周 豪，孫志堅(jiān)，龐逸晨，俞自濤，2

（1.浙江大學(xué) 能源工程學(xué)院 熱工與動力系統(tǒng)研究所，浙江 杭州 310027；2.浙江大學(xué) 能源清潔利用國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310027）

0 引 言

強(qiáng)化傳熱同時(shí)減小熱管理系統(tǒng)的尺寸和體積一直是學(xué)者們深入研究的內(nèi)容[1]。 目前已經(jīng)開發(fā)了很多新型微冷卻技術(shù)，其中，微熱管技術(shù)自從1984 年被Cotter[2]首次提出后，是目前行之有效的方法之一。 熱管利用工質(zhì)的蒸發(fā)和冷凝進(jìn)行傳熱，由于一般情況下相變潛熱遠(yuǎn)大于顯熱，因此不需要在熱源和冷源之間存在較大的溫差，即可使熱管具有較好的傳熱性能[3]。 此外，在一定飽和壓力下相變發(fā)生時(shí)飽和溫度是恒定的，因此熱管還具有較好的均溫性能[4]；同時(shí)，熱管借助相變的原理省去了單相冷卻技術(shù)所需的高泵浦功率要求[5]，不需額外的外部能耗。

在目前已經(jīng)開發(fā)的多種新型微冷卻技術(shù)中，扁平微槽道熱管由于其優(yōu)異的傳熱性能、良好的均溫性、簡便的加工方法等優(yōu)勢在電子器件冷卻[6，7]等領(lǐng)域得到廣泛的應(yīng)用。 但熱管的傳熱性能容易受到各種運(yùn)行參數(shù)[8]和結(jié)構(gòu)參數(shù)[9-11]的影響。 不同的應(yīng)用場景對應(yīng)著不同的運(yùn)行參數(shù)，有不同的散熱需求，針對特定的運(yùn)行參數(shù)應(yīng)選取合適的結(jié)構(gòu)參數(shù)，如充液率[12]，使熱管發(fā)揮最大傳熱能力。 而通過實(shí)驗(yàn)優(yōu)化熱管結(jié)構(gòu)參數(shù)不但成本高，而且十分耗費(fèi)時(shí)間和精力，因此，通過建立理論模型探究熱管的傳熱極限具有十分重要的意義。

目前學(xué)者們主要開發(fā)了兩類方法計(jì)算熱管的傳熱極限。 第一類方法是根據(jù)傳熱極限的產(chǎn)生機(jī)制，建立經(jīng)驗(yàn)關(guān)聯(lián)式，分別描述冷凝傳熱極限、粘滯極限、冷凍啟動極限、連續(xù)流動極限、聲速極限、攜帶極限、毛細(xì)極限和沸騰極限[13-16]。 這一類方法簡便直接，容易操作，但是由于熱管的種類和形式過于繁多，關(guān)聯(lián)式僅能提供基本的定性預(yù)測功能，并不能針對不同種類的熱管均給出相對準(zhǔn)確的傳熱極限預(yù)測結(jié)果。

針對扁平微槽道熱管的多項(xiàng)研究表明，毛細(xì)極限是其主要傳熱極限[17，18]，因此，學(xué)者們建立了基于熱管流動模型的毛細(xì)極限計(jì)算模型[17，19]。 該方法主要基于質(zhì)量守恒、動量守恒Young-Laplace方程，具有較高的精度且能從本質(zhì)上描述熱管發(fā)生傳熱極限的機(jī)理，因而具有較大的工程應(yīng)用和理論指導(dǎo)價(jià)值。 但在這類方法中，學(xué)者們普遍僅考慮了由于蒸發(fā)段蒸干導(dǎo)致的毛細(xì)極限，而沒有考慮隨著充液率或加熱功率的增加，冷凝段出現(xiàn)液堵所導(dǎo)致的毛細(xì)極限[20]，這是需要改進(jìn)的地方。

本文提出了一種基于一維流動模型的鋁—丙酮扁平微槽道熱管毛細(xì)極限模型，同時(shí)考慮了由于蒸發(fā)段蒸干導(dǎo)致的蒸發(fā)極限和由于冷凝段液堵導(dǎo)致的冷凝極限，在液堵段考慮了接觸角的變化。針對一維流動模型、蒸發(fā)極限模型和冷凝極限模型三部分分別給出求解算法，并以此探究充液率對熱管性能的影響。 文中給出了流場參數(shù)、蒸發(fā)極限和冷凝極限隨充液率變化的計(jì)算結(jié)果并進(jìn)行相應(yīng)討論。

1 模型建立

1.1 一維流動模型建立

本文所研究的扁平微槽道熱管單一槽道如圖1（a）所示，槽道形狀為梯形，槽道截面尺寸如圖1（b）所示。 扁平微槽道熱管的蒸發(fā)和冷凝極限模型是建立在流動模型的基礎(chǔ)上，由于槽道的軸向尺寸比截面尺寸要大的多，同時(shí)考慮到熱管的對稱性，僅需要對一條槽道建立一維模型[21]。提出如下假設(shè)：（1）汽液兩相均不可壓縮；（2）工質(zhì)的熱物性不沿?zé)峁茌S向變化；（3）流動為層流；（4）彎液面的軸向曲率半徑為無窮大；（5）熱管水平放置，忽略重力影響。

圖1 槽道形狀與截面尺寸

質(zhì)量守恒關(guān)系如圖2（a）所示，質(zhì)量守恒方程為：

圖2 質(zhì)量與動量守恒關(guān)系

式中，下標(biāo)l和v分別表示液相和氣相，ρ為密度，u為速度，A為截面積，w為單個(gè)槽道的寬度，hfg為汽化潛熱，x為軸向坐標(biāo)，q為熱流密度，由式（2）計(jì)算。

式中，下標(biāo)e和c分別表示蒸發(fā)段和冷凝段，l為長度，Qin為蒸發(fā)段的加熱功率，本文僅考慮蒸發(fā)段均勻加熱的情況，且為了簡便計(jì)算，假定冷凝段也為均勻熱流邊界條件，同時(shí)本文研究熱管的穩(wěn)態(tài)，假定冷凝段總換熱功率等于蒸發(fā)段的加熱功率Qin。

以蒸發(fā)段為例的動量守恒關(guān)系如圖2（b）所示，絕熱段和冷凝段同理，其中，控制體內(nèi)由于相變導(dǎo)致的動量變化被考慮在內(nèi)，液相和氣相的動量守恒方程分別為

式中，下標(biāo)s表示固相，P為壓力，p為界面長度，τ為剪切應(yīng)力。

在扁平微槽道熱管中，有表面張力產(chǎn)生的毛細(xì)壓力是驅(qū)動冷凝段液化工質(zhì)回流的主要驅(qū)動力，毛細(xì)現(xiàn)象由Laplace-Young方程描述，如式（5）所示。

式中，σ為表面張力，rc為截面上彎月面半徑。

由于已經(jīng)假定流動為層流，所以對氣液兩相均有

式中，Re為雷諾數(shù)，D為槽道當(dāng)量直徑計(jì)算方法如式（7）所示，μ為工質(zhì)動力粘度，f為摩擦系數(shù)。摩擦系數(shù)f和雷諾數(shù)Re的乘積為泊肅葉數(shù)Po，泊肅葉數(shù)Po是僅取決于幾何結(jié)構(gòu)的無量綱數(shù)，在本文中，液相和氣相的泊肅葉數(shù)Po分別取值14.2 和24[17]。 此外，由于氣相速度和液相速度相差很大，氣液界面處的剪切應(yīng)力計(jì)算可以假設(shè)液相靜止。

式中，θ為彎月面對應(yīng)圓心角，δ為液膜厚度，其余幾何參數(shù)于圖1（b）中標(biāo)出。

1.2 蒸發(fā)極限模型建立

蒸發(fā)極限模型已經(jīng)被學(xué)者們廣泛研究，本文僅做簡要介紹。 隨著加熱功率的提高，蒸發(fā)段的工質(zhì)不斷蒸發(fā)并流向冷凝段，如果槽道表面提供的毛細(xì)力不足以將冷凝段液化的工質(zhì)及時(shí)輸運(yùn)回蒸發(fā)段，就會產(chǎn)生蒸發(fā)段蒸干的現(xiàn)象，此時(shí)，熱管的總熱阻會迅速增加，蒸發(fā)段表面的溫度會急速上升，達(dá)到蒸發(fā)極限。 判定熱管達(dá)到毛細(xì)極限的標(biāo)準(zhǔn)為蒸發(fā)段初始處彎月面半徑達(dá)到最小值，如式（14）所示，此時(shí)彎月面底部接觸槽道底部。 此類情況在熱管充液率較低時(shí)更容易發(fā)生，具體求解算法請參見本文2.2 節(jié)。

式中，a 為槽道傾斜角。

1.3 冷凝極限模型建立

除蒸發(fā)段蒸干可能導(dǎo)致扁平微槽道熱管達(dá)到毛細(xì)極限之外，對于充液率較大的熱管，冷凝段的液堵也是使熱管達(dá)到毛細(xì)極限的條件之一，而這一問題往往被學(xué)者們忽略。

液堵段液膜分布如圖3 所示。 在未出現(xiàn)液堵時(shí)，冷凝段末端的液膜位于1 位置，彎月面上沿尚未接觸到槽道的頂角處。 隨著加熱功率的提升，冷凝段末端的液膜位置逐漸上移，首先達(dá)到2 位置，此時(shí)彎月面上沿剛好接觸槽道的頂角處。 此前的多項(xiàng)研究均認(rèn)為此時(shí)熱管達(dá)到了毛細(xì)極限，其實(shí)并非如此。 由于表面張力的存在，隨著加熱功率繼續(xù)增加，液膜后續(xù)并不會溢出槽道，而是會有一個(gè)液膜逐漸變平、接觸角逐漸變大的過程，液膜形狀會從形狀2 逐漸向形狀5 過渡，而液膜形狀為2 的位置會從冷凝段末端向蒸發(fā)段的方向逐漸移動。 在本文中約定，液膜形狀為2 的位置到冷凝段末端之間的部分為液堵段。

圖3 液堵段液膜變化示意圖

在液堵段，工質(zhì)的接觸角會沿?zé)峁茌S向發(fā)生變化，接觸角和彎月面半徑之間的關(guān)系如式（15）所示。 在求解過程中，只需要把式（8） ～式（13）中的θ用θx進(jìn)行替換，就可以照常計(jì)算，不會增加新的變量。

根據(jù)液堵段的定義，冷凝段末端的彎月面半徑可以趨于無窮大，且液堵段的長度可以等于熱管的總長度，這明顯是不合理的，因此，本文假定，當(dāng)液堵段的長度等于冷凝段的長度時(shí)，熱管達(dá)到冷凝極限，此時(shí)冷凝段初始位置的彎月面頂部恰好上升至槽道頂部，此處彎月面半徑值如式（16）所示。

2 模型求解算法

2.1 一維流動模型求解

在一維流動模型中，式（1）、式（3） ～式（5）共同構(gòu)成了二階常微分方程組，共五個(gè)方程，含有ul、uv、Pl、Pv、rc五個(gè)變量，可以使用四階龍格庫塔方法進(jìn)行求解，只需要指定迭代初值和迭代步長。 在本文中，迭代初值如式所示，迭代步長選取為0.001 m。

式中，Psat表示工作溫度所對應(yīng)的飽和壓力，工作溫度為事先設(shè)定值，此外，彎月面半徑rc的初值選取與求解的過程有關(guān)，具體請參見本文2.2 節(jié)和2.3 節(jié)。

本文所研究熱管工質(zhì)為丙酮，管殼材質(zhì)為鋁，工質(zhì)的物性參數(shù)根據(jù)工作溫度值進(jìn)行差值選取，物性數(shù)據(jù)庫選用Nist數(shù)據(jù)庫，差值方法為MATLAB R2019b 保型三段插值法。 本文所研究扁平微槽道熱管的幾何參數(shù)如表1 所示。 本文所有程序通過MATLAB R2019b 實(shí)現(xiàn)。

表1 扁平微槽道熱管幾何結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.2 蒸發(fā)極限模型求解

本小節(jié)提出了求解給定扁平微槽道熱管蒸發(fā)極限計(jì)算的方法。 對于給定的扁平微槽道熱管，充液率是確定，而充液率并不在模型的輸入?yún)?shù)中，只能通過模型輸出的液膜分布來核算，因此需要使用迭代求解的方法去逼近所給定的充液率值。

首先需要求解流動模型，迭代初值由式（14）和式（17）確定，然后假設(shè)加熱功率，求解流動模型得到液膜分布進(jìn)而得到充液率的計(jì)算值，充液率被定義為熱管內(nèi)的工質(zhì)在液相時(shí)的體積占槽道體積之比，其計(jì)算方法如式（18）所示。 通過不斷迭代調(diào)整加熱功率的值，當(dāng)計(jì)算充液率與設(shè)定充液率之差小于給定誤差時(shí)，認(rèn)為模型收斂，熱管達(dá)到蒸發(fā)極限。 其中，由于熱管被分為蒸發(fā)段、絕熱段和冷凝段三部分，每一部分控制方程并不相同，因此每一部分末端的計(jì)算結(jié)果為下一部分的計(jì)算初值。 算法流程圖如圖4 所示。

圖4 蒸發(fā)極限計(jì)算流程圖

2.3 冷凝極限模型求解

本小節(jié)給出求解扁平微槽道熱管冷凝極限的計(jì)算方法。 與蒸發(fā)極限的計(jì)算不同，冷凝極限需要求解含液堵段的方程組，由于本文認(rèn)為液堵段長度等于冷凝段時(shí)，熱管達(dá)到冷凝極限，因此，熱管被分為蒸發(fā)段、絕熱段和液堵段三部分。

我們無法確定在事先假定的加熱功率下，熱管是否會發(fā)生液堵，且液堵段長度等于冷凝段長度，因此，需要先求解不含液堵段的方程，確定液堵段長度，通過迭代加熱功率使液堵段長度等于冷凝段長度，再求解含液堵段的方程組求得此冷凝極限所對應(yīng)的液膜分布和充液率。

此外，冷凝極限是由于充液率過多導(dǎo)致冷凝段出現(xiàn)液堵，此時(shí)蒸發(fā)段不一定出現(xiàn)蒸干現(xiàn)象，因此蒸發(fā)段初始位置彎月面半徑是未知的，不可能像求解蒸發(fā)極限時(shí)通過迭代調(diào)整加熱功率來匹配充液率那樣進(jìn)行計(jì)算。

為克服上述困難，本文提出了一種遍歷對比的方法求解冷凝極限，即針對一系列的彎月面半徑迭代初值進(jìn)行求解，得到一系列充液率和加熱功率的對應(yīng)組，然后針對相同充液率所得的所有加熱功率取最小值作為其冷凝極限。 具體算法流程圖如圖5 所示。 需要指出的是，最后一步的判斷計(jì)算充液率是否小于0.8 并無特殊意義，只是當(dāng)充液率過大時(shí)，毛細(xì)極限較小，失去了計(jì)算的意義，因此選擇較大的充液率值0.8 作為計(jì)算停止的條件。

3 結(jié)果與討論

3.1 一維流動模型求解結(jié)果與討論

圖6 -圖10 給出了一維流動模型在加熱功率為5 W，充液率為20%、23%和26%時(shí)的計(jì)算結(jié)果，分別展示了鋁—丙酮扁平微槽道熱管液相速度、氣相速度、液相壓力、氣相壓力和彎月面半徑沿?zé)峁茌S向的變化。

從圖6 可以看出，液相速度的最大值隨著充液率的提升逐漸降低，這是由于充液率的增加導(dǎo)致液相體積增加，固液界面增加，使得剪切應(yīng)力增加，從而使液相所能增加到的最大速度減小。 從圖8 可以看出，隨著充液率的增加，相同位置的液相壓力逐漸增加，且沿軸向的總液相壓力損失逐漸減小。 這是由于隨著充液率的增加，液面逐漸平緩，使得熱管初末位置的彎月面半徑相差變小，由于氣相壓力基本保持恒定，根據(jù)Young-Laplace方程可知，液相壓力沿軸向變化逐漸減小。 相同的趨勢也可以從圖10 中看出。

圖6 液相速度沿?zé)峁茌S向變化

圖8 液相壓力沿?zé)峁茌S向變化

圖10 彎月面半徑沿?zé)峁茌S向變化

圖7 和圖9 給出氣相速度和壓力隨熱管軸向距離的變化，可以看出，在同一加熱功率下，氣相參數(shù)隨充液率的變化較小，這是因?yàn)樵谙嗤募訜峁β氏?，熱管的工作溫度是基本相同的，這使得氣相工質(zhì)在相近的飽和溫度下具有相近的飽和壓力，進(jìn)而具有相近的物性參數(shù)，得到相近的速度分布。

圖7 氣相速度沿?zé)峁茌S向變化

圖9 氣相壓力沿?zé)峁茌S向變化

3.2 蒸發(fā)極限模型求解結(jié)果與討論

圖11 給出了所研究扁平微槽道熱管蒸發(fā)極限隨充液率的變化情況，可以看出，隨著充液率的增加，蒸發(fā)極限逐漸增加，這是由于熱管的蒸發(fā)段中含有更多的工質(zhì)進(jìn)行蒸發(fā)，可以帶走更多的熱量，避免蒸干現(xiàn)象的出現(xiàn)，進(jìn)而提高熱管的蒸發(fā)極限。

圖11 蒸發(fā)極限隨充液率變化

3.3 冷凝極限模型求解結(jié)果與討論

圖12 給出了所研究扁平微槽道熱管冷凝極限隨充液率的變化情況，可以看出，隨著充液率的增加，冷凝極限逐漸降低，這是由于隨著充液率的增加，冷凝段積累了更多的液相工質(zhì)，液膜的增厚導(dǎo)致其導(dǎo)熱熱阻增加，進(jìn)而使得熱管整體熱阻增加，傳熱性能下降。

圖12 冷凝極限隨充液率變化

對比圖11 和圖12 可以發(fā)現(xiàn)，蒸發(fā)極限和冷凝極限的最大值之間有4W 左右的差距，且充液率之間也有8%左右的差別，這是因?yàn)樵撃Ｐ蜎]有考慮冷凝段出現(xiàn)部分液堵段時(shí)的蒸發(fā)極限。 該極限的獲得需要通過事先求解不含液堵段的方程確定液堵段長度，然后求解包含液堵段在內(nèi)的四段方程組來獲得，這將是今后的工作內(nèi)容。 目前的模型可以說明，在現(xiàn)行結(jié)構(gòu)下，扁平微槽道熱管的最佳充液率在27% ～32%之間。

對于任意類似結(jié)構(gòu)的扁平微槽道熱管，均可以使用該模型對其充液率進(jìn)行優(yōu)化，得到熱管最佳充液率，或者其對應(yīng)的毛細(xì)極限，這對于特定工況下選擇適當(dāng)熱管具有重要指導(dǎo)意義。

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于一維流動模型的鋁—丙酮扁平微槽道熱管毛細(xì)極限模型，同時(shí)考慮了由于蒸發(fā)段蒸干導(dǎo)致的蒸發(fā)極限和由于冷凝段液堵導(dǎo)致的冷凝極限，在液堵段考慮了接觸角的變化，并以此探究充液率對熱管性能的影響。 計(jì)算結(jié)果表明：

（1）在相同加熱功率下，隨著充液率的增加，液相流動損失增加，液相回流最大速度減小，彎月面趨于平緩，充液率對氣相參數(shù)影響較小；

（2）隨著充液率的增加，蒸發(fā)極限逐漸增加；

（3）隨著充液率繼續(xù)增加，蒸發(fā)極限不會達(dá)到，冷凝開始下降；

（4）所探究熱管毛細(xì)極限在14 W 左右，相應(yīng)的最佳充液率在27% ～32%之間。