201114 上海師范大學(xué)附屬閔行第三中學(xué) 蔣贏利

培根曾說,數(shù)學(xué)是思維的體操.現(xiàn)代數(shù)學(xué)論認(rèn)為：數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的教學(xué)，而不僅是活動(dòng)的結(jié)果；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不僅是為了獲得數(shù)學(xué)知識(shí)，它的作用主要是為了訓(xùn)練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì).

創(chuàng)設(shè)情境是指教師在學(xué)生動(dòng)手實(shí)驗(yàn)之前，給學(xué)生提供新的學(xué)習(xí)準(zhǔn)備，營(yíng)造一個(gè)良好的學(xué)習(xí)氛圍.在這一情境中，學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間發(fā)生沖突，學(xué)習(xí)者在心理上產(chǎn)生學(xué)習(xí)需要.創(chuàng)設(shè)情境是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)過程中的第一環(huán)節(jié)，它是實(shí)施其他環(huán)節(jié)的首要條件.以實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)研究的情境能夠引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手探究，設(shè)置懸念能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)求知欲.

從上世紀(jì)90年代開始，陜西師范大學(xué)胡衛(wèi)平教授帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)做了大量教育學(xué)習(xí)理論、認(rèn)知科學(xué)、腦科學(xué)領(lǐng)域的研究，歷經(jīng)近30年，他們提出了思維型教學(xué)理論，這一教學(xué)理論的目標(biāo)指向核心素養(yǎng).學(xué)生的學(xué)習(xí)離不開思維，因此教學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)思維.批判性思維與創(chuàng)造性思維能力是目前國(guó)際關(guān)注的兩種高階思維，要形成這兩種思維能力，不能忽視一般思維能力的培養(yǎng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)學(xué)科核心素養(yǎng).數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括六個(gè)方面，其中數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象都與思維息息相關(guān).

一、 問題聚焦

(一)研究課標(biāo)，明確重點(diǎn)

筆者選用上海教育出版社《數(shù)學(xué)》七年級(jí)第二學(xué)期(試用本)第十三章“相交線和平行線”的拓展內(nèi)容進(jìn)行思維型教學(xué)課例實(shí)踐.為提升學(xué)生的思維能力，在教學(xué)中明確把平行線間角的數(shù)量關(guān)系作為這節(jié)探究課的教學(xué)重點(diǎn)，將平行線間角的關(guān)系探究中輔助線的添法作為教學(xué)難點(diǎn)，并由此制定如下教學(xué)目標(biāo).

(1)初步了解平行線間的角的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)一步掌握添加平行輔助線的方法.

(2)經(jīng)歷從特殊到一般的問題探究過程，體會(huì)轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論的數(shù)學(xué)思想和幾何說理的嚴(yán)謹(jǐn)性，感受數(shù)學(xué)源于生活又運(yùn)用于生活.

在明確以上教學(xué)目標(biāo)后，筆者進(jìn)行構(gòu)思，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)圖，逐步提升學(xué)生的思維能力.在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，增加體驗(yàn)環(huán)節(jié)，嘗試通過小組交流來梳理知識(shí)，解決問題.

(二)分析學(xué)情，突破難點(diǎn)

為達(dá)成教學(xué)目標(biāo)，確保教學(xué)構(gòu)思能夠?qū)崿F(xiàn)，筆者對(duì)學(xué)情進(jìn)行分析.在知識(shí)與能力方面，七年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)了平行線的判定和性質(zhì)后，有了一定的識(shí)圖說理能力，但有的學(xué)生識(shí)圖能力較弱，缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砑耙?guī)范的幾何說理習(xí)慣.中上能力層次的學(xué)生在添加輔助線時(shí)，個(gè)別學(xué)生出現(xiàn)一定困難.同時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)七年級(jí)學(xué)生具有爭(zhēng)強(qiáng)好勝的特點(diǎn)，探究幾何圖形和結(jié)論的興趣濃厚.

通過精心設(shè)計(jì)各種不同的問題，筆者讓學(xué)生自主探究，逐步破解教學(xué)難點(diǎn)，以達(dá)到提升學(xué)生思維能力的目的.

二、 課例實(shí)證分析

(一)創(chuàng)設(shè)生活情境，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

教學(xué)片段1

師生先一起觀看街道的微視頻，再引入環(huán)湖公路的情境問題，具體如下.

圖1

如圖1，老師開車經(jīng)過一段環(huán)湖公路，需經(jīng)過三次拐彎繞湖而過，如果第一次拐彎處的∠A=140°，第二次拐彎處的∠B=120°，第三次拐彎處的∠C為多少度時(shí)，這時(shí)的道路恰好和第一次拐彎前的道路平行？為什么？

通過觀看街道的微視頻，學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活又運(yùn)用于生活.教師從公路開車?yán)@彎的情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生思考平行道路與環(huán)湖公路的變化，體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用.

通過創(chuàng)設(shè)生活化的情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激活學(xué)生的形象思維，學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，將生活中的數(shù)學(xué)原型生動(dòng)地展現(xiàn)在課堂上，讓學(xué)生從熟悉的生活中提煉數(shù)學(xué)模型，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)源于生活又運(yùn)用于生活，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在情境問題的互動(dòng)中得到提升.

(二)創(chuàng)設(shè)實(shí)驗(yàn)體驗(yàn)活動(dòng)，激活學(xué)生的思維

教學(xué)片段2

探究1如圖2，AD∥CE，∠A和∠C有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

探究2如圖3，AD∥CE，∠A，∠B，∠C有什么數(shù)量關(guān)系？為什么？

圖2圖3

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)谧约旱腜ad 上通過GeoGebra幾何軟件多畫幾個(gè)類似于圖3的圖形，并測(cè)量出∠A，∠B，∠C的大小.

師：同學(xué)們，請(qǐng)你們算一算自己測(cè)量出的∠A，∠B，∠C的大小，猜一猜這三個(gè)角的數(shù)量關(guān)系是什么？

生4：老師，我通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)這三個(gè)角的和是360°(如圖4、圖5所示).

生5: 老師，我通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)這三個(gè)角的和不等于360°(如圖6所示).

圖4圖5

圖6

生5的問題引發(fā)了學(xué)生的進(jìn)一步思考，學(xué)生一起分析出現(xiàn)此類問題的原因.這是因?yàn)樯?在畫圖時(shí)出現(xiàn)誤差，AD和CE不平行，于是學(xué)生感悟到∠A，∠B，∠C這三個(gè)角的和等于360°的前提是直線AD和CE平行.

為了讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)圖3中∠A，∠B，∠C的數(shù)量關(guān)系并非偶然而是具有一般性，筆者讓每位學(xué)生在Pad上通過GeoGebra幾何軟件多畫幾個(gè)類似于圖3的圖形，測(cè)量出∠A，∠B，∠C的大小，通過計(jì)算，再猜想得出數(shù)量關(guān)系是∠A+∠B+∠C=360°.

通過搭設(shè)一個(gè)學(xué)習(xí)支架，學(xué)生自主完成探究，旨在培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手、識(shí)圖、獨(dú)立思考能力，從特殊到一般，體會(huì)化歸思想.

(三)借力小組合作，借助核心問題的引領(lǐng)，使思維可視化，激活學(xué)生數(shù)學(xué)思維

平行線的性質(zhì)、定理都來源于兩條平行線和一條截線，而探究2出現(xiàn)了平行線被折線所截，那么能否通過構(gòu)造平行線或者構(gòu)造截線來解決這個(gè)問題？

這個(gè)核心問題的提出點(diǎn)燃了學(xué)生的思維火花，筆者事先將學(xué)生分成五個(gè)小組，各組學(xué)生積極互動(dòng)、討論，課堂氣氛活躍，展示了很多方法，增進(jìn)了小組成員之間的數(shù)學(xué)交流.

學(xué)生經(jīng)歷思維碰撞，總結(jié)出一般規(guī)律，即過折點(diǎn)作平行線或者添加截線，構(gòu)造三角形或四邊形來解決平行線間的角的數(shù)量關(guān)系.這樣就有了對(duì)上述圖3的深度剖析，那么解決如圖1所示的環(huán)湖公路的實(shí)際問題就輕而易舉了.在最后解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生利用之前所學(xué)的方法進(jìn)行解答，分析總結(jié)能力得到提高，因而教學(xué)目標(biāo)達(dá)成度高，形成了良好的課堂探究氛圍.

教學(xué)片段3：各小組代表展示

第一組：構(gòu)造平行線(如圖7-1、圖7-2所示).

圖7-1

圖7-2

第二組：構(gòu)造平行線(如圖8-1、圖8-2所示).

圖8-1

圖8-2

第三組：構(gòu)造截線(如圖9-1、圖9-2所示).

圖9-1

圖9-2

第四組：構(gòu)造截線(如圖10-1、圖10-2所示).

圖10-1

圖10-2

第五組：構(gòu)造截線(如圖11-1、圖11-2所示).

圖11-1

圖11-2

教學(xué)片段4：多折點(diǎn)問題研究

當(dāng)折點(diǎn)個(gè)數(shù)逐漸增加時(shí)(如圖12、圖13，有n個(gè)折點(diǎn)時(shí))，你能發(fā)現(xiàn)平行線間角的數(shù)量關(guān)系有什么規(guī)律嗎？

圖12圖13

如表1，筆者設(shè)計(jì)的表格由簡(jiǎn)到難、循序漸進(jìn)，給學(xué)生鋪設(shè)臺(tái)階，呈現(xiàn)出學(xué)生的思維過程和探究結(jié)果.引導(dǎo)學(xué)生自主探究并完成平行線任務(wù)，拓展思考平行線間多折點(diǎn)問題產(chǎn)生的角的數(shù)量關(guān)系變化.學(xué)生能順利地將多折點(diǎn)的復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題進(jìn)行解決.

表1

通過上述教學(xué)片段，筆者發(fā)現(xiàn)只有引導(dǎo)學(xué)生自主探索得出結(jié)論，提升其動(dòng)手、識(shí)圖、獨(dú)立思考能力，讓學(xué)生體會(huì)化歸思想，才能使不同層次的學(xué)生都有收獲.

(四)開放性問題探究，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

開放性問題的解題過程蘊(yùn)含更多的創(chuàng)造性，對(duì)考查學(xué)生的創(chuàng)造、想象和探索能力有獨(dú)特的作用.

教學(xué)片段5

圖14

如圖14，已知AB∥CD，點(diǎn)M、N分別在AB、CD上，點(diǎn)P是平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P不在AB、CD、MN上，聯(lián)結(jié)MP、NP，請(qǐng)?zhí)骄俊螾與∠AMP、∠CNP之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

這道幾何探索題激起了學(xué)生的探究興趣，學(xué)生通過自主探索發(fā)現(xiàn)問題的思維和方法，利用幾何畫板得出點(diǎn)P的可能位置.

三、 經(jīng)驗(yàn)與總結(jié)

通過上述教學(xué)實(shí)施案例的情境創(chuàng)設(shè)、核心問題和體驗(yàn)式活動(dòng)的引領(lǐng)，學(xué)生借助添加平行線和構(gòu)造截線，利用三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)，結(jié)合化歸的數(shù)學(xué)思想，將未知轉(zhuǎn)化為已知.上述幾種方法的區(qū)別在于運(yùn)用的知識(shí)點(diǎn)和構(gòu)圖不同.在解決平行線的相關(guān)問題時(shí)，截線與平行線總是如影隨行.當(dāng)出現(xiàn)平行線時(shí)，需要添加截線，當(dāng)出現(xiàn)截線時(shí)，則需要去尋找平行線，從而利用平行線間同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的運(yùn)算關(guān)系解決問題.

筆者回顧總結(jié)這節(jié)課的磨課過程、專家評(píng)課意見、課后學(xué)生反饋數(shù)據(jù)，受到很大啟發(fā).教學(xué)中，如果通過創(chuàng)設(shè)情境、設(shè)置數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)引入核心問題，再補(bǔ)充子問題進(jìn)行完善，找到合適的支點(diǎn)，就能推動(dòng)學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，走向高效.這個(gè)支點(diǎn)就是新的知識(shí)邏輯發(fā)展與學(xué)生思維發(fā)展的契合處.找到它的前提是要把握數(shù)學(xué)知識(shí)與學(xué)生思維的本質(zhì)，用好它的關(guān)鍵就是在此基礎(chǔ)上巧妙創(chuàng)設(shè)適合學(xué)生特點(diǎn)的數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng).讓數(shù)學(xué)活動(dòng)立足于數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，緊扣住學(xué)生的思維本質(zhì)，從而創(chuàng)設(shè)合適的體驗(yàn)活動(dòng).

筆者創(chuàng)設(shè)體驗(yàn)活動(dòng)，讓學(xué)生自主探究、思考辨析、合作交流、歸納總結(jié).如在學(xué)生自主探索平行線間角關(guān)系的規(guī)律時(shí)，利用直觀圖形，每個(gè)學(xué)生都在Pad上通過GeoGebra幾何軟件測(cè)量平行線間三個(gè)角的大小，然后建立這三個(gè)角之間的聯(lián)系，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察、測(cè)量、計(jì)算，最后通過推理論證觀點(diǎn)的正確性.解決這一問題的經(jīng)驗(yàn)與方法是讓學(xué)生充分體驗(yàn)與摸索，這是進(jìn)一步探究的基礎(chǔ).

再如學(xué)生在小組合作運(yùn)用平行線性質(zhì)、定理構(gòu)造平行線與截線設(shè)計(jì)方案時(shí)，在使用Pad作圖及計(jì)算機(jī)演示的過程中，學(xué)生已經(jīng)在思考如何證明結(jié)論的正確性，但是學(xué)生一致認(rèn)為根據(jù)現(xiàn)有的平行線性質(zhì)、定理無法證明這道題.因此，有學(xué)生提出能否通過添加輔助線解決問題，而如何添加輔助線是本題的難點(diǎn)，也是本節(jié)課的重點(diǎn).為了讓學(xué)生自主解決問題，教師通過設(shè)立核心問題，再輔以體驗(yàn)式活動(dòng)，開拓學(xué)生的思維.

從這次公開課中，筆者了解到對(duì)于探究課教學(xué)，通過創(chuàng)設(shè)情境激活學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展十分必要，感悟到尋找學(xué)生從“被動(dòng)”變“主動(dòng)”的支點(diǎn)的重要性.