許冬保(特級教師、正高級教師)

(江西省九江市第一中學)

質點動能定理是中學物理課程中的重要內容.然而,有些力學問題,應用質點動能定理求解,會帶來一些疑惑.質點系動能定理與質心動能定理作為質點動能定理的拓展,具有釋疑解惑、優(yōu)化思維品質的功能.二者形似質異,內涵不同,用于解題,相得益彰.

1 質點系動能定理

設質點系由N個質點構成,則第i個質點的動能變化量應等于作用于第i個質點的外力的功和內力的功之和,即Wi外＋Wi內＝ΔEki.

對i求和,得到質點系動能定理數(shù)學表達式為

因此,作用于質點系所有外力所做的功與所有內力所做的功的總和等于質點系動能的變化量.

質點系動能定理適用于質點系,與質點動能定理一樣,質點系動能定理也只能在慣性系中成立.其功包括內力功與外力功兩部分,其中外力功中的位移為力的作用點的位移.

2 質心動能定理

質心是質點系的平均位置,是各質點以質量為權的加權平均位置.幾何上質心是一個點,沒有內部結構,在慣性系中不存在自身的轉動.因此,質心的運動可以在某些方面代表整體的運動.

若質點質量及位置坐標分別為mi、ri,則質心位置一般公式為

對低速宏觀世界中的一切物體,由質心運動定律有

式中,∑F為系統(tǒng)受到的外力之和,aC為質心加速度.

上式兩邊點乘質心位移drC,有

上式表明,合外力對質心所做的功等于質心動能的變化量.此為質心動能定理的數(shù)學表達式或質心動能方程.

質心動能定理描述的是作用于質心上的諸外力做的總功與質心動能變化之間的關系.顯然,等號左邊是所有外力做功的代數(shù)和,不含內力功;外力功的表達式中,合外力與質心位移的乘積的意思是將合外力平移到質心后對質心所做的功,該功并不一定對應真實的功,往往叫作虛功或質心功.外力功中的位移是質心的位移,不是力的作用點的位移;質心動能是指質心平動動能,不含轉動動能.

3 應用分析

3.1 地面對運動員做功的質疑

例1一位質量為m的運動員從下蹲狀態(tài)向上起跳,經Δt時間,身體伸直并剛好離開地面,速度為v.重力加速度為g,在此過程中( ).

A.地面對他的沖量為mv＋mgΔt,地面對他做的功為

B.地面對他的沖量為mv＋mgΔt,地面對他做的功為零

C.地面對他的沖量為mv,地面對他做的功為

D.地面對他的沖量為mv－mgΔt,地面對他做的功為零

解析設地面對運動員的沖量為I,取豎直向上為正方向,則由動量定理有I－mgΔt＝mv,解得I＝mv＋mgΔt.

由于地面對人的支持力與地面垂直,且支持力的作用點未發(fā)生位移,因此,支持力對運動員不做功.選項B正確.

討論該題的疑惑在于,既然地面對運動員未做功,但運動員為何獲得了動能? 下面通過質點系動能定理及質心動能定理列方程進行分析.

1)質點系動能定理分析

運動員可視為質點系,若內力功為W,運動員重心(或質心)升高d.由質點系動能定理有W－mgd＝,解得

2)質心動能定理分析

設運動員受到地面的支持力大小為FN,由質心動能定理有,解得

綜上分析得W＝FN·d.

此處FN·d并非功量.如上所述,實際上支持力FN的作用點并未發(fā)生位移,FN不做功;FN·d可理解為虛功.表達式W＝FN·d的物理意義是內力功大小等于支持力與質心位移的乘積.類似的還有汽車牽引力做功的問題,分析方法相同.

3.2 剛體轉動問題不宜用質心動能定理來處理

例2一長為L、質量不計的剛性硬桿,左端通過鉸鏈固定于O點,中點及右端分別固定質量為m和質量為2m的小球,兩球與桿可在豎直平面內繞O點無摩擦地轉動.開始時使桿處于水平狀態(tài)并由靜止釋放,如圖1所示,當桿下落到豎直位置時,求在桿中點的球的速率.

圖1

解析兩球轉動的角速度相同,則由圓周運動角速度與線速度的關系知,桿中點的小球的速度為外端小球速度的一半.設中點的小球的速度大小為v,由質點系動能定理(或系統(tǒng)機械能守恒定律)有

討論若用質心動能定理求解,過程如下:找到兩球的質心位置,由質心動能定理,有

可見,質心動能定理與質點系動能定理所求結果不同.原因何在? 原因是質心動能定理不適用于轉動的情形.本題描述的是剛體的定軸轉動,并非質點系的平動問題.

柯尼希定理表明,轉動體的動能等于質心的動能與相對質心的動能(或相對動能)之和.計入相對動能,由質點系動能定理有

3.3 用兩個動能定理聯(lián)合處理問題更簡潔

例3有兩個質量均為m的小球,用長為2L的輕繩連接起來(球的直徑相比L可忽略),置于光滑水平面上,繩恰好處于伸直狀態(tài),如圖2所示,今用一個恒力F作用在繩的中點,F的方向水平且垂直于繩的初始長度方向,原為靜止的兩個小球因此運動.試問,在兩個小球第一次相碰前的瞬間,小球在垂直于F作用線方向上的分速度為多大?

圖2

解析 質點系動能定理

在F作用線方向(設為x方向)上,當繩與作用線成θ角時,如圖3 所示,繩中張力為小球受到作用力大小為FT,x方向的分力為,故FTx也是恒量,小球在x方向的加速度為即小球在x方向上做勻加速運動.設兩球第一次相碰前瞬間,小球的x方向分速度為vx,恒力F作用點已有的位移量為s,則小球在x方向位移為s－L,有

圖3

此時恒力F做的功為Fs.設小球垂直于x方向的分速度大小為vy,則由質點系動能定理有

質心動能定理

如圖4所示,由質心動能定理有F(s－L)＝2×.由質點系動能定理有聯(lián)立求解,結果同上.

圖4

點評對比兩種求解方法,應用質點系動能定理與牛頓運動定律求解,過程煩瑣;應用質心動能定理與質點系動能定理聯(lián)合求解,過程簡潔明了.

3.4 用質心動能定理處理問題更高效

例4如圖5所示,水平面上3 個質量均為m的小物塊,彼此相距d,在水平恒力F作用下,第1個物塊由靜止開始向右運動距離d,與第2個物塊發(fā)生完全非彈性碰撞,二者共同運動距離d后,又與第3個物塊發(fā)生完全非彈性碰撞.求水平面光滑和粗糙兩種情況下碰撞后3個物塊共同運動的速度.

圖5

解析質點系動能定理

水平面光滑.設第1個物塊以速度v1與第2個物塊發(fā)生碰撞,碰后共同速度為v2;第1、2物塊組合體以速度v3與第3個物塊發(fā)生碰撞,碰后3個物塊共同運動的速度即系統(tǒng)的質心速度,設為vC.由質點動能定理有,由動量守恒定律有mv1＝2mv2.同理,1、2整體與3發(fā)生碰撞過程,有

水平面粗糙.設第1個物塊以速度與第2個物塊發(fā)生碰撞,碰后共同速度為;第1、2物塊組合體以速度與第3個物塊發(fā)生碰撞,碰后3個物塊共同運動的速度即系統(tǒng)的質心速度,設為.由動能定理有由動量守恒定律有.同理,1、2整體與3發(fā)生碰撞,有

質心動能定理

式中,物塊1所受摩擦力對應系統(tǒng)質心位移為d,物塊2所受摩擦力對應系統(tǒng)質心位移為

方程求解結果同上.

點評本題分別應用質點動能定理及質心動能定理建立方程求解.如果水平面光滑,考查第1、2物塊的碰撞,則質心動能定理方程為;系統(tǒng)動量守恒定律方程為2mvC1＝3mvC,所得結果相同.通過對比,體會應用質心動能定理解題的優(yōu)越性.

3.5 2022年高考全國乙卷壓軸題功能分析

例5(2022年全國乙卷)如圖6-甲所示,一質量為m的物塊A與輕質彈簧連接,靜止在光滑水平面上;物塊B向A運動,t＝0時與彈簧接觸,到t＝2t0時與彈簧分離,第一次碰撞結束,A、B的v-t圖像如圖6-乙所示.已知從t＝0到t＝t0時間內,物塊A運動的距離為0.36v0t0.A、B分離后,A滑上粗糙斜面,然后滑下,與一直在水平面上運動的B再次碰撞.之后A再次滑上斜面,達到的最高點與前一次相同.斜面傾角為θ(sinθ＝0.6),與水平面光滑連接.碰撞過程中彈簧始終處于彈性限度內.求:

圖6

(1)第一次碰撞過程中,彈簧彈性勢能的最大值;

(2)第一次碰撞過程中,彈簧壓縮量的最大值;

(3)物塊A與斜面間的動摩擦因數(shù).

解析僅對第(2)問進行分析.

由系統(tǒng)動量守恒可求得B的質量為5m.設A、B之間相互作用的平均力為,由質點動能定理有

式中,vB0為碰前B的速度,由圖知vB0＝1.2v0.已知xA＝0.36v0t0,則xB＝0.792v0t0.

因此,彈簧壓縮量的最大值

討論審視上述過程,很難發(fā)現(xiàn)錯誤.可答案是錯誤的,原因何在?

拋開平均力,用積分式表示功量.對A,由質點動能定理有

對B,由質點動能定理,有

設0～t0時間內,B相對A的元位移為dx,即

聯(lián)立式③④得

設0～t0時間內,彈簧壓縮量為x,則式⑤左邊為彈簧彈性勢能

式⑤表明:彈簧彈性勢能的增加等于系統(tǒng)動能的減少.若將彈簧與A視為系統(tǒng)建立質點系動能定理方程,應為

聯(lián)立式④⑥求解,所得結果與式⑤相同.

再審視方程①②,不難發(fā)現(xiàn),出現(xiàn)錯誤的原因是力對位移的平均值的理解有誤,認為彈簧對物塊A、B的平均力大小相等,而實際上彈簧彈力在兩個不同的位移上,其力對位移的平均值不等.

綜上,兩個動能定理的聯(lián)合使用,相得益彰,可使問題的分析更加深入,對概念的理解更加透徹,有效提高思維的深刻性、批判性和敏捷性.

(完)