高存臣,張?bào)闳?/p>

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

一類時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性*

高存臣,張?bào)闳?/p>

研究時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題,應(yīng)用不等式技術(shù),通過(guò)對(duì)區(qū)間系數(shù)分3種情況討論,得到了一類時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。所給的數(shù)值例子說(shuō)明了該方法的有效性。

區(qū)間系數(shù);時(shí)滯;2-D離散系統(tǒng);穩(wěn)定性

2-D(二維)離散系統(tǒng)自Roesser[1]于1974年創(chuàng)建基本理論以來(lái),已有30多年了,由于它特有的深刻工程物理背景以及模型的工程實(shí)現(xiàn)及一些工程實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用,使它成為控制系統(tǒng)理論的一個(gè)具有強(qiáng)大生命力和發(fā)展前景的學(xué)科分支,它在數(shù)字濾波器、圖像加強(qiáng)、圖像清晰化、信號(hào)處理等領(lǐng)域的廣泛應(yīng)用,己引起了許多學(xué)者的興趣,目前已有了一些結(jié)論[1-4],但在具有時(shí)間滯后(簡(jiǎn)稱時(shí)滯)的2-D離散系統(tǒng)中還存在著大量亟待解決的問(wèn)題。實(shí)際的工程應(yīng)用中存在各種各樣的不確定性,二維系統(tǒng)具有區(qū)間系數(shù)的情況也是實(shí)際工程當(dāng)中會(huì)遇到的。文獻(xiàn)[1]用不等式分析方法給出了具有時(shí)滯的2-D離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件。在一維離散系統(tǒng)中,具有區(qū)間系數(shù)的情況可以通過(guò)構(gòu)造輔助系統(tǒng)得到系統(tǒng)穩(wěn)定互相蘊(yùn)涵的一些條件[5-6]。而對(duì)具有區(qū)間系數(shù)的時(shí)滯2-D離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性研究還未見(jiàn)到報(bào)道。本文在前人的基礎(chǔ)上,采用不等式技術(shù),對(duì)具有區(qū)間系數(shù)的時(shí)滯2-D離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了分析,通過(guò)對(duì)區(qū)間系數(shù)分3種情況的討論,最后得到了時(shí)滯項(xiàng)具有區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的一個(gè)充分條件。

(中國(guó)海洋大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山東青島266100)

1 問(wèn)題的提出

考慮如下的時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)

其中1≤i≤n;j>0,且i;j∈N,時(shí)滯σ為非負(fù)常數(shù),都是實(shí)數(shù)序列。而

對(duì)(1)考慮相應(yīng)的邊界條件

及初始條件

2 有關(guān)引理

為了對(duì)滯后項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析,先給出已有的關(guān)于時(shí)滯2-D離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的有關(guān)引理。

考慮如下時(shí)滯2-D離散系統(tǒng)

引理1[1][時(shí)滯2-D離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性定理]若對(duì)j≥0,有a(j)>0,且存在正數(shù)δ,η使得

與

成立,則存在常數(shù)M>0和ζ>1,使得系統(tǒng)(4)(2)(3)的所有解u(i,j)均滿足

3 對(duì)區(qū)間系數(shù)的討論

對(duì)具有區(qū)間系數(shù)的情況,因c (j)≤c(j)≤?c(j),可

取

如果對(duì)j≥0,有a(j)>0,存在正數(shù)δ?,η?,使得

成立,且存在正數(shù)δ,η,使得

以下分3種情況討論。

顯然有|?c(j)|=?c(j),|c (j)|=c(j),根據(jù)(8)式則有

同樣根據(jù)(9)式有

由(7)式易知c(j)>0,將(10)中第一式兩邊同時(shí)乘以1-μ,(11)中第一式兩邊同時(shí)乘以μ,然后相加,可以得到,

于是可取δ=(1-μ)δ?+μ δ,因?yàn)?<δ?<1,0<δ<1,易知0<δ<1。則(12)式可以化為

通過(guò)移項(xiàng)整理得

也即

將(10)中第二式兩邊同時(shí)乘以1-μ,(11)中第二式兩邊同時(shí)乘以μ,然后相加,可以得到

因?yàn)?≤μ≤1,所以

根據(jù)(13)和(14)有

因?yàn)?c(j)>0,c(j)>0,則有

故不能絕對(duì)保證對(duì)任意的j≥0,一定存在正數(shù)η使得

同樣根據(jù)(9)式有

可使下式成立

但不能絕對(duì)保證一定存在正數(shù)η使得

成立。

類似前2種情況的討論,有(10)式和(16)式成立。再由(7)式有對(duì)于不等式(17)的右邊

對(duì)于不等式(17)的左邊,由于0≤μ≤1,所以

則有

綜合(18)與(20)兩式則有

也即

仍取δ=(1-μ)δ?+μ δ,則(22)式可以化為

根據(jù)(14)式

那么根據(jù)(24)式,必有

4 主要定理

根據(jù)以上3種情況的討論,可以得到以下關(guān)于時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性定理。定理1 [時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性定理]

使得(23)與(27)兩式成立。再根據(jù)引理1,可知結(jié)論成立。

至此,本文得到了時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件。

5 例子

下面利用1個(gè)例子來(lái)說(shuō)明本文主要定理的可行性。考慮如下的時(shí)滯項(xiàng)具有區(qū)間系數(shù)2-D離散系統(tǒng)

與

取

顯然有

綜上所述,對(duì)系統(tǒng)(29),有a>0,且存在正數(shù)δ,η使得(33)成立,根據(jù)引理1,可知系統(tǒng)(29)穩(wěn)定。

也可根據(jù)定理1,此時(shí)取

容易得到,系統(tǒng)(29)的系數(shù)滿足定理1的條件,同樣可以得到系統(tǒng)(29)穩(wěn)定。

6 結(jié)論

本文在前人的對(duì)時(shí)滯2-D離散系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題分析的基礎(chǔ)上,研究了時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題,采用不等式技術(shù),得到了一類時(shí)滯項(xiàng)含區(qū)間系數(shù)的2-D離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的1個(gè)充分條件,所給的例子說(shuō)明了結(jié)論的可行性。在對(duì)區(qū)間系數(shù)的討論過(guò)程中,對(duì)于區(qū)間系數(shù)的上限和下限同時(shí)為正和同時(shí)為負(fù)的情況,也還可繼續(xù)討論該類2-D離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性,將在后文繼續(xù)研究。

[1] 劉永清,謝勝利.滯后分布參數(shù)系統(tǒng)的穩(wěn)定與變結(jié)構(gòu)控制[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社.1998:134-142.

[2] 楊成梧,陳雪如.2-D奇異線性離散系統(tǒng)漸近穩(wěn)定性的一類Lyapunov方法[J].控制與決策,2001,16(04):497-49.

[3] 趙勝民,唐萬(wàn)生,李光泉.2-D系統(tǒng)的穩(wěn)定性[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2002,28(04):620-624.

[4] Mzrszalek W.Two-Dimensional Discrete Model with Varying Coefficients[J].IEEE Proc,1986,130(40):177-183.

[5] 廖曉昕.穩(wěn)定性的理論方法和應(yīng)用[M].武漢:華中理工大學(xué)出版社,1998:89-95.

[6] Liu Yongqing.Comparison principle of multi delay neutral difference systems[J].Advance in Modeling and Analysis,1992,36(3):37-50.

Stability of a Class of Discrete 2-D Time-Delays Systems with Interval Coefficients

GAO Cun-Chen,ZHANG Xiao-Rong
(School of Mathematical Sciences,Ocean University of China,Qingdao 266100,China)

The stability is analyzed for a class of discrete 2-D time-delays systems with interval coefficients in this paper.A sufficient condition of asymptotical stability is obtained for the systems by using the technique of inequality to discuss three cases of the interval coefficients.The effectiveness of the proposed method is illustrated by a numerical example.

interval coefficient;time-delay;2-D discrete system;stability AMS Subject Classification: 93C55,93D99

TP13

A

1672-5174(2010)09-159-04

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(60974025);山東省自然科學(xué)重點(diǎn)基金(Z2006G11)資助。

2009-06-08;

2010-04-23

高存臣(1956-),男,教授,博導(dǎo)。Email:ccgao@ouc.edu.cn

責(zé)任編輯 朱寶象