許 文

(華中科技大學(xué)附屬中學(xué))

機(jī)械能E包括動(dòng)能Ek與重力(彈性)勢(shì)能Ep.物體在運(yùn)動(dòng)過程中,動(dòng)能與勢(shì)能可能隨時(shí)間和空間的變化發(fā)生變化,其變化規(guī)律可用函數(shù)關(guān)系式和圖像兩種方式表達(dá).圖像是反映變化關(guān)系的一種直觀手段,是一種數(shù)與形相結(jié)合的思想.與機(jī)械能有關(guān)的圖像一直倍受高考命題者的青睞,在近幾年高考中頻繁出現(xiàn).本文通過典型實(shí)例解析幾種機(jī)械能圖像,幫助同學(xué)們理解機(jī)械能圖像問題.

1 Ek-x 圖像

Ek-x圖像描述的是物體的動(dòng)能Ek隨位移x變化的關(guān)系.設(shè)物體受到的合力大小為F,在一段很短的位移Δx內(nèi)物體動(dòng)能的變化為ΔEk.由動(dòng)能定理有FΔx＝ΔEk,可得.故Ek-x圖像中直線或曲線某點(diǎn)切線的斜率的絕對(duì)值表示物體在運(yùn)動(dòng)方向上受到合力F的大小.

例1(2017年江蘇卷)一小物塊沿斜面向上滑動(dòng),然后滑回到原處.物塊初動(dòng)能為Ek0,與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)不變,則該過程中,物塊的動(dòng)能Ek與位移x關(guān)系的圖線是( ).

解析設(shè)斜面傾角為θ,物塊質(zhì)量為m,物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,則物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)過程中受到的動(dòng)摩擦力大小Ff＝μmgcosθ不變.物塊沿斜面上滑過程中受到的合力大小F1＝mgsinθ＋Ff即為上滑過程中物塊動(dòng)能Ek隨位移x的變化率,故描述物塊上滑過程的Ek-x圖像的斜率k1不變;物塊沿斜面下滑過程中受到的合力大小F2＝mgsinθ－Ff即為下滑過程中物塊動(dòng)能Ek隨位移x的變化率,故描述物塊下滑過程的Ek-x圖像的斜率k2不變,且k2的絕對(duì)值小于k1的絕對(duì)值,故選項(xiàng)C正確.

點(diǎn)評(píng)物體的動(dòng)能隨位移的變化率的絕對(duì)值表示物體受到的合力大小.正確分析物塊沿斜面上滑和下滑過程中受到合力的大小及特點(diǎn),并結(jié)合Ek-x圖像變化率的物理意義,進(jìn)而對(duì)Ek-x圖像的分布作出定性判斷.

例2(2020 年江蘇卷)如圖1 所示,一小物塊由靜止開始沿斜面下滑,最后停在水平地面上.斜面和地面平滑連接,且物塊與斜面、物塊與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為常數(shù).該過程中,物塊動(dòng)能Ek與水平位移x關(guān)系的圖像是( ).

圖1

解析設(shè)物塊的質(zhì)量為m,斜面傾角為θ,物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,物塊開始下滑時(shí)到斜面底端的距離為s0.當(dāng)物塊沿斜面下滑的位移s滿足0≤s≤s0,即0≤x≤s0cosθ時(shí),有mgsinθ－μmgcosθ,由幾何關(guān)系知,可得為定值;當(dāng)x＞s0cosθ時(shí),物塊在水平面上向右滑動(dòng),有為定值,故選項(xiàng)A 正確.

點(diǎn)評(píng)物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)動(dòng)能Ek隨位移s變化率的絕對(duì)值表示物體在斜面上運(yùn)動(dòng)過程中受到的合力大小.題給出的圖像描述的是物塊的動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系,根據(jù)物塊沿斜面下滑的位移s與水平位移x的大小關(guān)系,將的表達(dá)式轉(zhuǎn)換為的表達(dá)式,根據(jù)的表達(dá)式結(jié)合圖像的物理意義,作出對(duì)圖像的定性判斷.

例3(2022年江蘇卷)某滑雪賽道如圖2 所示,滑雪運(yùn)動(dòng)員從靜止開始沿斜面下滑,經(jīng)圓弧滑道起跳.將運(yùn)動(dòng)員視為質(zhì)點(diǎn),不計(jì)摩擦力及空氣阻力,此過程中,運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系圖像正確的是( ).

圖2

解析設(shè)運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量為m,斜面傾角為θ,不計(jì)摩擦力和空氣阻力,由題意可知運(yùn)動(dòng)員在沿斜面下滑過程中,根據(jù)動(dòng)能定理有Ek＝mgxtanθ,可得,故運(yùn)動(dòng)員沿斜面下滑過程中的Ek-x圖像為一條過原點(diǎn)的傾斜直線;圓弧切線的水平傾角θ先減小后增大,則運(yùn)動(dòng)員在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)過程中,Ek-x圖像中曲線切線斜率的絕對(duì)值先減小后增大.綜合判斷可知選項(xiàng)A 正確.

點(diǎn)評(píng)本題給出的圖像描述的是運(yùn)動(dòng)員的動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系.運(yùn)動(dòng)員沿斜面下滑過程中其動(dòng)能Ek與水平位移x的關(guān)系圖像中切線斜率絕對(duì)值為.圓弧軌道可看成傾角θ連續(xù)變化的斜面,根據(jù)運(yùn)動(dòng)員在斜面上運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn),結(jié)合的物理意義,即可推知運(yùn)動(dòng)員在圓弧軌道上運(yùn)動(dòng)過程中Ek-x圖像的分布情況.

2 Ek-t圖像

Ek-t圖像描述的是物體的動(dòng)能Ek隨時(shí)間t變化的關(guān)系.設(shè)物體合力做功的功率為P,在一段很短的時(shí)間Δt內(nèi)物體動(dòng)能的變化為ΔEk.由動(dòng)能定理有PΔt＝ΔEk,可得.故Ek-t圖像中直線或曲線某點(diǎn)切線的斜率的絕對(duì)值表示物體所受合力做功的瞬時(shí)功率P.

例4(2018年江蘇卷)從地面豎直向上拋出一只小球,小球運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后落回地面,忽略空氣阻力,該過程中小球的動(dòng)能Ek與時(shí)間t的關(guān)系是( ).

解析設(shè)小球質(zhì)量為m,不考慮空氣阻力,小球在運(yùn)動(dòng)過程中受到的合力即為小球的重力mg.小球在上升過程中速度v1逐漸減小,由P1＝－mgv1知合力的功率逐漸減小,可知小球在上升過程中Ek-t圖像為曲線,切線斜率的絕對(duì)值逐漸減小;小球在下落過程中速度v2逐漸增大,由P2＝mgv2知合力的功率也逐漸增大,小球下落過程中的Ek-t圖像為曲線,切線斜率的絕對(duì)值逐漸增大,故選項(xiàng)A 正確.

點(diǎn)評(píng)物體動(dòng)能變化的快慢與合力做功的快慢有關(guān),即與合力的功率有關(guān).以上分析中利用了Ek-t圖像的物理意義,采用了定量與定性相結(jié)合的方法對(duì)圖像的變化進(jìn)行判斷.

3 Ep-x 圖像

Ep-x圖像描述的是物體的重力勢(shì)能Ep隨豎直位移x變化的關(guān)系.設(shè)物體的質(zhì)量為m,由重力做功與重力勢(shì)能的變化關(guān)系有ΔEp＝－mgΔx,得－mg.故Ep-x圖像某點(diǎn)切線的斜率的絕對(duì)值表示物體受到的重力大小.

例5(2020年全國(guó)卷Ⅰ)一物塊在高3.0m、長(zhǎng)5.0m 的斜面的頂端從靜止開始沿斜面下滑,其重力勢(shì)能和動(dòng)能隨下滑距離s的變化分別如圖3中直線Ⅰ、Ⅱ所示,重力加速度g取10m·s－2.則( ).

圖3

A.物塊下滑過程中機(jī)械能不守恒

B.物塊與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.5

C.物塊下滑時(shí)加速度的大小為6.0m·s－2

D.當(dāng)物塊下滑2.0m 時(shí)機(jī)械能損失了12J

解析由圖像知物塊的機(jī)械能E＝Ek＋Ep是變化的,即機(jī)械能不守恒,選項(xiàng)A 正確.設(shè)斜面的傾角為θ,有,可知θ＝37°.圖線Ⅰ為物體的重力勢(shì)能Ep隨物體沿斜面下滑的距離s的變化圖線,其圖像斜率,物塊的豎直位移大小x＝ssinθ,由得mgsinθ＝6N,故m＝1kg.圖線Ⅱ?yàn)槲矬w的動(dòng)能隨位移變化圖線,Ek-s圖像斜率k2＝2N,為物體所受合力的大小,即mgsinθ－μmgcosθ＝2 N,可得μ＝0.5,選項(xiàng)B正確.物塊沿斜面下滑時(shí)由牛頓第二定律有mgsinθ－μmgcosθ＝ma,得a＝2m·s－2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.物塊損失的機(jī)械能等于克服摩擦力做的功,即Wf＝μmgscosθ＝8J,選項(xiàng)D 錯(cuò)誤.

點(diǎn)評(píng)物體重力勢(shì)能隨豎直位移的變化率等于物體受到的重力大小,要注意物塊在斜面上運(yùn)動(dòng)的位移s與豎直位移x的大小關(guān)系.

4 Ep-t圖像

Ep-t圖像描述的是物體的重力勢(shì)能Ep隨時(shí)間t變化的關(guān)系.設(shè)物體質(zhì)量為m,由重力做功與重力勢(shì)能的變化關(guān)系有ΔEp＝－mgΔx,又由Δx＝vΔt,得.故Ep-t圖像中直線或曲線某點(diǎn)切線的斜率絕對(duì)值表示物體重力做功的瞬時(shí)功率PG.

例6(原創(chuàng))物體做自由落體運(yùn)動(dòng),不計(jì)一切阻力,則在下落過程中物體的重力勢(shì)能Ep隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的變化圖像可能是( ).

解析設(shè)物體質(zhì)量為m,某時(shí)刻豎直速度大小為v,則;自由下落的物體的速度v＝gt,故重力的功率PG＝mgv隨時(shí)間增大而增大,可知選項(xiàng)B正確.

點(diǎn)評(píng)物體重力勢(shì)能的變化量的絕對(duì)值等于重力做的功,重力勢(shì)能隨時(shí)間的變化率反映了重力勢(shì)能變化的快慢,即重力的瞬時(shí)功率大小.

5 E-x 圖像

E-x圖像描述的是物體的機(jī)械能E隨位移x變化的關(guān)系.設(shè)物體受到除重力之外其他力的合力大小為F其他,在一段很短的位移Δx內(nèi)物體機(jī)械能變化為ΔE.由功能關(guān)系有F其他Δx＝ΔE,可得.故E-x圖像中直線或曲線某點(diǎn)切線的斜率的絕對(duì)值表示物體受到重力之外其他力的合力大小.

例7(2019年全國(guó)Ⅱ卷)從地面豎直向上拋出一物體,其機(jī)械能E等于動(dòng)能Ek與重力勢(shì)能Ep之和.取地面為重力勢(shì)能零點(diǎn),該物體的E和Ep隨它離開地面的高度h的變化如圖4所示.重力加速度g取10m·s－2.由圖中數(shù)據(jù)可得( ).

圖4

A.物體的質(zhì)量為2kg

B.h＝0時(shí),物體的速率為20m·s－1

C.h＝2m 時(shí),物體的動(dòng)能Ek＝40J

D.從地面至h＝4m,物體的動(dòng)能減少100J

解析Ep-h圖像的斜率表示物體重力大小,即mg＝20N,可得m＝2kg,則選項(xiàng)A 正確;h＝0 時(shí),Ep1＝0,則,可得v1＝10m·s－1,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;h＝2m 時(shí),Ep2＝40J,則Ek2＝E2－Ep2＝90J－40J＝50J,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;設(shè)物體受到的阻力大小為Ff,E-h圖像的斜率表示物體受除重力之外的其他力即阻力大小,有Ff＝;從地面至h＝4 m,物體的動(dòng)能變化ΔEk＝W合＝－(mg＋Ff)h＝－100J,即物體的動(dòng)能減少100J,選項(xiàng)D 正確.

點(diǎn)評(píng)機(jī)械能隨位移變化圖線斜率的絕對(duì)值為物體受到除重力之外其他力的合力大小,即為本題中物體受到的阻力大小.

6 E-t圖像

由F其他Δx＝ΔE,得,即E-t圖像中直線或曲線某點(diǎn)切線的斜率的絕對(duì)值表示物體受到的除重力之外其他力的合力做功的瞬時(shí)功率.

例8(原創(chuàng))一小球從地面豎直上拋,經(jīng)t0時(shí)間到最高點(diǎn),后又落回地面,小球運(yùn)動(dòng)過程中所受空氣阻力大小與速率成正比.下列關(guān)于小球運(yùn)動(dòng)的機(jī)械能E隨時(shí)間t變化的圖像可能正確的是( ).

解析小球的速率為v時(shí)受到的空氣阻力大小為Ff＝kv.在小球上升過程中,其速率v越來越小,由知小球機(jī)械能的變化率的絕對(duì)值逐漸減小;在小球下落過程中,其速率v越來越大,故小球機(jī)械能的變化率的絕對(duì)值逐漸增大.選項(xiàng)C正確.

點(diǎn)評(píng)小球速率v與空氣阻力Ff大小隨時(shí)間t變化,小球的機(jī)械能隨時(shí)間變化,但機(jī)械能隨時(shí)間變化率的絕對(duì)值等于阻力的瞬時(shí)功率.

總之,分析與機(jī)械能有關(guān)的圖像問題時(shí),要善于從圖像變化率著手,結(jié)合動(dòng)能定理與功能關(guān)系、功率表達(dá)式,分析圖像變化率的物理意義,進(jìn)而求解問題.

(完)