沈 浩

(江蘇省蘇州中學(xué)，江蘇蘇州，215007)

1 課程背景與意圖

從教育部深化高中課程改革的要求來(lái)看，高中除注重學(xué)科知識(shí)的掌握和運(yùn)用以外，更應(yīng)該消除側(cè)重應(yīng)試教育這一弊病.從學(xué)生健康發(fā)展的內(nèi)部需要來(lái)看，學(xué)生個(gè)體對(duì)個(gè)性化、多樣化發(fā)展的需求日益強(qiáng)烈[1].

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》在內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)部分，將數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)文化作為獨(dú)立的部分呈現(xiàn)，闡述了各自的內(nèi)涵、教育價(jià)值，并提出了要求，對(duì)如何實(shí)施給出了說(shuō)明和建議.數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)建模作為一種新的學(xué)習(xí)方式引入高中數(shù)學(xué)課程，旨在為學(xué)生提供自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的空間，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念、結(jié)論產(chǎn)生的過(guò)程，體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值和作用，形成積極向上的情感、態(tài)度和價(jià)值觀[2].

江蘇省蘇州中學(xué)前身為蘇州府學(xué)，為北宋政治家、文學(xué)家范仲淹創(chuàng)辦.范仲淹在《上執(zhí)政書(shū)》中說(shuō)人才培養(yǎng)與選拔要“先策論以觀其大要，次詩(shī)賦以觀其全才.以大要定其留，以全才升其等級(jí)”，該法主張“明體達(dá)用”，實(shí)行“以類(lèi)群居，相與講習(xí)”，分“經(jīng)義”“治事”二齋教學(xué).經(jīng)義齋研學(xué)經(jīng)學(xué)基本理論，屬“明體”之學(xué)；治事齋主攻農(nóng)田、水利、軍事、天文、歷算等實(shí)學(xué)知識(shí)，屬“達(dá)用”之學(xué).據(jù)此我校衛(wèi)新校長(zhǎng)提出了基于核心素養(yǎng)的書(shū)院制育人模式，為了研究書(shū)院制育人模式的實(shí)踐道路和貫徹蘇州市教育系統(tǒng)落實(shí)拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)要求，筆者以人教版數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第162頁(yè)“建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題”這一課為例，進(jìn)行探索研究如何有效培育學(xué)生“四基”.在此探索過(guò)程中筆者面向本校21級(jí)少預(yù)班學(xué)生開(kāi)設(shè)了《函數(shù)中的“表”》的公開(kāi)課.

2 教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)一

問(wèn)題1：研究表明，40 ℃的溫水比較適合人體飲用.那么在室溫下，剛接好的一定溫度開(kāi)水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能適合人體飲用？

同學(xué)們，對(duì)于這個(gè)問(wèn)題我們需要采集哪些數(shù)據(jù)，應(yīng)該構(gòu)建怎樣的函數(shù)關(guān)系？

我們可以利用秒表、溫度計(jì)等工具，收集水溫隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù).

學(xué)生每隔1 min測(cè)量一次水溫，得到下表的一組數(shù)據(jù).

時(shí)間/min012345678910水溫/℃

設(shè)計(jì)意圖：這樣設(shè)計(jì)是為了提高學(xué)生興趣，但由于需要合理分配時(shí)間，所以之后分兩條線進(jìn)行，請(qǐng)一位學(xué)生測(cè)量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其他同學(xué)進(jìn)入知識(shí)回顧環(huán)節(jié)，等十分鐘到了之后請(qǐng)學(xué)生報(bào)出測(cè)量數(shù)據(jù).

活動(dòng)二

問(wèn)題2：觀察下列函數(shù)表格中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，寫(xiě)出可能的一個(gè)解析式.

x123456f(x)=3x+25811141720作差33333

x-101234f(x)=x-32()2-14620026作差-4-2024

x0123456f(x)=x+14+3222.61833.3033.5623.7914作差(反函數(shù))0.6180.3820.3030.2590.2290.209

x123456f(x)=lg x00.3010.4770.6020.6990.778作差0.3010.1760.1250.0970.079

x123456f(x)=x711282 18716 38478 125279 936lg f(x)02.1073.3404.2144.8935.447

x11.522.533.5f(x)=3·4x12244896192384作商22222

小結(jié)：可以從函數(shù)的數(shù)據(jù)本身(作差、作商)或與其他函數(shù)間關(guān)系兩方面來(lái)探究函數(shù)解析式.

R3667.2593141.75887.97T88.0224.7365.3687.04 331.8R3/2216551.5896.91 687.710 641.4作商2.452.452.452.462.46

開(kāi)普勒第三定律：以太陽(yáng)為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)行的所有行星，其各自橢圓軌道半長(zhǎng)軸的立方與周期的平方之比是定值.

設(shè)計(jì)意圖：在天文歷史中，科學(xué)家也遇到過(guò)從數(shù)據(jù)列表出發(fā)，尋找兩個(gè)變量之間的規(guī)律，提出這樣的列表問(wèn)題使學(xué)生感覺(jué)這堂課的意義所在.

室溫18.1 ℃

時(shí)間/min012345678910水溫/℃9187.684.982.48077.675.573.671.769.867.9

設(shè)計(jì)意圖：此時(shí)正好觀察的同學(xué)已記錄好實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，請(qǐng)他把數(shù)據(jù)一一報(bào)出.

活動(dòng)三

問(wèn)題3：如何分析水溫與時(shí)間的數(shù)據(jù)，建立怎樣的函數(shù)模型？

水溫是時(shí)間的函數(shù)，但沒(méi)有現(xiàn)成的函數(shù)模型.為此，可以先畫(huà)出散點(diǎn)圖，利用圖象直觀分析這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，從而幫助我們選擇函數(shù)類(lèi)型.

觀察散點(diǎn)圖的分布狀況，利用前面數(shù)據(jù)分析有作差和作商的方法，并考慮到茶水溫度降至室溫(室溫為t℃)就不能再降的事實(shí)，可選擇函數(shù)y=kax+t(k∈R,0

為了求出溫度的衰減比例a，可從第2 min的溫度數(shù)據(jù)開(kāi)始，計(jì)算每分(y-t(室溫))的值與上一分(y-t(室溫))值的比值，列出下表

x0123…nn+1…8910y-t…y1-ty2-t…比值…y2-ty1-t…

計(jì)算各比值的平均值，我們把這個(gè)平均值作為衰減比例，就得到一個(gè)函數(shù)模型

y=72.9·0.961x+18.1.

將已知數(shù)據(jù)代入函數(shù)解析式，并畫(huà)出函數(shù)圖形，檢驗(yàn)函數(shù)模型與實(shí)際數(shù)據(jù)是否吻合，能否較好地反映水溫隨著時(shí)間的變化規(guī)律.

問(wèn)題4：在室溫下，剛接好的一定溫度開(kāi)水大約需要放置多長(zhǎng)時(shí)間才能達(dá)到40 ℃，適合人體飲用？

活動(dòng)四

問(wèn)題5：經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到一輛汽車(chē)每小時(shí)耗油量Q(單位：L)與速度v(單位：km/h)(0≤v≤120)的下列數(shù)據(jù)：

v406090100120Q5.268.3251015.6

為了描述汽車(chē)每小時(shí)耗油量(單位：L)與速度的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：

Q(v)=0.5v+a，Q(v)=av2+bv+c，Q(v)=av3+bv2+cv.

請(qǐng)?zhí)顚?xiě)表格空白處數(shù)據(jù)，并通過(guò)分析數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，求出相應(yīng)的函數(shù)解析式.

解：選擇函數(shù)模型為Q(v)=av3+bv2+cv.

方法1：

方法2：

v406080100120每小時(shí)???耗油量Q(單位:L)5.261015.6百公里???耗油量P(單位:L)131091013作差-3-113再作差2222

設(shè)計(jì)意圖：這里表面上看為待定系數(shù)，其實(shí)可以根據(jù)前面的活動(dòng)二通過(guò)二次函數(shù)兩次作差為定值的特點(diǎn)得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，再代入一組數(shù)據(jù)得到二次項(xiàng)系數(shù).使學(xué)生再次體會(huì)對(duì)于表中數(shù)據(jù)處理后運(yùn)算較為簡(jiǎn)便.

課堂小結(jié)

(1)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界(提出問(wèn)題)；

(2)用數(shù)學(xué)的思維思考世界(建立模型)；

(3)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)世界(函數(shù)表示).

3 教學(xué)反思

3.1 在培育學(xué)生“四基”時(shí)，以基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)粘合其余三維數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊

“四基”指基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).基礎(chǔ)知識(shí)是指教材中的基本知識(shí)點(diǎn)，包括數(shù)學(xué)中的概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理；基本技能是指應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)按照一定的程序與步驟進(jìn)行解決問(wèn)題；基本思想方法是指對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)知識(shí)，是從某些具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容和對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉上升的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，它揭示了數(shù)學(xué)發(fā)展中普遍的規(guī)律，它直接支配著數(shù)學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)，這是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)；基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指經(jīng)歷思考、探究、實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程之后獲得過(guò)程性知識(shí)、最終形成應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí).數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以這樣理解：數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過(guò)程中所形成的感性知識(shí)、情緒體驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí).

第一維度，基本數(shù)學(xué)知識(shí)的積累過(guò)程；第二維度，基本數(shù)學(xué)技能的演練過(guò)程；第三維度，基本數(shù)學(xué)思想方法的形成過(guò)程.這樣一來(lái)，“四基”中前“三基”就已經(jīng)形成了一個(gè)三維的“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊”.而基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)本身并不構(gòu)成一個(gè)單獨(dú)的維度，而是填充在三維模塊中間的粘合劑.事實(shí)上，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué).學(xué)生通過(guò)無(wú)處不在的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)獲得的經(jīng)驗(yàn)，與數(shù)學(xué)基本知識(shí)、基本能力、基本思想方法交織在一起，滲透在整體數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中[3]，如圖所示，在具體上課過(guò)程中，設(shè)計(jì)了四個(gè)活動(dòng)，活動(dòng)一利用秒表、溫度計(jì)等工具收集水溫隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)，使學(xué)生對(duì)水冷實(shí)驗(yàn)有初步的物理學(xué)上的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)識(shí)；活動(dòng)二觀察給定函數(shù)表格中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，寫(xiě)出可能的一個(gè)解析式，進(jìn)而學(xué)生總結(jié)得出經(jīng)驗(yàn)，可以從函數(shù)的數(shù)據(jù)本身(作差、作商)或與其他函數(shù)間關(guān)系兩方面來(lái)探究函數(shù)解析式；活動(dòng)三利用前面對(duì)于數(shù)據(jù)處理的基本經(jīng)驗(yàn)和測(cè)量數(shù)據(jù)，探究水冷實(shí)驗(yàn)中時(shí)間和水溫的函數(shù)關(guān)系式；活動(dòng)四通過(guò)例題檢驗(yàn)所學(xué)方法，使學(xué)生對(duì)于數(shù)據(jù)處理的基本方法經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行再認(rèn)知.這四個(gè)活動(dòng)環(huán)環(huán)相扣，以基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)為粘合劑，粘合基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想.

3.2 在培育學(xué)生“四基”時(shí)，三維數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊相互滲透、相互交織

基礎(chǔ)知識(shí)基本技能基本思想活動(dòng)一水冷實(shí)驗(yàn)函數(shù)概念收集水溫、時(shí)間函數(shù)思想活動(dòng)二寫(xiě)解析式函數(shù)圖像與性質(zhì)作差、作商轉(zhuǎn)化與化歸活動(dòng)三寫(xiě)水冷解析式分析指數(shù)函數(shù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)求解方程、待定系數(shù)數(shù)形結(jié)合活動(dòng)四思考反饋二次函數(shù)圖像與性質(zhì)待定系數(shù)轉(zhuǎn)化與化歸

從表格中我們可以看出，本次公開(kāi)課在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想中都動(dòng)用了豐富的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊，使其形成了一個(gè)“四基”整體，其中的“實(shí)踐”即為基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)活動(dòng)的途徑，其中的“分析”即為在各個(gè)活動(dòng)中提升數(shù)學(xué)基礎(chǔ)模塊的方法，從而通過(guò)“實(shí)踐+分析”的方式有效培育學(xué)生的“四基”.