□ 宋利鋒 □ 陳振鳴

1.中國(guó)長(zhǎng)峰機(jī)電技術(shù)研究設(shè)計(jì)院 北京 100854 2.北京航天情報(bào)與信息研究所 北京 100854

1 研究背景

基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)是不確定性結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的最合理途徑,傳統(tǒng)的概率可靠性理論和技術(shù)已在結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中得到成功應(yīng)用[1-2]。但是,隨機(jī)可靠性優(yōu)化要求具有足夠的數(shù)據(jù),同時(shí)難以處理模糊信息。在實(shí)際工程中,要獲得足夠的數(shù)據(jù)來描述變量的概率分布,通常較為困難,尤其是在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)階段。另一方面,傳統(tǒng)的結(jié)構(gòu)模糊可靠性問題主要基于模糊概率求得模糊可靠度,同樣需要有足夠的數(shù)據(jù)[3-4]。由此可見,非概率可靠性模型處理結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題有很大優(yōu)勢(shì)[5-6]。

當(dāng)前,工程優(yōu)化問題越來越復(fù)雜,往往涉及非常耗時(shí)的數(shù)值分析模型,使傳統(tǒng)的優(yōu)化方法在效率方面無法滿足設(shè)計(jì)需要。使用代理模型來代替實(shí)際仿真模型,是一種有效的降低計(jì)算成本的方法,也被稱為元模型。早期,多項(xiàng)式響應(yīng)面模型被大量應(yīng)用于工程設(shè)計(jì)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展,人們提出更精確的代理模型,如克里金模型、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),以及一些混合模型等。通過代理模型,能極大程度提高優(yōu)化效率。代理模型是逼近局部或全局最優(yōu)解的優(yōu)化機(jī)制,已逐步在氣動(dòng)優(yōu)化設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、飛行器設(shè)計(jì)領(lǐng)域發(fā)展為最實(shí)用、最流行的優(yōu)化方法[7-8]。

筆者介紹非概率可靠性優(yōu)化方法在機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的應(yīng)用,在非概率區(qū)間體積比可靠性模型的基礎(chǔ)上建立含模糊—區(qū)間變量的體積比可靠性模型,以可靠度指標(biāo)為約束條件,建立機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型,使用Isight優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件,集成Matlab編程軟件,采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì),構(gòu)建機(jī)翼結(jié)構(gòu)二次響應(yīng)面,對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì),計(jì)算效率得到較大幅度提升。

2 模糊—區(qū)間變量非概率可靠性模型

(1)

(2)

(3)

進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換,有:

(4)

(5)

(6)

由基于體積比的可靠性理論[9],對(duì)應(yīng)式(1)的非概率可靠度指標(biāo)R(α)為:

R(α)=V(α)s/V(α)t

(7)

式中:V(α)s為安全域體積;V(α)t為總體積。

滿足條件:

=G(α,δ1,δ2,…,δn)=0

(8)

由此,結(jié)構(gòu)的可靠度R可以表示為可靠度指標(biāo)在截集水平區(qū)間的積分形式:

(9)

3 結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

結(jié)構(gòu)優(yōu)化一般可以描述為:

Findx∈Rt

minfk(x)k=1,2,…,m

s.t.gj(x)≤0j=1,2,…,l

(10)

式中:x∈Rt為設(shè)計(jì)變量;fk(x)為目標(biāo)函數(shù);gj(x)為約束函數(shù)。

對(duì)于存在不確定參量的機(jī)翼結(jié)構(gòu),一般而言fi(x)和gj(x)與不確定參量有關(guān)。

當(dāng)不確定參量?jī)H影響約束時(shí),類似于隨機(jī)可靠性優(yōu)化,機(jī)翼結(jié)構(gòu)的單目標(biāo)可靠性優(yōu)化問題可以描述為:

Findx∈Rt

minf(x)

s.t.Rd(x,p)≥Rmind=1,2,…,s

(11)

4 試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法

試驗(yàn)設(shè)計(jì)是近似技術(shù)的重要組成部分。試驗(yàn)設(shè)計(jì)關(guān)系到如何安排試驗(yàn)才能以最少的試驗(yàn)次數(shù)最真實(shí)反映設(shè)計(jì)對(duì)象隨設(shè)計(jì)變量的變化趨勢(shì),這對(duì)于分析耗時(shí)、變量之間關(guān)系復(fù)雜的飛行器設(shè)計(jì)而言是一個(gè)非常重要的問題。

拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)采用等概率隨機(jī)正交分布原則來生成均勻樣本點(diǎn),具有樣本記憶功能,能夠避免重復(fù)抽取已出現(xiàn)過的樣本點(diǎn),抽樣效率較高,可以使分布在邊界處的樣本點(diǎn)參與抽樣,在抽樣較少的情況下獲得較高的計(jì)算精度[10-11]。

5 響應(yīng)面技術(shù)

響應(yīng)面技術(shù)將試驗(yàn)設(shè)計(jì)與數(shù)理統(tǒng)計(jì)相結(jié)合,對(duì)指定的設(shè)計(jì)點(diǎn)集合進(jìn)行試驗(yàn),在設(shè)計(jì)空間構(gòu)造測(cè)定量的全局逼近,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的響應(yīng)面模型來預(yù)測(cè)非試驗(yàn)點(diǎn)的響應(yīng)值。設(shè)計(jì)變量為因素,設(shè)計(jì)目標(biāo)和約束為響應(yīng),響應(yīng)面關(guān)系的一般形式表示為:

y=f(x1,x2,…,xt)

(12)

響應(yīng)面近似函數(shù)通常用多項(xiàng)式表示,如果有ns次試驗(yàn)設(shè)計(jì)分析,那么響應(yīng)面模型具有以下形式:

p=1,2,…,ns

(13)

則多項(xiàng)式因數(shù)的數(shù)量nt為:

nt=[(t+1)(t+2)]/2

(14)

為估計(jì)回歸因數(shù),需要進(jìn)行ns次試驗(yàn),ns大于nt,則此估計(jì)問題可以用矩陣形式表示為:

Y1≈XC

(15)

Y1=[y(1),y(2),…,y(ns)]T

(16)

(17)

式中:Y1為ns次試驗(yàn)響應(yīng)面函數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣;X為ns次試驗(yàn)設(shè)計(jì)變量矩陣;C為回歸因數(shù)矩陣。

式(15)的最小二乘法解矩陣形式可以表示為:

(18)

6 應(yīng)用

6.1 機(jī)翼結(jié)構(gòu)有限元模型

筆者應(yīng)用非概率可靠性優(yōu)化方法對(duì)某支線客機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。機(jī)翼半展長(zhǎng)為14.6 m,采用雙梁式結(jié)構(gòu)。機(jī)翼的主要承力部件包括蒙皮、前后翼梁、長(zhǎng)桁、翼肋,梁、肋、蒙皮等采用兩種材料制作,材料屬性見表1。

表1 材料屬性

表1中,密度、彈性模量是不確定的區(qū)間參數(shù),兩種材料的密度分別取為[2 600 kg/m3,3 000 kg/m3]、[2 600 kg/m3,2 900 kg/m3],兩種材料的彈性模量分別取為[70 GPa,72 GPa]、[71 GPa,74 GPa]。考慮載荷的不確定性,在某種飛行工況下,載荷的變異因數(shù)設(shè)為0.1,兩種材料的屈服極限r(nóng)1、r2均為模糊變量,其隸屬函數(shù)分別為:

(19)

(20)

機(jī)翼結(jié)構(gòu)的有限元模型如圖1所示。

▲圖1 機(jī)翼結(jié)構(gòu)有限元模型

6.2 數(shù)學(xué)模型

以機(jī)翼結(jié)構(gòu)質(zhì)量最小為設(shè)計(jì)目標(biāo),考慮結(jié)構(gòu)中存在模糊—區(qū)間不確定參數(shù),建立優(yōu)化模型。設(shè)計(jì)變量包括翼根和翼尖蒙皮厚度、翼根和翼尖長(zhǎng)桁截面面積、加強(qiáng)肋和普通肋緣條截面積、翼根和翼尖梁腹板厚度、翼根和翼尖梁緣條截面積。

優(yōu)化設(shè)計(jì)變量使設(shè)計(jì)目標(biāo)得到改善,但必須滿足由設(shè)計(jì)要求確定的約束條件。要求機(jī)翼各部件滿足強(qiáng)度準(zhǔn)則,翼尖相對(duì)垂直變形不大于1.46 m。另外,基于可靠性的優(yōu)化設(shè)計(jì),強(qiáng)度可靠性應(yīng)滿足要求。

機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為:

FindAg∈Rmg=1,2,…,6

Th∈Rmh=1,2,3,4

minW

s.t.prob_quad>[prob]

prob_rod>[prob]

prob_disp>[prob]

δmax≤[δ]

(21)

式中:Ag為機(jī)翼長(zhǎng)桁和梁肋緣條的截面積;Th為機(jī)翼蒙皮和梁腹板的厚度;Rm為設(shè)計(jì)變量集合;W為機(jī)翼結(jié)構(gòu)質(zhì)量;prob_quad、prob_rod、prob_disp依次為殼單元、桿單元、機(jī)翼垂直方向最大位移對(duì)應(yīng)的模糊—區(qū)間可靠度;[prob]為可靠度指標(biāo)下限,取0.95;δmax為機(jī)翼翼尖的最大位移;[δ]為最大容許位移,取1 460 mm。

采用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì),近似擬合響應(yīng)面模型,得到目標(biāo)函數(shù)和約束條件關(guān)于設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)的顯式函數(shù)。將設(shè)計(jì)變量和不確定參數(shù)作為統(tǒng)一的變量,利用拉丁超立方試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行采樣,計(jì)算真實(shí)模型在各采樣點(diǎn)處的響應(yīng)值,通過采樣點(diǎn)和相應(yīng)響應(yīng)值構(gòu)造響應(yīng)面模型,機(jī)翼結(jié)構(gòu)質(zhì)量和各個(gè)約束條件采用二次響應(yīng)面擬合。利用構(gòu)造響應(yīng)面近似模型代替原問題的真實(shí)模型,按照模糊—區(qū)間非概率可靠性優(yōu)化模型進(jìn)行轉(zhuǎn)換,得出確定性數(shù)學(xué)優(yōu)化問題。傳統(tǒng)優(yōu)化算法求解復(fù)雜的優(yōu)化問題容易陷入局部解,采用改進(jìn)的模擬退火算法,可以得到全局最優(yōu)解。

6.3 優(yōu)化結(jié)果

不考慮不確定參數(shù),對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行傳統(tǒng)優(yōu)化,與筆者所提出的非概率可靠性優(yōu)化相比較,結(jié)果見表2。

表2 機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果比較

采用初始值、傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果、非概率可靠性優(yōu)化結(jié)果,機(jī)翼的應(yīng)力和變形依次如圖2、圖3、圖4所示。

▲圖2 初始值機(jī)翼結(jié)構(gòu)應(yīng)力與變形

▲圖3 傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果機(jī)翼結(jié)構(gòu)應(yīng)力與變形

▲圖4 非概率可靠性優(yōu)化結(jié)果機(jī)翼結(jié)構(gòu)應(yīng)力與變形

采用非概率可靠性優(yōu)化方法得到的質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果1.073 6 t和采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的質(zhì)量?jī)?yōu)化結(jié)果0.945 7 t均小于優(yōu)化前初始值,采用非概率可靠性優(yōu)化方法得到的優(yōu)化結(jié)果大于采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的優(yōu)化結(jié)果,偏大13.5%,偏于保守。這正是考慮了機(jī)翼材料參數(shù)和氣動(dòng)載荷的不確定性影響,在優(yōu)化中加入可靠性設(shè)計(jì)的結(jié)果,要獲得可靠性,就會(huì)犧牲一定的目標(biāo)函數(shù)值。采用傳統(tǒng)優(yōu)化方法得到的質(zhì)量雖然小于初始質(zhì)量,但材料承受的應(yīng)力增大,因質(zhì)量減小引起強(qiáng)度不足。采用非概率可靠性優(yōu)化方法,不但質(zhì)量相比初始值有明顯減小,而且材料所承受的應(yīng)力也減小,降低了機(jī)翼結(jié)構(gòu)破壞的可能性,說明實(shí)際工程中應(yīng)該適當(dāng)考慮不確定因素對(duì)機(jī)翼結(jié)構(gòu)的影響。筆者提出的非概率可靠性優(yōu)化方法能夠滿足要求,并且可以保證機(jī)翼結(jié)構(gòu)在多變的因素下盡可能不失效。因此,基于非概率可靠性優(yōu)化的機(jī)翼結(jié)構(gòu)相比傳統(tǒng)優(yōu)化具有更高的安全性。

7 結(jié)論

基于結(jié)構(gòu)的模糊—區(qū)間非概率干涉模型,提出含模糊變量的非概率可靠性模型,在此基礎(chǔ)上建立基于近似技術(shù)的結(jié)構(gòu)模糊—區(qū)間可靠性優(yōu)化模型。以建立的模糊—區(qū)間可靠度為約束條件,以質(zhì)量最小為目標(biāo)函數(shù),對(duì)某型飛機(jī)機(jī)翼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。采用的近似技術(shù)可以較為準(zhǔn)確地?cái)M合設(shè)計(jì)變量與響應(yīng)之間的復(fù)雜關(guān)系,響應(yīng)面精度高,滿足工程要求,并且可以使計(jì)算效率提高。不同于傳統(tǒng)的優(yōu)化問題,考慮參數(shù)受不確定性的影響,將約束函數(shù)中包含的不確定參數(shù)用非概率區(qū)間理論轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)優(yōu)化問題,并將強(qiáng)度約束轉(zhuǎn)換為可靠度指標(biāo)約束。通過與初始值及傳統(tǒng)優(yōu)化結(jié)果比較,確認(rèn)得到滿意的優(yōu)化結(jié)果。

采用非概率可靠性優(yōu)化方法能夠較好地分析復(fù)雜的帶有模糊—區(qū)間不確定因素的機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題,正確反映各個(gè)設(shè)計(jì)變量與機(jī)翼結(jié)構(gòu)各響應(yīng)之間的關(guān)系,優(yōu)化結(jié)果合理,由此確認(rèn)非概率可靠性優(yōu)化方法在機(jī)翼結(jié)構(gòu)優(yōu)化方面的可行性和有效性。