朱 浩 趙清海 張 亮 陳建良 徐 沖

(青島大學(xué)a.機(jī)電工程學(xué)院;b.電動(dòng)汽車智能化動(dòng)力集成技術(shù)國(guó)家地方聯(lián)合工程研究中心,山東 青島 266071)

作為支撐載體,桁架結(jié)構(gòu)因材料的穩(wěn)健性,在橋梁、建筑、運(yùn)輸和航天器結(jié)構(gòu)中均具有廣泛的應(yīng)用[1-3]。桁架結(jié)構(gòu)性能的優(yōu)化設(shè)計(jì)在工程領(lǐng)域仍具有重要研究意義,但僅追求輕量化而忽視桁架的穩(wěn)健性,會(huì)使桁架產(chǎn)生性能波動(dòng)和結(jié)構(gòu)失效問(wèn)題。目前,桁架優(yōu)化主要集中在算法優(yōu)化方面,W.C.DORN[4]引入數(shù)值方法實(shí)現(xiàn)了桁架結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化,解決了使用解析法求解Michell桁架[5]較難實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題;G.I.N.ROZVANY 等人[6]提出的優(yōu)化布局理論,可以實(shí)現(xiàn)桁架結(jié)構(gòu)尺寸、形狀及拓?fù)涞木C合優(yōu)化。近年來(lái),隨著計(jì)算數(shù)學(xué)的大力發(fā)展,以啟發(fā)式算法為代表的現(xiàn)代優(yōu)化算法在桁架優(yōu)化設(shè)計(jì)中也得到了推廣應(yīng)用。S.O.DEGERTEKIN 等人[7]提出了Jaya 算法,解決了桁架結(jié)構(gòu)尺寸、布局、規(guī)模等優(yōu)化問(wèn)題。此后,粒子群算法[8-9]、狼群算法[10--12]、花授粉算法[13-14]等智能算法在結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。B.GEBRAIL等人[15]利用花授粉算法,對(duì)二維和三維桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)行尺寸優(yōu)化,將局部搜索和全局搜索有效地結(jié)合;龔雨兵[16]利用改進(jìn)路徑信息素的蟻群算法,對(duì)多桿平面桁架及空間桁架進(jìn)行分析與優(yōu)化,優(yōu)化效果較傳統(tǒng)智能算法有所提高;LI Y C等人[17]采用改進(jìn)粒子流算法,實(shí)現(xiàn)了桁架形狀與尺寸的優(yōu)化。以上研究雖在算法上改進(jìn)了桁架優(yōu)化率,但沒(méi)有考慮外界不確定因素造成的可靠性問(wèn)題。因此,桁架優(yōu)化開始考慮不確定優(yōu)化設(shè)計(jì)。于利磊等人[18]考慮約束函數(shù)及目標(biāo)函數(shù)的魯棒性,將工程結(jié)構(gòu)穩(wěn)健優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化成雙目標(biāo)穩(wěn)健優(yōu)化問(wèn)題;李小剛等人[19]構(gòu)建了Kriging近似模型的穩(wěn)健優(yōu)化設(shè)計(jì)方法,實(shí)現(xiàn)機(jī)械結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì);M.CARRASCO 等人[20]提出了數(shù)學(xué)規(guī)劃解決方差-期望模型,找到穩(wěn)健結(jié)構(gòu)。上述研究考慮了優(yōu)化中的穩(wěn)健性問(wèn)題,但在數(shù)學(xué)模型精確度上存在優(yōu)化空間。雖然桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)在算法上已取得了一定進(jìn)展,但在工程運(yùn)用中,桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化會(huì)因不確定因素產(chǎn)生穩(wěn)健性問(wèn)題。因此,針對(duì)桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置,本文采用組合近似模型,對(duì)某桁架檢測(cè)裝置可靠穩(wěn)健性進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),該設(shè)計(jì)有效提高了桁架結(jié)構(gòu)的可靠性與穩(wěn)健性,滿足桁架結(jié)構(gòu)輕量化和的設(shè)計(jì)要求。

1 桁架結(jié)構(gòu)及設(shè)計(jì)參數(shù)

桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置三維模型如圖1所示。桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置由4根立柱、2根縱梁、1根橫梁和檢測(cè)機(jī)械臂組成。該裝置處于工作狀態(tài)時(shí),橫梁在2根縱梁上左右移動(dòng),檢測(cè)機(jī)械臂在橫梁上可前后移動(dòng),桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置的工作范圍可覆蓋其所處的三維空間。

圖1 桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置三維模型

對(duì)桁架檢測(cè)裝置模型結(jié)構(gòu)材料參數(shù)進(jìn)行設(shè)置,模型結(jié)構(gòu)材料參數(shù)進(jìn)行設(shè)置如表1所示。

表1 模型結(jié)構(gòu)材料參數(shù)設(shè)置

檢測(cè)機(jī)械臂的材質(zhì)為鋁合金,密度較小,本身質(zhì)量較小,其尺寸優(yōu)化對(duì)檢測(cè)裝置整體質(zhì)量影響較小,因此選擇桁架立柱、橫梁和縱梁截面形狀尺寸作為設(shè)計(jì)變量進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置設(shè)計(jì)變量如圖2所示,圖2中,L1為橫梁截面單元長(zhǎng)度;h1為橫梁截面單元側(cè)壁厚;h2為橫梁截面單元主壁厚;L2為縱梁截面單元長(zhǎng)度;h3為縱梁截面單元側(cè)壁厚;h4為縱梁截面單元主壁厚;L3為立柱截面單元長(zhǎng)度;h5為立柱截面單元側(cè)壁厚;h6為立柱截面單元主壁厚。

圖2 桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置設(shè)計(jì)變量

通過(guò)分析設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度,獲取設(shè)計(jì)變量的靈敏程度,更好地把握設(shè)計(jì)變量的取值和優(yōu)化范圍,設(shè)計(jì)變量對(duì)桁架質(zhì)量的影響如圖3所示。由圖3可以看出,在滿足約束條件下,h1～h6對(duì)桁架質(zhì)量影響較大,而L1～L3對(duì)質(zhì)量的影響程度低很多。

圖3 設(shè)計(jì)變量對(duì)桁架質(zhì)量的影響

考慮設(shè)計(jì)變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響程度和實(shí)際要求,對(duì)桁架檢測(cè)裝置優(yōu)化變量參數(shù)及取值范圍進(jìn)行設(shè)置,優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)初始值如表2所示,優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍如表3所示。

表2 優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)初始值

表3 優(yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)取值范圍

2 桁架結(jié)構(gòu)確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 約束條件確定

橫梁的應(yīng)力為彎曲應(yīng)力,其應(yīng)力與應(yīng)變是由橫梁自重和檢測(cè)機(jī)械臂重力共同作用產(chǎn)生,橫梁最大應(yīng)力與應(yīng)變的發(fā)生位置在橫梁中點(diǎn)處,橫梁應(yīng)力與應(yīng)變分別為

式中,σ1為橫梁受到的最大彎曲應(yīng)力;M1為橫梁最大彎矩;W1為橫梁抗彎截面系數(shù);ρ為橫梁密度;Lh為橫梁長(zhǎng)度;ms為檢測(cè)機(jī)械臂質(zhì)量;ε1為橫梁最大變形;E為桁架材料的彈性模量;I1為橫梁的截面慣性矩。

縱梁應(yīng)力也為彎曲應(yīng)力,由自重、橫梁和檢測(cè)機(jī)械臂重力共同作用產(chǎn)生,縱梁的最大應(yīng)力與應(yīng)變發(fā)生位置為縱梁中點(diǎn)處,縱梁應(yīng)力與應(yīng)變分別為

式中,σ2為縱梁受到的最大彎曲應(yīng)力;M2為縱梁最大彎矩;W2為縱梁抗彎截面系數(shù);Lz為縱梁長(zhǎng)度;ε2為縱梁的最大變形;I2為橫梁的截面慣性矩。

立柱的應(yīng)力為壓應(yīng)力,其應(yīng)力與應(yīng)變是由橫梁、縱梁與檢測(cè)機(jī)械臂重力共同作用產(chǎn)生,立柱應(yīng)力與應(yīng)變分別為

式中,σ3為橫梁受到的最大彎曲應(yīng)力;ε1為橫梁的最大變形。

對(duì)上述約束條件進(jìn)行設(shè)置,約束條件及約束值如表4所示。

表4 約束條件及約束值

2.2 確定性優(yōu)化模型

桁架檢測(cè)裝置確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型為

式中,X為設(shè)計(jì)變量集;σs為最大拉壓應(yīng)力;εs為最大應(yīng)變值。

2.3 優(yōu)化結(jié)果與分析

對(duì)建立的確定性優(yōu)化模型進(jìn)行求解,獲取其目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)求解變化情況,桁架總質(zhì)量隨迭代次數(shù)變化曲線如圖4所示。圖4中,紅色為不滿足約束的解,黑色為可行解,綠色為最優(yōu)解。由圖4可以看出,當(dāng)?shù)螖?shù)為185次時(shí),目標(biāo)函數(shù)取得最優(yōu)解,即在滿足約束條件下,桁架總質(zhì)量取得最小值,為313.06 kg。橫梁截面單元尺寸Pareto圖如圖5所示,縱梁截面單元尺寸Pareto圖如圖6所示,立柱截面單元尺寸Pareto圖如圖7所示。

圖4 桁架總質(zhì)量隨迭代次數(shù)變化

圖5 橫梁截面單元尺寸Pareto圖

圖6 縱梁截面單元尺寸Pareto圖

圖5～圖7中的紅色部分為不滿足約束的解,黑色部分為可行解,綠色部分為最優(yōu)解。由圖5可以看出,橫梁截面單元長(zhǎng)度高于0.141 m,且主壁厚不低于0.003 23 m 時(shí),絕大部分滿足約束條件,綠色點(diǎn)為滿足約束的最佳設(shè)計(jì)尺寸;由圖6可以看出,縱梁截面單元長(zhǎng)度低于0.138 5 m 時(shí),采樣點(diǎn)全部不滿足約束條件,縱梁截面單元長(zhǎng)度高于0.138 5 m 時(shí),且側(cè)壁厚不低于0.003 66 m,主壁厚不低于0.004 735 m 時(shí),采樣點(diǎn)絕大部分滿足約束條件,綠色點(diǎn)為滿足約束的最佳設(shè)計(jì)尺寸;由圖7可以看出,立柱截面單元長(zhǎng)度高于0.138 m時(shí),且側(cè)壁厚不低于0.002 94 m,采樣點(diǎn)絕大部分滿足約束條件,綠色點(diǎn)為滿足約束的最佳設(shè)計(jì)尺寸。

圖7 立柱截面單元尺寸Pareto圖

3 桁架可靠穩(wěn)健性優(yōu)化

3.1 6σ 穩(wěn)健性數(shù)學(xué)優(yōu)化模型

穩(wěn)健性優(yōu)化是在確定約束條件與目標(biāo)函數(shù)的前提下,尋找優(yōu)化中波動(dòng)較小的區(qū)域。其目的主要防止未曾考慮的因素對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響,提高優(yōu)化的可靠度。優(yōu)化模型為

式中,X優(yōu)化變量集;F(X)為目標(biāo)函數(shù);H(X)為約束條件;XL為優(yōu)化變量下限;XU為優(yōu)化變量的上限;n表示σ水平。

3.2 桁架穩(wěn)健性優(yōu)化分析

采用響應(yīng)面模型與徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的組合近似模型,對(duì)其可靠穩(wěn)健性進(jìn)行優(yōu)化分析。組合近似模型權(quán)重系數(shù)及組合近似模型為

式中,MEN為組合近似模型的響應(yīng)預(yù)測(cè)值;ωi和Si分別為第i個(gè)模型的權(quán)系數(shù)和響應(yīng)預(yù)測(cè)值,權(quán)系數(shù)之和等于1;Ei為第i個(gè)單一近似模型的均方根誤差;ˉE為所有單一近似模型的平均均方根誤差;ω*i為近似模型第i個(gè)控制權(quán)重系數(shù);N為近似模型個(gè)數(shù),N＝2;α和β為近似模型控制參數(shù),當(dāng)α＝0.05,β＝－1時(shí),組合近似模型精度較高。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)采樣,生成響應(yīng)面模型與RBF模型的置信水平R2,響應(yīng)面模型R2值如圖8所示,RBF模型R2值如圖9所示。由圖8和圖9可以看出,當(dāng)響應(yīng)面模型R2＝1,RBF模型R2＝0.998 25時(shí),一般認(rèn)為R2＞0.9,則認(rèn)為近似模型具有高可信度。

圖8 響應(yīng)面模型R2 值

圖9 RBF模型R2 值

經(jīng)計(jì)算可知,組合模型表達(dá)式為

采用6σ分析中的均值一階可靠性分析,并定義9個(gè)初始設(shè)計(jì)變量為隨機(jī)變量,變異系數(shù)為0.01,對(duì)桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置的6個(gè)輸出響應(yīng)進(jìn)行質(zhì)量水平檢查與可靠性分析,輸出響應(yīng)可靠度分析結(jié)果如表5所示。

表5 輸出響應(yīng)可靠度分析結(jié)果

由表5可以看出,桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置輸出響應(yīng)的橫梁應(yīng)變、縱梁應(yīng)變、立柱應(yīng)變和立柱應(yīng)力的質(zhì)量水平都達(dá)到了8σ,可靠度為1,不需要穩(wěn)健性優(yōu)化。而對(duì)于桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置輸出響應(yīng)中的橫梁應(yīng)力和縱梁應(yīng)力質(zhì)量水平達(dá)不到6σ的情況,可靠度不為1。其中,橫梁應(yīng)力的質(zhì)量水平為0.362σ,可靠度為0.283;縱梁應(yīng)力的質(zhì)量水平為0,可靠度為0,均不滿足6σ質(zhì)量水平,可靠度沒(méi)達(dá)到1.000,所以桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置在這幾個(gè)輸出響應(yīng)時(shí)的穩(wěn)健性較差,需要對(duì)其進(jìn)行6σ穩(wěn)健性優(yōu)化。構(gòu)建桁架的可靠性穩(wěn)健優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,即

式中,X為隨機(jī)設(shè)計(jì)變量集;M(X)為桁架質(zhì)量函數(shù);G(X)為最大應(yīng)力約束函數(shù);D(X)為最大變形約束函數(shù);GU為最大應(yīng)力約束值,DU為最大應(yīng)變約束值;XL和XU分別為設(shè)計(jì)變量X的上下限;n表示σ水平。

通過(guò)穩(wěn)健性優(yōu)化后,輸出響應(yīng)可靠度,穩(wěn)健性優(yōu)化后輸出響應(yīng)的可靠度如表6所示。由表6可以看出,橫梁應(yīng)力的質(zhì)量水平為5.144 3σ,可靠度為0.999,縱梁應(yīng)力的質(zhì)量水平為4.555σ,可靠度為0.999,滿足可靠性要求。

表6 穩(wěn)健性優(yōu)化后輸出響應(yīng)的可靠度

穩(wěn)健性優(yōu)化后,桁架總質(zhì)量隨迭代次數(shù)變化曲線如圖10所示。由圖10可以看出,當(dāng)?shù)螖?shù)為197次時(shí),桁架質(zhì)量為滿足約束條件最小值,此時(shí)桁架質(zhì)量為331.9 kg。質(zhì)量分布概率隨整體質(zhì)量變化曲線如圖11所示。由圖11可以看出,桁架質(zhì)量在270～450 kg為穩(wěn)健性優(yōu)化范圍,其總分布概率大于0.99,在可靠性基礎(chǔ)上進(jìn)行穩(wěn)健性優(yōu)化,使優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)隨設(shè)計(jì)變量的波動(dòng)影響較小。

圖10 穩(wěn)健性優(yōu)化后桁架質(zhì)量變化線

圖11 穩(wěn)健性優(yōu)化后桁架質(zhì)量分布概率

對(duì)桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置確定性與穩(wěn)健性進(jìn)行優(yōu)化,優(yōu)化前后橫梁和縱梁截面單元設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比如表7所示,優(yōu)化前后立柱截面單元和桁架總質(zhì)量設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比如表8所示。由表7和表8可以看出,在確定性優(yōu)化中,橫梁截面單元長(zhǎng)度為0.141 m,側(cè)壁厚為0.001 m,主壁厚為0.003 295 m;縱梁截面單元長(zhǎng)度為0.138 5 m,側(cè)壁厚為0.003 655 m,主壁厚為0.004 735 m;立柱截面單元長(zhǎng)度為0.138 m,側(cè)壁厚為0.002 935 m,主壁厚為0.001 m。

表7 優(yōu)化前后橫梁和縱梁截面單元設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比

表8 優(yōu)化前后立柱截面單元和桁架總質(zhì)量設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)比

在穩(wěn)健性優(yōu)化中,橫梁截面單元長(zhǎng)度為0.157 m,側(cè)壁厚為0.002 72 m,主壁厚為0.003 14 m;縱梁截面單元長(zhǎng)度為0.145 m,側(cè)壁厚為0.002 m,主壁厚為0.005 6 m;立柱截面單元長(zhǎng)度為0.136 25 m,側(cè)壁厚為0.002 m,主壁厚為0.002 m。

桁架優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如圖12所示。由圖12可以看出,原方案桁架的總質(zhì)量為353.1 kg,經(jīng)過(guò)確定性優(yōu)化后,質(zhì)量變?yōu)?13.06 kg,結(jié)構(gòu)減重達(dá)11.3%。采取可靠穩(wěn)健性優(yōu)化后,桁架總質(zhì)量縮減為331.9 kg,結(jié)構(gòu)減重為6%,雖然穩(wěn)健性優(yōu)化方案的效果不如確定性優(yōu)化方案,但有效提高了優(yōu)化的穩(wěn)健性。

圖12 桁架優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文主要對(duì)某桁架結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)變量進(jìn)行靈敏度分析。選取桁架橫梁、縱梁和立柱截面形狀的9個(gè)設(shè)計(jì)變量,并根據(jù)設(shè)計(jì)要求確定其取值范圍,推導(dǎo)桁架應(yīng)力與應(yīng)變的約束函數(shù),進(jìn)行確定性優(yōu)化設(shè)計(jì)研究,優(yōu)化后實(shí)現(xiàn)減重11.3%,采用組合近似模型對(duì)桁架進(jìn)行可靠穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化后實(shí)現(xiàn)減重6%,在實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計(jì)的前提下,有效提高了桁架結(jié)構(gòu)的可靠性與穩(wěn)健性。由于已有的研究主要集中于拓?fù)鋬?yōu)化理論,而本文采用Hooke Jeeves算法,對(duì)桁架進(jìn)行可靠穩(wěn)健性分析與優(yōu)化,在實(shí)際應(yīng)用中,可以解決桁架用料過(guò)多問(wèn)題,追求輕量化而忽視桁架的穩(wěn)健性所導(dǎo)致的桁架性能波動(dòng)和結(jié)構(gòu)失效問(wèn)題,后期將主要圍繞桁架自動(dòng)檢測(cè)裝置進(jìn)行可靠穩(wěn)健性優(yōu)化設(shè)計(jì)及實(shí)驗(yàn)仿真驗(yàn)證進(jìn)行研究。