洪末鳳

(安徽省太和縣第一中學，安徽阜陽，236000)

“聯(lián)系的觀點”認為一切事物都處于相互聯(lián)系之中,世界上根本沒有不依賴于周圍其他事物而孤立存在的事物.“聯(lián)系的觀點”指的是重視知識的比較和應用,形成全局的觀點,形成和優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).注重“聯(lián)系的觀點”不僅是數(shù)學教育界的一個普遍趨勢，而且更與“理解教學”具有直接的聯(lián)系，因為所謂的“理解”就是指新學習的知識與主體已有的知識與經(jīng)驗建立起了直接的聯(lián)系，因此“聯(lián)系”的數(shù)目與強度直接決定了“理解”的程度.眾所周知，“兩角差的余弦公式”是“誘導公式”的推廣，但是兩個公式之間究竟存在怎樣的聯(lián)系，如何利用它們之間的聯(lián)系開展教學是困擾廣大一線教師的問題.下面，筆者就針對這節(jié)課，談談對此的看法.

1 關注知識的連續(xù)性，建立“為什么學”的聯(lián)系

通常“兩角差的余弦公式”都是通過“誘導公式”引入的.因為誘導公式反應了終邊具有特殊對稱關系角的三角函數(shù)的關系，由此聯(lián)想到對于終邊不具有對稱關系的任意兩個角之間是否也存在類似的關系，從而引出本節(jié)課的教學主題.這樣的聯(lián)系，看似是自然，實則學生很難想到.首先，“誘導公式”與“兩角差的余弦公式”中間隔了“三角函數(shù)圖像與性質(zhì)”，這兩部分的內(nèi)容實際上是被認為的割裂開來，它們之間的聯(lián)系也就變得不再那么緊密.根據(jù)聯(lián)系的觀點，越是相近的知識它們之間聯(lián)系應該越強.基于這個觀點，如果我們從“三角函數(shù)圖像與性質(zhì)”出發(fā)，能否建立起知識間的聯(lián)系呢？

2 關注方法的遷移性，建立“如何學”的聯(lián)系

一般數(shù)學公式的推導方法有很多，究竟選擇哪種方法往往會讓人糾結(jié).在人教A版舊教材中，“兩角差的余弦公式”就采用了兩種方法，一個就是幾何構(gòu)造法，另一個就是向量法.兩種方法雖然都能推導出公式，但都存在不足，最后都要對α,β的范圍進行一般性的推廣，而且?guī)缀畏y以想到，向量法雖然簡單，但跟三角函數(shù)似乎沒多大關系.人教A版新教材中，采用的是旋轉(zhuǎn)對稱法，這種方法更加符合單元設計理念，符合學生的認知思維，但旋轉(zhuǎn)對稱法學，不容易想到，這就需要與誘導公式的推導方法建立起聯(lián)系，然后通過類比遷移，從而獲得公式的推導方法.

誘導公式的推導方法利用的是單位圓的特殊對稱性，即“軸對稱”與“中心對稱”.在推導誘導公式時，是先已知對稱性，然后再去確定角的終邊，最后再尋找終邊上坐標的等量關系.例如，事先已經(jīng)知道兩個角的終邊關于y軸對稱，具體做法是先確定角α的終邊，再作角α終邊關于y軸的對稱終邊，然后分析對稱終邊所指向角的大小，發(fā)現(xiàn)滿足π-α；最后，有對稱性，很容易發(fā)現(xiàn)這兩個角所對應坐標之間的等量關系，從而獲得關于π-α的誘導公式.

cos(α-β)的推導利用的是單位圓的旋轉(zhuǎn)對稱，它是比軸對稱與中心對稱更具一般性的對稱，也就是說終邊對稱與軸對稱都可以看成旋轉(zhuǎn)對稱，如果能夠讓學生明白這一點，公式推導也就迎刃而解.那么，如何建立起它們自己的聯(lián)系呢？首先讓學生思考，如果不事先知道對稱性，能否確定α與π-α的終邊？α終邊事先可以規(guī)定，但對于π-α就不好確定，不過可以確定π-α的大小，如圖1所示.根據(jù)研究三角函數(shù)關系一般準則，則需要把所有的角的始邊都轉(zhuǎn)移到x軸的正半軸上，如何把π-α的始邊轉(zhuǎn)移過去呢？自然想到的方法是“旋轉(zhuǎn)”，從而就得到了比中心對稱、軸對稱更具一般性的對稱，旋轉(zhuǎn)對稱.接下去，類比旋轉(zhuǎn)對稱的思路就可以確定α,β，α-β三個角的終邊，再比較旋轉(zhuǎn)前后圖形的位置關系來尋找等量關系，最后獲得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

圖1

3 關注思維的拓展性，建立更多的聯(lián)系

數(shù)學教學的最終目標并不僅僅是讓學生掌握知識與結(jié)論，更在于發(fā)展學生的數(shù)學思維.“兩角差的余弦公式”也是如此，獲得公式知識僅是其中一個目的，更應通過公式的發(fā)現(xiàn)、證明的過程建立起更多的聯(lián)系，聯(lián)系越多，就越容易形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學思維體系.

圖2

圖3

最后，通過上述一系列公式的推導，充分凸顯了單位圓作為研究三角函數(shù)的工具作用，也讓學生進一步體會到三角函數(shù)是圓函數(shù)這一本質(zhì)屬性，從而通過圓把所有的三角函數(shù)知識都聯(lián)系起來.

客觀世界是一個普遍聯(lián)系的整體，每一事物都不是孤立的存在，它和其他事物以各種方式相互依賴著，相互制約著，相互作用著.從數(shù)學的發(fā)展即可揭示出事物無不處于普遍聯(lián)系之中.國際教育署與國際教育學會于2009年聯(lián)合推出的指導性手冊《有效數(shù)學教學》將“聯(lián)系”列為數(shù)學教育最重要的“標準”之一，并且指出：當學生能夠用相互聯(lián)系的觀點看待各種事物的時候，他們的學習生涯就開始了.