王震，王思懿，王鑫，吳錚

（1.南京信息工程大學 長望學院，江蘇南京，210044；2.南京信息工程大學 計算機與軟件學院，江蘇南京，210044）

0 引言

中國天眼（簡稱FAST）是我國發(fā)明的目前世界上口徑最大的射電望遠鏡[1]，它的主要組成部分包括主動反射面、信號接收系統(tǒng)（饋源艙）等。其中主動反射面是一個可調(diào)節(jié)球面，由主索網(wǎng)、反射面板、下拉索、促動器等部件構成，反射面板、主索網(wǎng)的連接示意圖如圖1所示。主動反射面不工作時處于基準態(tài)，呈現(xiàn)為一個半徑R約300米。

圖1 反射面板、主索網(wǎng)的連接示意圖

口徑約500米的基準球面。當FAST對目標天體進行觀測時，底端固定在地面上、沿基準球面徑向安裝的促動器，通過改變徑向伸縮量，拉動連接的主索節(jié)點，從而調(diào)節(jié)反射面板位置，使得主動反射面調(diào)節(jié)為合成工作面，將來自天體的電磁波經(jīng)反射匯聚到饋源艙。合成工作面的口徑為300米，饋源艙接收平面中心的移動軌跡形成的焦面與基準球面同心，半徑差為F=0.466R，天體S的方位用方位角α和仰角β來表示。

結合上述背景，在確定理想拋物面方法的基礎上，當天體S位于方位角α= 36.795°，仰角β= 78.169°時，確定此時的理想拋物面，并建立反射面板的調(diào)節(jié)模型，使得相應促動器在調(diào)節(jié)后，形成的反射面盡可能貼合得到的理想拋物面。最后，得到理想拋物面的頂點坐標、合成工作面所包含的主索節(jié)點的編號、位置坐標，以及各促動器的伸縮量。

圖2 剖面圖

1 問題分析

需要找到滿足促動器伸縮比在合適范圍內(nèi)，最接近拋物面的合成工作面。原信號入射角并非垂直向下，而拋物面方程在正向為坐標軸方向的情形下，具有最容易求解的形式，因而旋轉坐標系，使信號沿z軸射入。主索節(jié)點隨促動器的伸縮與下拉索的轉動，具有高自由度。為了簡化求解難度，將主索節(jié)點限制在預設的合成工作面上，從而減少了主索節(jié)點的自由度。另一方面，主索長度變化不能超過0.07%，直接處理這些幾何約束會導致極大的計算復雜度，因而通過將長度約束轉化為面積約束，建立由基準球面向拋物面的投影模型。最后，以調(diào)整后主索節(jié)點到拋物面的距離平方和為優(yōu)化目標，促動器伸縮極限為約束條件，求得最佳的合成工作面以及對應的主索節(jié)點坐標。

2 模型假設

為使建立的模型得到簡化，本文進行了以下合理假設：

天文觀測中，信號源距離地球十分遙遠，可以假設電磁波信號沿直線平行入射到主動反射面。

表1 符號說明

3 主動反射面調(diào)節(jié)模型

除了需要確定理想拋物面，還根據(jù)確定的拋物面，調(diào)節(jié)與反射面板相連接的促動器的伸縮量，使得信號匯聚效果達到最優(yōu)狀態(tài)。

■3.1 坐標系旋轉變換

設天體的方位角α為36.795°，仰角β為78.169°，此時，理想拋物面的頂點相比于位于基準球面球心正下方，空間上會偏移一定的角度，方位為( -α,-β)。然而因為大多數(shù)情況下，當拋物面的焦點位于z軸上時，拋物面的方程易得，所以需要先進行坐標系的旋轉變換，這里，以天體所在方位(α,β)為例，給出變換過程，如圖4所示。首先，將(a)中的SC繞z軸旋轉θ角，θ= -α，轉到(b)中的位置，此時SC處于xCz平面，旋轉矩陣為：

圖3 流程圖

圖4 坐標變換過程

接著，將SC從(b)中的位置繞y軸旋轉φ角，φ= 90°-β，轉到(c)中的位置，旋轉矩陣為：

此時旋轉結束，SC從最初的方位(α,β)旋轉到了方位( 0,90°)，即旋轉到了z軸上。兩次變換過程的總旋轉矩陣為：

將總旋轉矩陣應用到坐標系中主索節(jié)點，轉換為新坐標系下的坐標，并對新坐標根據(jù)其到z軸的水平距離，找出水平距離在150m以內(nèi)的所有點，共有692個，由近及遠進行編號，其中D23旋轉后的坐標的水平距離最接近頂點。最后，再通過坐標系回轉，可以得到原來坐標系中點的坐標。

■3.2 基準球面到合成工作面投影模型

3.2.1 合成工作面方程

下拉索可以任意角度旋轉，這使得每個主索節(jié)點具有三個自由度，大大增加了求解難度，因此我們假設存在這樣的合成工作面，它由基準球面f1(x,y,z):x2+y2+z2=300和理想拋物f2(x,y,z):x2+y2-560z-78109=0面組合而成，所有的主索節(jié)點可以完全落于這個面上，方程為：

為了保持求解方法的適應能力，令k隨坐標變化取不同的值，另一方面，因為基準球面與理想拋物面的模型均關于z軸中心對稱，因而同樣希望k關于垂直z軸的各個方向同性，最終建立k的函數(shù)形式：

3.2.2 主索投影的長度約束

為了使策略更準確規(guī)定相鄰主索節(jié)點間距離變化幅度不超過0.07%，給了每個主索節(jié)點很強的位置約束，利用這種位置約束關系可以進一步降低主索節(jié)點的運動自由度。圖5給出了因為促動器伸縮導致主索上下位移的示意圖，主索距離基準球面的微小位移為Rδ，可以認為下拉索的用力變化ropeFδ與之具有一定的線性關系：

圖5 主索下拉圖

根據(jù)胡克定律，彈性介質(zhì)受力的微小變化與其形變成正比，假設下拉索的用力變化為主索形變的主要原因，則可以得到如下的關系：

其中，xδ為主索的形變量。

對于主索兩端距離基準球面微小位移不同的情形，且認為當兩端促動器均下移0.6m時，主索受力最大，達到形變極限0.07%：

3.2.3 基于長度約束的逐點投影方法

基于上述的長度約束建立逐點投影方法，確定合成工作面上各主索節(jié)點的位置方案如下。

假設合成工作面上有相鄰已知點A(xA,yA,zA)、B(xB,yB,zB), 需求解與兩點相鄰的另一未知點C(xC,yC,zC)?？梢越⑷缦碌募s束方程組：

其中BCλ與ACλ分別為BC段主索與AC段主索的拉伸比，BCl與ACl分別為BC段主索與AC段主索的原長。一個合成工作面約束、兩個長度關系約束可以完全求得未知點C的坐標。

3.2.4 基于面積約束的逐點投影方法

上述的迭代生成方法對于每個合成工作面可以完全確定其上主索節(jié)點的坐標，但是每一次生成點需要求解一組非線性方程，每一張合成工作面需要生成上百個點，計算復雜度非常高，且計算點時雖然可以從中心向邊緣依次求解，但微小的偏移會導致誤差無限放大，因而并不可行。

鑒于此，需要進一步簡化模型，因為基準球面和拋物面由1286個反射面板拼接而成，因而可以將離散面簡化為連續(xù)面，并且采用面積約束代替長度約束進一步簡化約束條件。

因為作為連續(xù)面的基準球面與拋物面皆是關于中心軸各向同性的曲面，因而將各主索節(jié)點的水平方向坐標轉化到極坐標系中，為：

因為連續(xù)地合成工作面與基準球面具有各向同性的性質(zhì)，所以基準球面向合成工作面的投影不會改變坐標方位角θ?；鶞是蛎嫔系淖鴺?(r0cosθ,r0sinθ,z0)，投影到合成工作面上的坐標為(r1cosθ,r1sinθ,z1)，投影過程如圖6所示。

圖6 基準球面向合成工作面的投影

為建立0r到1r具體的投影關系，轉而考慮基準球面向合成工作面面元間的映射關系。因為主索節(jié)點之間的距離變動幅度并不大，各反射面的面積變化同樣不大，通過前文所述的投影長度變換，得到合成工作面面元相較于基準面面元的放大比為：

將合成工作面面元面積除以放大比得到與它對應基準球面上的面元面積，對這些面元進行積分。認為水平方向半徑在0r以內(nèi)的基準球面面元的面積與1r以內(nèi)除以放大比之后的拋物面面元的面積積分相等，得到如下的方程組：

式中，base為基準球面面元，work為合成工作面面元。

dSdS

■3.3 基于投影模型的反射面板調(diào)節(jié)模型

3.3.1 促動器伸縮量根據(jù)官方給的基準態(tài)時促動器上端點坐標和促動器下端點坐標，可以解出促動器在基準狀態(tài)下的初始長度約為1.98m。根據(jù)基準態(tài)時主索節(jié)點的坐標和促動器上端的坐標，即每個節(jié)點對應的一根下拉索的長度，范圍約為

關于促動器的伸縮量，由促動器伸縮后的長度和初始長度得到伸縮量。促動器伸縮后的長度可以結合下拉索以及主索節(jié)點，構成如圖7所示的一個長度三角形。圖中的

圖7 長度三角形

因為促動器伸縮方向不變，故用初始上端點和固定的下端點的坐標，刻畫促動器的方向。由于之間會有一個偏移角，設為iφ，可以得到：

由三角形的余弦定理：

3.3.2 目標優(yōu)化模型

（1）k為線性函數(shù)

一般情況下，k不會是完全的常值函數(shù)，因為不同半徑處的基準圓面在逼近拋物面時，具有不同的特征，所以需要隨著r的變化，在不同坐標處會取不同的值。

令k ar b=+，對于不同的a，可以借助上文中的優(yōu)化模型，找出最小的b值，即可以得到a值對應的最接近拋物面的合成工作面。為在這些合成工作面中找到最合適的合成工作面，以調(diào)節(jié)后主索節(jié)點與理想拋物面上的點的距離平方和為優(yōu)化目標，建立改進的目標優(yōu)化模型：

其中，第i個主索節(jié)點坐標與理想拋物面的徑向距離Δdi是通過結合拋物面法線方向與到拋物面的垂直距離近似求解得出。

■3.4 利用遺傳算法求解與分析

（1）k為常數(shù)函數(shù)

以0.01為步長，遍歷k值，畫出促動器伸縮量不滿足約束條件的主索節(jié)點數(shù)的變化見圖8。從圖中可見，隨著工作面逐漸接近理想拋物面，但是不滿足約束條件的主索節(jié)點數(shù)也隨之迅速震蕩增長。而當其經(jīng)過0.4時，超越約束范圍的主索節(jié)點數(shù)目趨于穩(wěn)定，并在k= 0.50時，達到滿足所有約束條件的最小值，此時的距離平方和147.4469。

（2)k為線性函數(shù)

令k=ar+b，其中a與b為搜索變量，搜索區(qū)間分別為[-0 .01,0.01]與■■0 .001,1■■，并滿足k∈ (0,1■■，需要滿足所有約束條件時，距離平方和最小。

由圖8可見，隨著k的變化，函數(shù)具有明顯的震蕩特征，一般的梯度下降法易陷入局部最優(yōu)解。另一方面，這是一個多變量單目標優(yōu)化問題，遍歷求解的計算復雜度較高，因而通過遺傳算法求解模型，解得距離平方和最小為138.9363，此時a= 0.0014，b= 0.3254。

圖8 不滿足約束條件的主節(jié)點數(shù)隨k值的變化

圖9為上文求得的兩種k值對應的促動器伸縮量隨水平坐標的變化圖，以及k為線性函數(shù)時促動器伸縮量與k為常值函數(shù)時的差值。由圖可見，兩者之間的差距極為貼近，但是，因為加入了與水平半徑成正比的擾動項，求得的主索節(jié)點位置變化（通過促動器伸縮量表示）在低值處更低，而在高值處更高，最終使得求出的工作面更貼近理想拋物面。

圖9

將工作面上的主索節(jié)點與促動器伸縮量結合，畫出主動反射面上每個主索節(jié)點對應的促動器伸縮量，得到圖10中的立體圖和平面圖。結合兩張圖可以看到，此時的工作面因為觀測天體相對于z軸有一定的偏移，所以工作面整體會偏向平面的第三象限。再觀察圖10(b)，可以發(fā)現(xiàn)工作面頂點處的促動器伸縮量幾乎為0，說明頂點即周圍一小片工作面是非常貼近基準球面的，這與理想拋物面相對于基準球面的位置關系是比較符合的。

圖10

這里給出求得的部分調(diào)整后的主索節(jié)點坐標和對應的促動器伸縮量，如表2所示。

表2 部分主索節(jié)點坐標和連接的促動器伸縮量