通常采用綜合法求證.運(yùn)用綜合法證明不等式，往往要將已知條件與所證目標(biāo)關(guān)聯(lián)起來(lái)，從已知條件出發(fā)，尋找相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)等對(duì)不等式進(jìn)行變形，通過(guò)一系列的推理、運(yùn)算，推出目標(biāo)不等式.

例2.

本題中的目標(biāo)不等式較為復(fù)雜，需由條件出發(fā)，根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)和不等式的可加性、傳遞性、可乘性證明結(jié)論.

三、分析法

分析法是指從所要求證的目標(biāo)出發(fā)，利用相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)等進(jìn)行推導(dǎo)，逐步找到使得命題成立的充分條件，直至得到使不等式明顯成立的條件.運(yùn)用分析法證明不等式，需“執(zhí)果尋因”，采用“要證——?jiǎng)t證——即需證——即證”的格式.

例3.

四、放縮法

有些不等式較為復(fù)雜，利用相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)無(wú)法直接證明不等式，需將不等式一側(cè)或兩側(cè)的式子放大或者縮小，再利用不等式的傳遞性證明不等式成立.若要證明A≤B，可以將B縮小成為D≤B，或者將A放大成為A≤C，然后證明A≤C≤D≤B，從而證明不等式.

例4.

解答本題，主要運(yùn)用了放縮法，先將不等式左邊的式子平方，并縮小，只要證明縮小后的代數(shù)式依然大于1，則可利用不等式的傳遞性則證明不等式左邊的式子也大于1.

同學(xué)們?cè)谧C明不等式時(shí)，要仔細(xì)觀察所要求證的不等式，抓住其特點(diǎn)，明確其結(jié)構(gòu)，并將其與已知條件關(guān)聯(lián)起來(lái)，然后將其左右的式子作商、作差，放縮，利用相關(guān)的公式、定理、性質(zhì)進(jìn)行推理、運(yùn)算，靈活運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法來(lái)證明.

（作者單位：湖北省十堰市鄖陽(yáng)中學(xué)）