賈 程，孟中杰

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安 710072； 2. 西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動力學(xué)重點實驗室，西安 710072)

0 引 言

航天器編隊具有系統(tǒng)成本低、工作性能好、可靠性高等優(yōu)點，在通信、導(dǎo)航、對地觀測等航天領(lǐng)域中存在巨大的發(fā)揮空間，并展現(xiàn)出非常廣泛的應(yīng)用前景[1]。針對編隊航天器的構(gòu)型維持、軌道機(jī)動[2]、碰撞規(guī)避[3]等問題，已有相當(dāng)可觀的研究成果。

由于系繩特有的柔性和彈性，繩系系統(tǒng)在軌運行過程中會顯現(xiàn)出特有的一些動力學(xué)現(xiàn)象，對于繩系衛(wèi)星的編隊控制，目前仍有許多急需解決的問題。以系繩擺動為例，在機(jī)動變軌過程中，系繩并不能嚴(yán)格與推力方向保持一致，會導(dǎo)致系繩產(chǎn)生周期性的擺動現(xiàn)象[4]。系繩擺動會產(chǎn)生張力力矩作用于領(lǐng)航星，干擾其姿態(tài)甚至影響整個繩系編隊系統(tǒng)的軌道運動。因此，系繩擺動的抑制問題得到了廣泛關(guān)注。

受科氏力影響，通過合理地收放系繩可以實現(xiàn)系繩擺動的抑制，基于此，Vafamand[5]提出了一種魯棒自適應(yīng)反步控制器調(diào)節(jié)繩長以抑制擺動，并采用徑向基函數(shù)(Radial basis function, RBF)估計系統(tǒng)的未建模動態(tài)和不確定性。Liu等[6]在得到能抑制擺動的期望繩長速率后，根據(jù)小增益理論設(shè)計了張力控制律，從而實現(xiàn)繩長和速率的跟蹤控制。Wen等[7]通過勢能成型和阻尼注入理論，提出了僅利用繩長反饋信息的張力控制律。劉賀龍等[8]基于高階滑模算法設(shè)計了無抖振的系繩張力控制律，在保證高精度跟蹤的同時，有效避免了滑?？刂乒逃械亩墩瘳F(xiàn)象。通過收放系繩抑制擺動具有兩個問題導(dǎo)致其適用范圍受限，一是需針對重力梯度較大的低軌衛(wèi)星才能顯著抑制其擺動；二是頻繁地收放系繩必然會導(dǎo)致系繩張力的突變，引發(fā)繩系衛(wèi)星所特有的松弛等現(xiàn)象，嚴(yán)重時甚至?xí)鹁庩犘l(wèi)星之間的碰撞[9]。盧山等[10]以拖船航天器噴氣推力為控制器輸入，基于相平面方法設(shè)計了組合體的面內(nèi)外擺角控制律，并將擺角衰減至穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)，但并未完全消除擺動現(xiàn)象。Yousefian等[11]通過分析衛(wèi)星姿態(tài)與系繩擺動間的動力學(xué)耦合特性，提出利用姿態(tài)機(jī)動抑制系繩的控制方法。但在他們的研究成果中，擺動抑制耗時長達(dá)多個軌道周期。在此基礎(chǔ)上，Meng等[12]在衛(wèi)星推力作用下基于衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動設(shè)計了能實現(xiàn)系繩擺動抑制的分層滑模-預(yù)測控制算法，使平臺能跟蹤標(biāo)稱軌道且同時抑制系繩擺動。但是，上述文獻(xiàn)均忽略了系繩的擺動對衛(wèi)星軌道的干擾。根據(jù)文獻(xiàn)[13]，擺動會影響領(lǐng)航星姿態(tài)，改變平臺推力進(jìn)而導(dǎo)致系統(tǒng)偏離預(yù)定軌道。因此，在軌道機(jī)動過程中，除抑制系繩擺動外，還需要使系統(tǒng)軌道跟蹤其參考指令值，以實現(xiàn)精確的軌道轉(zhuǎn)移。

由于滑?？刂凭哂兴惴ê唵巍ζヅ鋽_動和模型不確定項具有魯棒性等優(yōu)點，并在航天器的姿軌控制方面有廣泛應(yīng)用[14-15]，故本文亦采用滑?？刂扑惴ǜ淖冾I(lǐng)航星推力方向以實現(xiàn)軌道跟蹤與擺動抑制，并考慮了系繩擺動對領(lǐng)航星軌道的影響。此外，結(jié)合模型預(yù)測控制(Model predictive control, MPC)算法設(shè)計滑動模態(tài)的切換控制輸入，以盡量降低抖振的影響。

本文后續(xù)章節(jié)安排如下：第2節(jié)基于拉格朗日法建立了繩系系統(tǒng)的面內(nèi)運動模型；第3節(jié)以推力方向角作為控制輸入，基于分層滑?？刂?Hierarchical sliding mode control, HSMC)和MPC算法設(shè)計了相應(yīng)的控制算法；第4節(jié)采用MATLAB/Simulink平臺搭建了相應(yīng)的數(shù)字仿真平臺并驗證了所提控制算法的有效性；第5節(jié)給出了相應(yīng)結(jié)論。

1 繩系雙星編隊系統(tǒng)模型

繩系雙星編隊系統(tǒng)平面模型如圖1所示。其中r為領(lǐng)航星質(zhì)心的軌道地心距，α為領(lǐng)航星緯度幅角，γ為領(lǐng)航星推力方向角，d為領(lǐng)航星與追隨星之間的質(zhì)心距，θ為系繩面內(nèi)擺角。

圖1 繩系雙星編隊系統(tǒng)模型示意圖Fig.1 Model of the tethered two-satellite formation system

繩系雙星編隊系統(tǒng)的運動方程由領(lǐng)航星質(zhì)心的軌道運動方程和追隨星相對于領(lǐng)航星的運動方程兩部分組成，分別如式(1)和式(2)所示[16]。

(1)

(2)

式中：mp,md,mt依次為領(lǐng)航星、追隨星和系繩質(zhì)量；m=mp+md+mt為耦合體系統(tǒng)總質(zhì)量；m*=(mp+mt/2)(md+mt/2)/m-mt/6為系統(tǒng)約化質(zhì)量；F為領(lǐng)航星推力；γ為推力方向角，可通過領(lǐng)航星姿態(tài)機(jī)動改變。廣義力、力矩和Qd,Qθ分別為：

(3)

式中:T為系繩張力。

(4)

至此，式(1)～(4)共同組成繩系拖曳系統(tǒng)的平面模型如下：

(5)

由式(5)可以看出，擺動抑制與軌道跟蹤都可通過姿態(tài)機(jī)動調(diào)整推力方向角來完成。考慮到領(lǐng)航星具有完備的姿態(tài)控制功能，且已有相當(dāng)文獻(xiàn)對其進(jìn)行研究，本文并不涉及領(lǐng)航星姿態(tài)控制。此外，面內(nèi)擺動系統(tǒng)共有3個自由度，控制量卻只有推力方向角γ，又因為推力方向角γ與狀態(tài)矢量互相耦合，屬于典型的非仿射欠驅(qū)動控制問題。

2 控制器設(shè)計

2.1 領(lǐng)航星質(zhì)心參考指令設(shè)計

(6)

基于以上擺動平衡位置和參考領(lǐng)航星軌跡，可得如下控制目標(biāo)：

(7)

2.2 控制算法設(shè)計

由上一節(jié)分析可知，由領(lǐng)航星姿態(tài)機(jī)動調(diào)整推力方向角實現(xiàn)系繩擺動抑制和軌道跟蹤的控制策略導(dǎo)致整個系統(tǒng)是非仿射欠驅(qū)動系統(tǒng)。因此，本節(jié)通過輔助積分法[18]，將姿態(tài)角速度視為虛擬控制量，把原系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為仿射型，在此角速度驅(qū)動下，領(lǐng)航星能抑制系繩擺動且能跟蹤期望軌跡。具體來說，以各狀態(tài)變量作為反饋信號，使用二階HSMC算法和基于超螺旋算法(Super-twisting algorithm, STA)的控制觀測器，推導(dǎo)得到角速度在滑動模態(tài)上運動的等效控制律，并結(jié)合MPC算法給出了趨近控制律。相應(yīng)的控制結(jié)構(gòu)圖如圖2所示。

圖2 編隊系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)圖Fig.2 Control diagram of the formation system

由圖2可知，控制系統(tǒng)包括二階HSMC算法，基于STA算法的控制觀測器和MPC算法三部分。下面分別進(jìn)行介紹。

1)分層滑模面設(shè)計

首先，定義跟蹤誤差向量為

e=x-xref

(8)

式中：xref為式(7)給出的參考指令。對式(8)求導(dǎo)，得到

(9)

式中：

(10)

將誤差系統(tǒng)(9)劃分為三個子系統(tǒng)，并分別設(shè)計對應(yīng)的滑模面為：

si=kie2i-1+e2i

(11)

式中：ki為待定正系數(shù)。

定義聚合型分層滑模變量如下：

(12)

式中:k4和k5為待定權(quán)重系數(shù)。

2)基于升階法的等效控制律設(shè)計

(13)

(14)

式中：

(15)

設(shè)計最高層滑模變量為：

σ=k6S+Sv

(16)

式中：k6為最高層滑模變量的待定權(quán)重系數(shù)。

(17)

3)基于STA算法的控制觀測器設(shè)計

考慮到Γ的真實值難以獲取，故采用基于STA算法的控制觀測器對其進(jìn)行估計。定義觀測誤差為：

ξ=-σ

(18)

(19)

將式(19)代入式(18)的一階導(dǎo)數(shù)中可得：

(20)

(21)

式中:k7和k8為待定正系數(shù)。

4)基于MPC算法的趨近律設(shè)計

典型的滑模控制算法可分為趨近控制律和等效控制律兩部分。其中等效控制律已由式(17)得到，本小節(jié)結(jié)合MPC技術(shù)計算得到切換控制輸入項使得滑動模態(tài)以最優(yōu)的方式趨近于滑模面，以克服抖振影響。

MPC的控制目標(biāo)為使最高層滑模面σ趨于0，即σ→0。令采樣時間為Ts，采用一階歐拉法將系統(tǒng)(16)離散化為：

(22)

基于預(yù)測模型(22)，可迭代計算得到預(yù)測時域Np內(nèi)的狀態(tài)變量σ(k+i+1k)(i=0,1,2,…,Np-1)，定義二次型性能指標(biāo)函數(shù)為：

(23)

式中：Q,R為正定權(quán)重系數(shù)。

(24)

因此，在k時刻，MPC控制問題可描述為：

(25)

求解上述優(yōu)化問題，然后將優(yōu)化解的第一個分量uk|k作用于系統(tǒng)，循環(huán)往復(fù)至k→∞。

在控制律(25)作用下，被控系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。仿照文獻(xiàn)[19-20]，證明過程如下。

(26)

式中:e(0)為初始誤差值。

由ρ∈[0, 1)可得eρ-1-ρ≥0與ρk≤e-(1-ρ)k等價，因此可得

(27)

和

(28)

注意到int(k/N)≥(k/N)-1，故

βe-(1-ρ)int(k/N)≤βe-(1-ρ)[(k/N)-1]

(29)

因此，對任意k∈Ζ+都有

(30)

即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。證畢。

3 仿真校驗

為驗證控制策略的有效性，采用MATLAB/Simulink搭建仿真平臺。拖曳系統(tǒng)參數(shù)如表1所示，控制器參數(shù)如表2所示。同時，考慮到領(lǐng)航星推力方向改變是由姿態(tài)機(jī)動實現(xiàn)的，而姿態(tài)機(jī)動過程中，其角速度不能太大以防止引起撓性附件振動等，因此推力方向角和角速度的變化范圍分別取為[-π/9, π/9]和[-0.1, 0.1]rad·s-1，并取仿真時長為200 s，步長為0.1 s。同時，取文獻(xiàn)[10]中所提出的雙閉環(huán)分層滑模/模型預(yù)測方法作為對比，仿真結(jié)果如圖3～6所示。

表1 編隊系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of the formation system

表2 控制器參數(shù)Table 2 Parameters of the controller

圖3為系繩面內(nèi)擺角在軌道機(jī)動過程中的變化曲線?？梢钥闯觯鎯?nèi)擺角在150 s后便能跟蹤上平衡位置，且整個跟蹤過程較為平穩(wěn)，超調(diào)角度約為16.1°，表明系繩“擺動”在所設(shè)計的控制算法作用下可以得到完全抑制。

圖3 面內(nèi)擺角及其導(dǎo)數(shù)跟蹤軌跡Fig.3 Trajectory of the in-plane angle and its derivative

圖4 地心距及其導(dǎo)數(shù)跟蹤軌跡Fig.4 Trajectory of the radius and its derivative

圖5 最高層滑模量變化曲線Fig.5 Trajectory of the highest layer sliding variable

圖4為軌道機(jī)動過程中領(lǐng)航星的軌道地心距的變化曲線。可以看出，在機(jī)動過程的初始階段，面內(nèi)擺角的存在使得推力方向與編隊系統(tǒng)并不嚴(yán)格共線，此時在領(lǐng)航星推力作用下，軌道地心距跟蹤誤差逐漸增大；約70 s后，地心距變化率超過其參考值并逐漸逼近于參考值，跟蹤誤差逐步減小，可以預(yù)見，經(jīng)過一定時間，便可以實現(xiàn)軌道地心距的精確跟蹤。

圖5給出了最高層滑模變量σ的變化曲線，推力方向角及其角速度繪制于圖6中。在系繩擺角趨于穩(wěn)定后，最高層滑模面逐漸收斂到0，與文獻(xiàn)[10]中推力方向角在0附近來回波動不同，本文所設(shè)計的基于模型預(yù)測的滑模趨近律可以使角度平滑地收斂到0附近，且整個控制過程中大大削弱了角速度的抖振現(xiàn)象。此外，本文所提算法在整個控制周期內(nèi)均沒有違背角度和角速度的約束條件。

圖6 推力方向角及其導(dǎo)數(shù)變化曲線Fig.6 Trajectory of the thrust direction and its derivative

需要指出的是，在控制初期，兩種控制算法表現(xiàn)出了極其相似的運動行為。分析可知，系統(tǒng)的動力學(xué)行為主要由推力大小所決定，為將擺角快速收斂到參考指令附近，控制初期推力方向角始終保持在其邊界值附近，相近的變軌推力必然會導(dǎo)致相似的運動行為。但隨著時間的推移，推力方向角逐漸衰減至0，系繩擺動對系統(tǒng)的影響愈發(fā)明顯。由于本文直接考慮了其影響，因此，面內(nèi)擺角和地心距的收斂速度有所提升。

4 結(jié) 論

針對繩系編隊系統(tǒng)的軌道協(xié)同機(jī)動控制問題，本文提出一種通過調(diào)整領(lǐng)航星推力方向進(jìn)而實現(xiàn)編隊系統(tǒng)軌道機(jī)動的控制算法。具體來說，在采用拉格朗日法建立雙星系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，對其進(jìn)行適當(dāng)簡化以便于控制器設(shè)計；其次，分析系統(tǒng)的平衡位置并設(shè)計了相應(yīng)的參考軌跡；在此基礎(chǔ)上，為各子系統(tǒng)設(shè)計相應(yīng)滑模面后將其聚合得到高層滑模面和等效控制輸入；為解決控制策略導(dǎo)致的非仿射問題，采用升階法將角速度作為虛擬控制輸入并采用觀測器在線估計系統(tǒng)的非線性項；然后基于模型預(yù)測控制算法實現(xiàn)最高層滑模面的趨近控制；最后采用MATLAB/Simulink驗證了所提算法的有效性。