羅秋陽(yáng) 李成

摘要：基于非局部應(yīng)變梯度理論和Mindlin板理論，研究了熱?力?電多場(chǎng)耦合下軸對(duì)稱壓電納米圓板的振動(dòng)特性。通過(guò) Hamilton 原理推導(dǎo)了非局部應(yīng)變梯度本構(gòu)框架內(nèi)的運(yùn)動(dòng)方程，采用微分求積法數(shù)值求解了理論模型微分方程組，分析了壓電納米圓板的振動(dòng)固有頻率受內(nèi)尺度參數(shù)與外場(chǎng)參數(shù)的影響。壓電納米圓板的固有頻率隨著非局部參數(shù)的增大而減小，隨著應(yīng)變梯度特征參數(shù)的增大而增大。當(dāng)非局部參數(shù)小于應(yīng)變梯度特征參數(shù)時(shí)，納米圓板表現(xiàn)出剛度硬化行為；當(dāng)非局部參數(shù)大于應(yīng)變梯度特征參數(shù)時(shí)，表現(xiàn)出剛度軟化行為。當(dāng)非局部參數(shù)等于應(yīng)變梯度特征參數(shù)時(shí)，納米圓板的剛度退化為相應(yīng)的經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論結(jié)果。此外，固有頻率隨著徑向壓力和正電壓的增大而減小，隨著徑向拉力和負(fù)電壓的增大而增大，隨著溫差的增加而小幅減小。特別地，研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)徑向載荷和電壓增大到一定程度時(shí)，納米圓板出現(xiàn)了振動(dòng)失穩(wěn)現(xiàn)象，并分析了非局部參數(shù)與應(yīng)變梯度特征參數(shù)對(duì)失穩(wěn)臨界徑向載荷及臨界電壓的影響。

關(guān)鍵詞：耦合振動(dòng)；壓電納米圓板；非局部應(yīng)變梯度；Mindlin板理論；軸對(duì)稱

中圖分類號(hào)： O326；O343.1??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)：1004-4523（2022）05-1118-12

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.009

引言

近年來(lái)，各種壓電材料和結(jié)構(gòu)成為研究熱點(diǎn)[1?4]。當(dāng)尺寸減小到納米量級(jí)時(shí)，壓電納米材料和結(jié)構(gòu)因?yàn)榫哂袃?yōu)越的熱、電、機(jī)械、物理和化學(xué)性能，使其在納機(jī)電系統(tǒng)中有著廣泛的應(yīng)用。研究壓電納米結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能對(duì)于納機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、調(diào)控及優(yōu)化具有重要意義。

大量研究表明，當(dāng)微結(jié)構(gòu)處于納米尺度時(shí)，其力學(xué)性能將呈現(xiàn)明顯的尺度效應(yīng)[5?6]。此時(shí)經(jīng)典連續(xù)力學(xué)理論無(wú)法適用，因此需要發(fā)展納米尺度下的新的理論與方法[7?8]。建立和發(fā)展能準(zhǔn)確描述納米結(jié)構(gòu)尺度效應(yīng)的非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論是當(dāng)前納米力學(xué)的研究前沿之一。其中，由 Lim 等[9]提出的非局部應(yīng)變梯度理論，考慮了納米材料和結(jié)構(gòu)的非局部效應(yīng)和應(yīng)變梯度效應(yīng)，是近年來(lái)應(yīng)用最廣泛的非經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論[10?12]。Mehrez等[10]推導(dǎo)了彈性地基上非局部應(yīng)變梯度石墨烯片的振動(dòng)控制方程，探究了磁場(chǎng)、彈性基礎(chǔ)、納米粒子數(shù)量和質(zhì)量、非局部參數(shù)以及應(yīng)變梯度特征參數(shù)等對(duì)石墨烯片振動(dòng)特性的影響。Wu 等[11]基于非局部應(yīng)變梯度理論和改進(jìn)的雙曲剪切變形梁理論，建立了尺寸不均勻梁模型，研究了在外加諧波激勵(lì)下，功能梯度增強(qiáng)復(fù)合納米梁的非線性振動(dòng)。Gholipour等[12]研究了非線性非局部應(yīng)變梯度理論下的功能梯度 Timoshenko 納米梁模型，并分析其動(dòng)力學(xué)特性。基于非局部應(yīng)變梯度理論，既考慮非局部效應(yīng)又考慮應(yīng)變梯度效應(yīng)，所以模型和結(jié)果更為全面[13?19]。因此，本文以非局部應(yīng)變梯度理論作為主要研究方法。

隨著納米技術(shù)的發(fā)展，壓電納米材料被認(rèn)為有可能實(shí)現(xiàn)納機(jī)電系統(tǒng)的自供電。王中林[20]采用氧化鋅納米線陣列作為納米發(fā)電機(jī)部件，當(dāng)作用5 nN的外力時(shí)，輸出6.5 mV 的電壓，在納尺度下將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能。Motezaker等[21]基于高階非局部理論研究了在頂部和底部表面集成了壓電層的環(huán)形納米板的振動(dòng)、屈曲和彎曲。Eltaher等[22]考慮非局部效應(yīng)與表面效應(yīng)，研究了壓電多孔納米梁彎曲和自由振動(dòng)，探討了各類因素對(duì)壓電多孔納米梁的機(jī)電性能的影響。Karimiasl等[23]通過(guò)非局部理論推導(dǎo)了嵌入黏彈性地基中的磁電黏彈性壓電納米板在濕熱環(huán)境下的控制方程組，并求出其臨界載荷的解析解。

不過(guò)，盡管已有部分學(xué)者對(duì)壓電納米結(jié)構(gòu)的振動(dòng)開(kāi)展了若干研究，但大多數(shù)文獻(xiàn)是基于非局部理論，僅少數(shù)文獻(xiàn)[24?25]考慮了非局部應(yīng)變梯度效應(yīng)。Arefi等[24]基于非局部應(yīng)變梯度理論與各類高階剪切變形梁理論推導(dǎo)了夾層壓電納米梁的控制方程，分析了動(dòng)態(tài)失穩(wěn)區(qū)域特征。Masoumi等[25]研究了撓曲電現(xiàn)象對(duì)壓電納米梁色散特性的影響，考慮 Reddy 高階剪切變形理論以及非局部應(yīng)變梯度理論推導(dǎo)控制方程，分析了撓曲電效應(yīng)和施加電壓對(duì)色散的作用。已有一些研究基于非局部應(yīng)變梯度理論分析壓電納米梁模型，然而對(duì)納米圓板模型的研究未見(jiàn)報(bào)道?？紤]到納米圓板作為納機(jī)電系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)之一，常工作于多物理場(chǎng)環(huán)境中。因此，本文基于非局部應(yīng)變梯度理論，研究在熱?力?電多場(chǎng)作用下軸對(duì)稱壓電納米圓板的振動(dòng)特性，分析了非局部參數(shù)、應(yīng)變梯度特征參數(shù)以及熱?力?電場(chǎng)耦合對(duì)壓電納米圓板振動(dòng)的影響。當(dāng)然，納米尺寸結(jié)構(gòu)還存在表界面效應(yīng)問(wèn)題。以納米圓板為例，當(dāng)徑厚比超過(guò)50時(shí)，納米圓板的表界面效應(yīng)不可忽略[26]。本文利用Mindlin板理論研究中厚納米圓板，其徑厚比不低于20，此時(shí)相比于表界面效應(yīng)，非局部效應(yīng)和應(yīng)變梯度效應(yīng)占主導(dǎo)地位。

1 力學(xué)模型與基本方程

壓電納米圓板模型如圖1所示，其中半徑為 R，厚度為 h，受到徑向均布載荷 q（單位：N/m）、外部電勢(shì)Φ（單位：V）和溫差ΔT（單位：K ）的作用，外邊界約束考慮為常見(jiàn)的簡(jiǎn)支和固支兩類。

根據(jù)非局部應(yīng)變梯度理論，計(jì)及壓電效應(yīng)的基本方程為[27]：

式中σij，ε kl，Di 和Em分別表示應(yīng)力、應(yīng)變、電位移以及電場(chǎng)；cijkl，emij和 sim 分別表示彈性模量、壓電常數(shù)和電介質(zhì)常數(shù)；ea和 l 表征了非局部效應(yīng)和應(yīng)變梯度效應(yīng)的影響；[·]表示矩陣，{·}表示數(shù)列。拉普拉斯算子?2=?2?r2+? r?r。

將基本方程引入到納米圓板模型中可得其本構(gòu)方程為：

其中：

對(duì)式（2）積分，且考慮柱坐標(biāo)系下的圓板幾何方程ε r = z ，εθ= z ，γrz =φ+，可得：

剪力彎矩；κ=為剪切修正因子，其余系數(shù)如下：

根據(jù)Mindlin板理論，軸對(duì)稱納米圓板的徑向位移ur和橫向位移uz可表示為：

式中? w （r，t ）表示圓板中面上任意一點(diǎn)的橫向位移，φ（r，t ）表示圓板中面法線的轉(zhuǎn)角，t 為時(shí)間變量。

假設(shè)電勢(shì)由線性函數(shù)和正弦函數(shù)組成且滿足Maxwell 方程[28]：

式中 β=π/h，?（r，t ）表示圓板中面上任意一點(diǎn)的電勢(shì)，V0為外部電壓。

則電位移與電場(chǎng)的關(guān)系為：

通過(guò) Hamilton 原理可推得軸對(duì)稱壓電納米圓板的振動(dòng)控制方程，即：

式中? U，T 和 K 分別表示系統(tǒng)的應(yīng)變能、動(dòng)能和外力做功。

軸對(duì)稱壓電納米圓板的應(yīng)變能可表示為：

則應(yīng)變能變分為：

軸對(duì)稱壓電納米圓板的動(dòng)能可表示為：

則動(dòng)能變分為：

其中：

式中ρ為圓板的體密度。

外力做功為：

則外力做功的變分為：

式中 NE =-2 31 V0，NF = q，NT =11 hΔT。

將式（12），（14）和（17）代入式（10），可得軸對(duì)稱壓電納米圓板的經(jīng)典控制方程為：

引入以下無(wú)量綱量：

式中? 2表示無(wú)量綱化的拉普拉斯算子。

式（25）～（27）中，設(shè)其解為：

邊界條件為：

2? 求解方法

軸對(duì)稱壓電納米圓板的振動(dòng)控制方程組包含三個(gè)四階偏微分方程，本文采用微分求積法進(jìn)行數(shù)值求解。微分求積法的本質(zhì)是對(duì)全域范圍內(nèi)所有節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行加權(quán)求和，以表示該函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在所選節(jié)點(diǎn)的值。函數(shù) W 的 n 階導(dǎo)數(shù)可近似為：

式中ξm 為域中第 m 個(gè)節(jié)點(diǎn)，N 代表域中的節(jié)點(diǎn)數(shù)， C m（n））為 n 階導(dǎo)數(shù)的加權(quán)函數(shù)。這里用切比雪夫多項(xiàng)式作為節(jié)點(diǎn)的選取方式，可得：

權(quán)系數(shù)表示為：

高階導(dǎo)數(shù)可以看成對(duì)一階導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，于是有：

將式（33）代入式（29）～（31），可得軸對(duì)稱壓電納米圓板在微分求積法下的離散方程為：

式中 j =2，3，…，N -1。

將方程（37）～（39）結(jié)合邊界條件，可得特征方程為：

式中 K，M 分別為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣，下標(biāo) d 表示控制方程，下標(biāo) b 表示邊界條件；q 表示節(jié)點(diǎn)位移： q 1={w? 1，w? 2，…，w? N }T，q2={ 1，2，…， N }T，

3 數(shù)值結(jié)果與討論

考慮厚度為2.5 nm ，半徑為50 nm ，采用 PZT ?4材料做成的壓電納米薄板，材料參數(shù)如表1 所示。在計(jì)算中選取節(jié)點(diǎn)數(shù) N=18，研究外邊固支（C）、外邊簡(jiǎn)支（S）兩種邊界下壓電納米圓板的振動(dòng)特性，探索非局部參數(shù)、應(yīng)變梯度特征參數(shù)、徑向均布載荷、電場(chǎng)和溫度場(chǎng)對(duì)無(wú)量綱固有頻率的影響。

根據(jù)文獻(xiàn)[29?30]，用于制備納米圓板的常用材料的非局部參數(shù)ea一般不超過(guò)2 nm ，因此 PZT ?4材料的非局部參數(shù)也應(yīng)在[0，2 nm]范圍內(nèi)，應(yīng)變梯度本征常數(shù) l 也相應(yīng)地取在[0，2 nm]范圍。

為了驗(yàn)證上述計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，將理論模型退化為宏觀尺寸圓板的自由振動(dòng)。結(jié)合邊界條件，計(jì)算了外邊固支和簡(jiǎn)支情況下宏觀圓板的前7階固有頻率，并與文獻(xiàn)[31]進(jìn)行對(duì)比，如表2所示。從表2可見(jiàn)本文中的結(jié)果與文獻(xiàn)[31]中的結(jié)果非常接近，因此驗(yàn)證了本文數(shù)值方法的有效性和數(shù)值結(jié)果的準(zhǔn)確性。

圖2計(jì)算了應(yīng)變梯度特征參數(shù) l 分別取0，0.5，1，1.5和2 nm 時(shí)，非局部參數(shù)ea對(duì)固支和簡(jiǎn)支外邊界下納米圓板前兩階無(wú)量綱固有頻率的影響。壓電納米圓板的振動(dòng)固有頻率隨著非局部參數(shù)ea的增大而減小，固有頻率的降低意味著納米結(jié)構(gòu)剛度的弱化，這表明非局部參數(shù)對(duì)納米結(jié)構(gòu)起到軟化作用。

圖3給出了非局部參數(shù)ea分別取0，0.5，1，1.5和2 nm 時(shí)，應(yīng)變梯度特征參數(shù) l 對(duì)納米圓板前兩階固有頻率的影響。可見(jiàn)振動(dòng)固有頻率隨著應(yīng)變梯度特征參數(shù)的增大而增大，因此應(yīng)變梯度特征參數(shù)對(duì)納米結(jié)構(gòu)起到硬化作用。

圖4顯示了固支和簡(jiǎn)支兩種邊界下，非局部參數(shù)與應(yīng)變梯度特征參數(shù)的比值ea/l 對(duì)納米圓板前兩階固有頻率的影響。壓電納米圓板的固有頻率隨著ea/l 的增大而減小。從理論本構(gòu)上顯見(jiàn)，當(dāng)ea=l=0時(shí)，結(jié)果將退化到經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)模型結(jié)果。實(shí)際上，只要當(dāng)ea=l，即使二者不為零，壓電納米圓板的固有頻率都將不隨ea/l 的改變而改變，且固有頻率退化為經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論結(jié)果，這表明兩類內(nèi)尺度參數(shù)對(duì)納米結(jié)構(gòu)的軟/硬化作用相互抵消。這一特殊現(xiàn)象表明：兩類內(nèi)尺度參數(shù)對(duì)壓電納米圓板振動(dòng)特性的影響存在內(nèi)在關(guān)聯(lián)。首先，非局部參數(shù)的存在削弱了納米圓板的等效剛度，應(yīng)變梯度特征參數(shù)則增強(qiáng)了納米圓板的等效剛度，二者作用趨勢(shì)相反，但作用強(qiáng)度恰好相同，因此在相反趨勢(shì)中存在一個(gè)特殊點(diǎn)使得二者作用效果互相抵消。其次，非局部參數(shù)與應(yīng)變梯度特征參數(shù)的量級(jí)相當(dāng)，這就使得當(dāng)二者大小相等時(shí)，一側(cè)所引起的軟化效果正好填補(bǔ)了另一側(cè)的硬化效果，因此即使兩類內(nèi)尺度參數(shù)沒(méi)有分別為零，非局部應(yīng)變梯度理論結(jié)果仍然回歸到經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論結(jié)果。當(dāng)ea<l 時(shí)，振動(dòng)固有頻率大于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論下的固有頻率，此時(shí)內(nèi)尺度參數(shù)對(duì)壓電納米圓板的剛度起到硬化作用；當(dāng)ea>l 時(shí)，振動(dòng)固有頻率小于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論結(jié)果，此時(shí)內(nèi)尺度參數(shù)對(duì)壓電納米圓板的剛度起到軟化作用。因此，非局部參數(shù)與應(yīng)變梯度特征參數(shù)這兩類內(nèi)尺度參數(shù)之間存在耦合關(guān)系，二者相比的數(shù)量關(guān)系將決定非局部應(yīng)變梯度理論中內(nèi)尺度效應(yīng)的具體體現(xiàn)，亦即壓電納米圓板中的動(dòng)力軟化或硬化現(xiàn)象。

圖5計(jì)算了 l=0.5 nm，ea=1 nm 時(shí)，徑向均布載荷對(duì)壓電納米圓板前4階無(wú)量綱振動(dòng)固有頻率的影響，可見(jiàn)固有頻率隨著徑向壓力的增大而減小，隨著徑向拉力的增大而增大。在徑向壓力從0增長(zhǎng)到6 N/m 的過(guò)程中，第一階和第二階固有頻率相繼減小至零，壓電納米圓板的振動(dòng)出現(xiàn)失穩(wěn)，表明振動(dòng)對(duì)徑向外力的作用較為敏感。簡(jiǎn)支邊界下壓電納米圓板在承受集度為1.541 N/m 的均布?jí)毫r(shí)開(kāi)始失穩(wěn)，而固支邊界下在承受集度為2.518 N/m 的均布?jí)毫葧r(shí)開(kāi)始失穩(wěn)，表明簡(jiǎn)支外邊界約束較固支外邊界更易受外部壓縮載荷干擾。

為進(jìn)一步研究非局部參數(shù)與應(yīng)變梯度特征參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)徑向均布載荷臨界值的影響，表3和表4分別計(jì)算了固支和簡(jiǎn)支邊界下，第一階臨界徑向均布載荷隨內(nèi)尺度參數(shù)的變化。由表中可以看出，臨界徑向均布載荷隨非局部參數(shù)的增大而減小，隨應(yīng)變梯度特征參數(shù)的增大而增大。臨界徑向均布載荷越大代表結(jié)構(gòu)剛度越大，這一現(xiàn)象再次驗(yàn)證前文結(jié)論。

圖6分別給出了 l=0.5 nm，ea=1 nm 時(shí)，固支和簡(jiǎn)支邊界壓電納米圓板上下表面的外部電壓 V0對(duì)前4階無(wú)量綱振動(dòng)固有頻率的影響。壓電納米圓板的固有頻率受外部電壓的影響較大，電壓從?0.2 V 增加到0.2 V 時(shí)，壓電納米圓板的固有頻率出現(xiàn)明顯的下降。這是因?yàn)楫?dāng)正電壓作用在納米圓板的上下表面時(shí)，圓板面內(nèi)產(chǎn)生徑向壓縮效果，削弱圓板的剛度，導(dǎo)致固有頻率隨著正電壓的增大而減??；當(dāng)負(fù)電壓作用在納米圓板的上下表面時(shí)，圓板面內(nèi)產(chǎn)生徑向拉伸效果，導(dǎo)致固有頻率隨著負(fù)電壓的增大而增大。這在物理上可解釋如下：由電壓引起的壓力表達(dá)式 NE =-2 31 V0，可知當(dāng)正電壓加載在納米圓板上下表面時(shí)，壓電系數(shù)31可將 z 方向的電壓轉(zhuǎn)化為 r 方向的徑向內(nèi)力，且31為負(fù)值，所以 NE 為正值，即徑向壓縮效果；而當(dāng)負(fù)電壓加載在納米圓板上下表面時(shí)，引起的壓力 NE 為負(fù)值，即徑向拉伸效果。

特別地，當(dāng)電壓增大到一定值時(shí)，第一階和第二階固有頻率相繼減小為零，系統(tǒng)出現(xiàn)失穩(wěn)。簡(jiǎn)支邊界下壓電納米圓板在電壓取0.0591 V 時(shí)失穩(wěn)，而固支邊界下壓電納米圓板在電壓取0.0965 V 時(shí)失穩(wěn)，同樣的外部靜電壓對(duì)簡(jiǎn)支壓電納米板的約束力乃至內(nèi)力產(chǎn)生更大的影響，因此更容易發(fā)生失穩(wěn)。

為進(jìn)一步研究非局部參數(shù)與應(yīng)變梯度特征參數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)臨界電壓的影響，表5和表6分別計(jì)算了固支和簡(jiǎn)支邊界下，第一階臨界電壓隨內(nèi)尺度參數(shù)的變化?？梢?jiàn)臨界電壓隨非局部參數(shù)的增大而減小，隨應(yīng)變梯度特征參數(shù)的增大而增大。臨界電壓越大代表結(jié)構(gòu)剛度越大，再次驗(yàn)證了前文結(jié)論。

圖7討論了固支和簡(jiǎn)支兩種邊界下，l=0.5 nm 和ea=1 nm 時(shí)，溫差ΔT 對(duì)壓電納米圓板前4階固有頻率的影響。壓電納米圓板的固有頻率受溫差影響相對(duì)較小，在溫差由?600 K 升到600 K 時(shí)，固有頻率小幅下降。這是由于溫度升高會(huì)使材料膨脹從而產(chǎn)生徑向壓力，導(dǎo)致固有頻率降低，但 PZT?4壓電材料的熱釋電常數(shù)和熱彈性模量較小，對(duì)溫度不敏感，這使得壓電納米圓板的固有頻率受溫度變化影響也較小。

為了進(jìn)一步揭示多場(chǎng)耦合情形下軸對(duì)稱壓電納米圓板的振動(dòng)特性，圖8～10分別給出了壓電納米圓板一階頻率隨徑向均布載荷、電壓以及溫差的變化關(guān)系，其中體現(xiàn)了熱?力?電多場(chǎng)參數(shù)的共同作用，并給定尺度參數(shù) l=0.5 nm，ea=1 nm 。由圖8（ a ）可知，當(dāng)Δ T=-400 K ，V0=-0.2 V 時(shí)，q 從-2 N/m 變化到2 N/m 將引起一階頻率降低22.66%；當(dāng)ΔT=-400 K，V0=-0.1 V 時(shí)，一階頻率降低了33.26%。這表明電壓與徑向載荷對(duì)振動(dòng)固有頻率的影響存在耦合效應(yīng)，即負(fù)電壓的減小助推了徑向壓力增大帶來(lái)的納米圓板剛度削弱的現(xiàn)象，且彼此耦合程度較大。當(dāng)ΔT=400 K，V0=-0.2 V 時(shí)，q 從-2 N/m 變化到2 N/m 將引起一階頻率降低23.71%。這表明溫度和徑向載荷之間也存在耦合效應(yīng)，但彼此耦合程度較低。由圖8（b）可見(jiàn)固支邊界條件下也有類似現(xiàn)象。同樣地，根據(jù)圖9和10，可以發(fā)現(xiàn)溫度和電壓之間也存在耦合效應(yīng)，但耦合程度較低。此外，外物理場(chǎng)參數(shù)不影響內(nèi)尺度參數(shù)對(duì)壓電納米圓板振動(dòng)頻率的作用機(jī)制。

4 結(jié)論

1）振動(dòng)固有頻率隨非局部參數(shù)的增大而減小，隨應(yīng)變梯度特征參數(shù)的增大而增大。當(dāng)非局部參數(shù)小于應(yīng)變梯度特征參數(shù)時(shí)，壓電納米圓板表現(xiàn)出硬化特征；當(dāng)非局部參數(shù)大于應(yīng)變梯度特征參數(shù)時(shí)，表現(xiàn)出軟化特征；當(dāng)非局部參數(shù)等于應(yīng)變梯度特征參數(shù)時(shí)，壓電納米圓板的剛度保持不變并等于相應(yīng)的經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)理論結(jié)果。非局部參數(shù)和應(yīng)變梯度特征參數(shù)對(duì)壓電納米圓板的作用強(qiáng)度相當(dāng)。

2）壓電納米圓板固有頻率隨徑向壓力和正電壓的增大而減小，隨徑向拉力和負(fù)電壓的增大而增大。在一定的徑向載荷和電壓作用下，納米圓板的振動(dòng)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。臨界徑向載荷與臨界電壓均隨著非局部參數(shù)的增大而減小，隨著應(yīng)變梯度特征參數(shù)的增大而增大。

3）壓電納米圓板固有頻率隨溫差的增大而略有減小，相比于外部力場(chǎng)和電場(chǎng)，壓電納米圓板振動(dòng)對(duì)溫度變化相對(duì)不敏感。簡(jiǎn)支外邊界與固支外邊界條件相比，壓電納米圓板的振動(dòng)對(duì)前者相對(duì)更敏感。外物理場(chǎng)參數(shù)對(duì)壓電納米圓板振動(dòng)特性的影響存在相互耦合，但不影響內(nèi)尺度參數(shù)對(duì)壓電納米圓板振動(dòng)頻率的作用機(jī)制。

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Thermal-mechanical-electrical coupling vibration of axisymmetricpiezoelectric circular nanoplates accounting fornonlocal strain gradient effects

LUO Qiu-yang1，LI Cheng1，2

（1.Department of Vehicle Engineering，School of Rail Transportation，Soochow University，Suzhou 215131，China；2.School of Automotive Engineering，Changzhou Institute of Technology，Changzhou 213032，China）

Abstract： The coupling vibration performances of axisymmetric piezoelectric circular nanoplates under thermo-electro-mechanical fields are studied based on the nonlocal strain gradient theory and Mindlin plate theory . Hamilton’s principle is used to develop the equations of motion in the framework of nonlocal strain gradient constitutive relations，and the differential quadrature method is ad? opted to solve differential equations describing the theoretical model . The influences of internal scale parameters and external field parameters on natural frequencies of piezoelectric circular nanoplates are analyzed . It shows that the natural frequency of piezoelec? tric circular nanoplate decreases with an increase of the nonlocal parameter，and increases with an increase of the strain gradient characteristic parameter . When the nonlocal parameter is less than the strain gradient characteristic parameter，the circular nano? plate demonstrates a hardening behavior . When the nonlocal parameter is greater than the strain gradient characteristic parameter， it demonstrates a softening behavior . When the nonlocal parameter is equal to the strain gradient characteristic parameter，the stiff? ness degenerates into the corresponding result of classical continuum theory . Additionally，it indicates that the natural frequencies decrease with an increase of the radial compressive load and positive voltage，and increase with an increase of the radial tensile load and negative voltage . The natural frequency decreases slightly with an increase of the temperature . In particular，it is found that while increasing the radial load and voltage to a certain value，the vibration instability occurs . The effects of the nonlocal parameter and strain gradient characteristic parameter on the critical radial load and critical voltage are analyzed accordingly .

Key words ： coupling vibration；piezoelectric circular nanoplate；nonlocal strain gradient；Mindlin plate theory；axisymmetric

作者簡(jiǎn)介：羅秋陽(yáng)（1996—），男，碩士研究生。電話：17761906520；E-mail：qyluo@stu .suda .edu .cn。

通訊作者：李成（1983—），男，教授。電話：18020272969；E-mail：licheng@suda .edu .cn。