張瑞豐， 朱姜慧

(合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

1 引 言

動力系統(tǒng)的復(fù)雜性一直是動力系統(tǒng)研究中廣受人們關(guān)注的領(lǐng)域，熵是刻畫系統(tǒng)復(fù)雜性的重要不變量.一般認(rèn)為熵為正的系統(tǒng)是比較復(fù)雜的，例如在作用下，已證明正熵系統(tǒng)是Li-Yorke混沌的[1].但對于某些簡單的系統(tǒng)(如零熵系統(tǒng)等)，可以考慮系統(tǒng)復(fù)雜性函數(shù)本身，即系統(tǒng)中軌道的指數(shù)增長率.

最先提出這一想法的是參考文獻(xiàn)[2]，他們研究了子轉(zhuǎn)移的復(fù)雜性函數(shù)，并證明了此函數(shù)的有界性等價于系統(tǒng)的最終周期性.1980年，參考文獻(xiàn)[3] 引入一個復(fù)雜性函數(shù)，這一函數(shù)是由與不變測度μ和誤差ε相關(guān)的張成集的定義所擴(kuò)展得到的.參考文獻(xiàn)[4]研究了通過開覆蓋定義的復(fù)雜性函數(shù)，并證明了復(fù)雜函數(shù)有界等價于該動力系統(tǒng)是等度連續(xù)的.隨后參考文獻(xiàn)[5]將Katok定義的復(fù)雜性函數(shù)進(jìn)一步推廣，對極大度量、平均度量和極大平均度量引入復(fù)雜性函數(shù)的概念，并研究了具有有界復(fù)雜性的系統(tǒng)的性質(zhì).

(自治)動力系統(tǒng)中的復(fù)雜性研究已經(jīng)非常豐富了[6-7].與此相應(yīng)的，非自治動力系統(tǒng)中的系統(tǒng)復(fù)雜性也主要由熵來刻畫，早有學(xué)者將自治系統(tǒng)中經(jīng)典拓?fù)潇?，?jīng)典測度熵以及Bowen維數(shù)熵等概念拓展到非自治系統(tǒng)中，并研究了他們之間存在的變分關(guān)系[8-12].參考文獻(xiàn)[8]在定義非自治系統(tǒng)中拓?fù)潇氐耐瑫r，也定義了漸近拓?fù)潇?，并稱當(dāng)漸近拓?fù)潇卮笥诹銜r，系統(tǒng)是拓?fù)浠煦绲?同樣的，非自治系統(tǒng)中也面臨著當(dāng)熵為零時系統(tǒng)的復(fù)雜性的刻畫的問題.一個自然的問題就是，在非自治系統(tǒng)中如何合適的引入有界復(fù)雜性的概念，是否可以得到與參考文獻(xiàn)[5]類似的結(jié)論.

本文將在非自治離散系統(tǒng)中給出等度連續(xù)和平均意義下的等度連續(xù)性的概念，并證明非自治離散系統(tǒng)關(guān)于極大度量(極大平均度量)具有有界復(fù)雜性等價于該系統(tǒng)是(平均意義下)等度連續(xù)的.

2 基礎(chǔ)知識

本章主要介紹非自治系統(tǒng)的定義與它的基本動力學(xué)性質(zhì).

2.1 非自治系統(tǒng)及等度連續(xù)性

定義1設(shè)(X,d)是一個緊度量空間，φ∶[0,+∞)×X→X是連續(xù)映射，且對?x∈X，都有φ(0,x)=x，則稱(X,φ)是非自治動力系統(tǒng).

定義3設(shè)(X,Φ)是一個非自治離散動力系統(tǒng)，集合K?X稱為是等度連續(xù)的，是指對?ε>0，存在δ>0，使得當(dāng)d(x,y)<δ的x,y∈X，都有d(φi(x),φi(y))<ε，i=0,1,2,….若K=X，則稱(X,Φ)是等度連續(xù)的.

2.2 Hausdorff度量

定義4設(shè)K(X)是X的一個非空閉子集組成的集合，K(X)上的Hausdorff度量dH定義為

當(dāng)(X,d)為緊度量空間時，(K(X),dH)也是緊的.設(shè)n∈，易見{A∈K(X)∶#(A)≤n}是K(X)的一個閉子集.

3 有有界拓?fù)鋸?fù)雜性的非自治離散動力系統(tǒng)

3.1 關(guān)于度量的拓?fù)鋸?fù)雜性

(X,Φ)是一個非自治離散動力系統(tǒng)，設(shè)n∈且x,y∈X，定義

對每個n∈，x,y,z∈X，容易驗證：

設(shè)K?X是一個緊集，n∈，ε>0.F?K稱為K的(n,ε)張成集，若對任意x∈K都存在y∈F滿足即

定義5用spanK(n,ε)表示K的具有最少元素的(n,ε)張成集中元素的個數(shù)，即

證? 固定ε>0，由等度連續(xù)定義，對?n∈+， ?x,y∈K，存在δ>0使d(x,y)<δ時，都有d(φi(x),φi(y))<ε.又因為K是緊集，存在K的有限子集F，使則對?n≥1，有故存在C=#(F)>0，使得

? 相反，假設(shè)K不是等度連續(xù)的，即存在ε>0，對?k≥1，存在xk,yk∈K,mk∈，使得d(xk,yk)<1/k時，有d(φmk(xk),φmk(yk))≥ε.不失一般性，假設(shè)k→∞時，xk→x0.則有x0∈K,故k→∞時有yk→x0.由三角不等式，對?k∈，要么d(φmk(xk),φmk(x0))≥ε/2，要么d(φmk(yk),φmk(x0))≥ε/2.對?k∈，總能找到x′∈{xk,yk}使d(φmk(x′),φmk(x0))≥ε/2，將x′記為xk，總可以假設(shè)d(φmk(xk),φmk(x0))≥ε/2，那么由定義，有

由Fn?K且K是緊的，則有F?K.又因為{A∈K(X)∶#A≤C}是閉集，#(F)≤C.對?i∈， ?x∈K，都存在zni∈Fni使得不失一般性的，可以假設(shè)i→∞時zni→z，故z∈F.

設(shè)

對于K中的序列{xk}，通過選取子列可以假設(shè){xk}在某一個Kj中，又因為Kj是閉的，故x0∈Kj.注意到對

作為上述定理的推論，有下面的結(jié)論.

3.2 關(guān)于度量的拓?fù)鋸?fù)雜性

設(shè)(X,Φ)是一個非自治離散動力系統(tǒng)，設(shè)n∈且x,y∈X，定義

對每個n∈，x,y,z∈X，容易驗證：

定義6設(shè)K?X是一個緊集，n∈，ε>0，定義

對任意n∈，x,y∈X，易知則若K關(guān)于有有界的拓?fù)鋸?fù)雜性，可得K關(guān)于也有有界的拓?fù)鋸?fù)雜性.

證? 固定ε>0，由平均意義下等度連續(xù)定義，?n∈+， ?x,y∈K，存在δ>0使d(x,y)<δ時，都有由K的緊性，可找到K的有限子集F，使則對?n≥1，由平均意義下等度連續(xù)，得故存在正整數(shù)C=#(F)>0，使得即K關(guān)于有有界拓?fù)鋸?fù)雜性.

對任意i∈， ?x∈K，都存在zni∈Fni使可假設(shè)i→∞時zni→z，故z∈F.

由定義可知，對?u,v∈X，n∈，于是當(dāng)nj≥ni時

設(shè)

對于K中的序列{xk}，假設(shè){xk}在同一個子序列Kj中，又因為Kj是閉的，x0∈Kj.注意到對

作為上述定理的推論，有以下結(jié)論.

4 結(jié) 論

動力系統(tǒng)的復(fù)雜性是研究動力系統(tǒng)的重要組成部分，其中熵是非常重要的刻畫系統(tǒng)復(fù)雜度的不變但.但在零熵系統(tǒng)中，一般的拓?fù)潇睾蜏y度熵就失去了它們的作用.本文從復(fù)雜度函數(shù)本身入手，證明了在極大度量和平均極大度量下，當(dāng)非自治系統(tǒng)有有界復(fù)雜度時，它分別是等度連續(xù)和平均意義下等度連續(xù)的.由此，就可以研究熵為零時非自治系統(tǒng)的動力學(xué)性質(zhì).

致謝非常感謝相關(guān)文獻(xiàn)對本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見.