鄧茂林 朱位秋

摘要：由于受分?jǐn)?shù)高斯噪聲（fGn）激勵(lì)的非線性系統(tǒng)響應(yīng)不再具有馬爾科夫性，基于擴(kuò)散過(guò)程的理論方法不能直接用于研究此類(lèi)問(wèn)題。作為近似方法，寬帶噪聲激勵(lì)的擬哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法已經(jīng)被用于解決此類(lèi)問(wèn)題。雖然，該理論方法在響應(yīng)預(yù)測(cè)和可靠性分析方面取得了較好的效果，但是到目前為止還沒(méi)有做過(guò)對(duì)近似方法的誤差和適用性的解析分析。在本研究中，將近似方法用于分析fGn激勵(lì)下的單自由度非線性系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解，再結(jié)合已報(bào)道的精確解析解，用漸近分析的方法進(jìn)行了誤差分析，從而對(duì)近似方法的適用性進(jìn)行了論證，為將來(lái)能夠進(jìn)一步擴(kuò)展近似方法的應(yīng)用提供了理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞：非線性系統(tǒng)；寬帶噪聲；分?jǐn)?shù)高斯噪聲；擬哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法

中圖分類(lèi)號(hào)： O324??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)：1004-4523（2022）05-1076-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.005

引言

在隨機(jī)動(dòng)力學(xué)的理論研究和隨機(jī)振動(dòng)相關(guān)的應(yīng)用研究中，高斯白噪聲得到了非常廣泛的應(yīng)用，究其原因，一方面是因?yàn)楦咚拱自肼暿窃S多實(shí)際噪聲的良好的數(shù)學(xué)模型；另一方面是因?yàn)榕c高斯白噪聲相關(guān)的數(shù)學(xué)理論已經(jīng)發(fā)展得非常成熟[1?2]，受高斯白噪聲激勵(lì)的線性系統(tǒng)已經(jīng)能夠得到解析解。至于受高斯白噪聲激勵(lì)的非線性系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程的馬爾科夫性，可以應(yīng)用基于擴(kuò)散過(guò)程的理論方法進(jìn)行研究，其中就包括哈密頓理論體系框架內(nèi)的非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)的系列理論方法[3?4]。近年來(lái)，隨著分?jǐn)?shù)階微積分應(yīng)用研究的深入，自然界和工程界中的分?jǐn)?shù)高斯噪聲（fGn）受到越來(lái)越多的關(guān)注，并被引入到隨機(jī)動(dòng)力學(xué)中[5?6]。

fGn是一類(lèi)具有特殊相關(guān)結(jié)構(gòu)與譜密度的高斯色噪聲，它的特點(diǎn)是具有長(zhǎng)相關(guān)性[7?8]，受fGn激勵(lì)的系統(tǒng)響應(yīng)不是馬爾科夫過(guò)程。根據(jù)相應(yīng)的隨機(jī)平均原理[9?11]，發(fā)展了fGn激勵(lì)的擬哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法[12?13]，導(dǎo)出了系統(tǒng)響應(yīng)滿足的分?jǐn)?shù)階伊藤隨機(jī)微分方程。由于與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)相關(guān)的隨機(jī)微分方程理論尚在發(fā)展之中[14?15]，目前無(wú)法解析地預(yù)測(cè)系統(tǒng)響應(yīng)，只能通過(guò)對(duì)分?jǐn)?shù)階伊藤隨機(jī)微分方程做數(shù)值模擬得到系統(tǒng)的響應(yīng)，因此，發(fā)展近似的理論方法就顯得尤為重要。一種已被應(yīng)用的近似方法就是寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法，該法已經(jīng)被成功應(yīng)用于fGn激勵(lì)下多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測(cè)和可靠性分析[16?17]。近似方法利用了fGn的功率譜在頻率遠(yuǎn)離零點(diǎn)的范圍內(nèi)比較平坦的特點(diǎn)，fGn過(guò)程具有局部寬帶的特性。由于高維 FPK 方程難以得到解析解，對(duì)該近似方法的適用性分析也只能是通過(guò)數(shù)值解和模擬結(jié)果的比較來(lái)進(jìn)行，尚缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚摲治觥１狙芯空窍霃浹a(bǔ)這個(gè)缺陷，通過(guò)把寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法應(yīng)用于一個(gè)典型的受fGn激勵(lì)的單自由度非線性系統(tǒng)，得到了系統(tǒng)響應(yīng)的近似解析解，再通過(guò)與已報(bào)道的精確解析解相比較[18]，用漸近分析的方法進(jìn)行了誤差分析，論證了近似方法的適用性。這將使得近似方法在將來(lái)應(yīng)用于fGn激勵(lì)的多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與控制等更多更深入的研究中有堅(jiān)實(shí)可信的理論依據(jù)。

1? fGn激勵(lì)下單自由度非線性系統(tǒng)的響應(yīng)

寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法適用于研究多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)[3，19]，但是多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)往往含有太多的非線性參數(shù)，且系統(tǒng)響應(yīng)一般沒(méi)有解析解，不便于對(duì)理論方法的適用性和誤差進(jìn)行解析的分析。此處考慮如下受fGn激勵(lì)的單自由度非線性系統(tǒng)：

其中僅有參數(shù) k 起著量化系統(tǒng)非線性強(qiáng)弱的作用；噪聲 W （ t ）即是fGn，它具有如下自相關(guān)函數(shù) R（τ）和功率譜密度 S（ω）[5，7?8]：

式中? 2D 為噪聲 W （ t ）的強(qiáng)度，當(dāng) D =0.5時(shí)， W （ t ）為單位fGn；?為 Hurst 系數(shù)，它決定了fGn的性質(zhì)。當(dāng) 0<?<時(shí)，fGn沒(méi)有傳統(tǒng)意義上的功率譜，不能作為實(shí)際工程振動(dòng)中激勵(lì)力的模型[5]。圖 1顯示了<?<1時(shí)單位fGn的相關(guān)函數(shù) R（τ）和功率譜 S （ω），當(dāng)?= 或?=1時(shí)，式（2）不能直接計(jì)算，可采用以下極限形式：

可見(jiàn)，當(dāng)?→時(shí)，fGn的功率譜密度趨于常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)趨于δ函數(shù)，這對(duì)應(yīng)于高斯白噪聲過(guò)程；當(dāng)?→1時(shí)，fGn功率譜密度趨于δ函數(shù)、而自相關(guān)函數(shù)趨于常數(shù)，這對(duì)應(yīng)于高斯分布的隨機(jī)變量；當(dāng)<?<1時(shí)，fGn是介于上述兩者之間的有色高斯噪聲，其最重要的性質(zhì)就是當(dāng)前噪聲值與歷史噪聲值有著長(zhǎng)相關(guān)性（又稱(chēng)長(zhǎng)記憶性）[5，8]。

系統(tǒng)（1）的哈密頓函數(shù) H（ X，X? ） 也是系統(tǒng)的總能量函數(shù)，它可以表示為：

其中：

假定系統(tǒng)（1）的退化的保守系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近具有周期解，在弱激勵(lì)和弱阻尼的條件下，可假定系統(tǒng)（1）的響應(yīng)具有如下隨機(jī)周期解的形式：

式（6）中的振幅 A 是哈密頓量 H 的確定性函數(shù)，v 是瞬時(shí)頻率，它與哈密頓量 H 和相角Φ之間的關(guān)系可由式（4）和（6）推導(dǎo)得：

上式表明，v 是Φ的偶函數(shù)，可以展開(kāi)成以下傅里葉級(jí)數(shù)：

即可得平均頻率 （ H ）=，稱(chēng)其為非線性系統(tǒng)的主頻率，并可表示成以下級(jí)數(shù)形式：

上式表明主頻率位于退化線性系統(tǒng)的頻率ω n 附近，因受非線性參數(shù) k 的影響而有所偏離，且在振動(dòng)過(guò)程中，主頻率隨系統(tǒng)能量 H 的變化而變化，在以后做平均運(yùn)算的時(shí)候?qū)⒂玫揭韵陆脐P(guān)系：

式（6）可被視為從系統(tǒng)（1）運(yùn)動(dòng)狀態(tài) X（ t ），X? （ t ）到 H（ t ），Θ（ t ）的變換，據(jù)此系統(tǒng)（1）可變換為以下等效的運(yùn)動(dòng)方程：

如前所述，受fGn激勵(lì)的系統(tǒng)（1）的響應(yīng)不是馬爾科夫過(guò)程，但是考慮到對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)起主要作用的是系統(tǒng)主頻率及其倍數(shù)頻率附近的噪聲成分，當(dāng)這部分噪聲具有寬帶性質(zhì)時(shí)，可應(yīng)用寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法[19]。系統(tǒng)哈密頓過(guò)程 H （ t ）收斂于馬爾科夫擴(kuò)散過(guò)程，受如下平均后的伊藤隨機(jī)微分方程支配[20]：

式中? B （ t ）是單位布朗運(yùn)動(dòng)過(guò)程（或稱(chēng)維納過(guò)程），漂移系數(shù) a （ H ）和擴(kuò)散系數(shù)σ2（ H ）可按下式得到：

式中? t 表示對(duì)時(shí)間 t 的平均，它可以用對(duì)相角Φ

為得到上述 FPK 方程中 a （ H ）和σ2（ H ）兩系數(shù)的顯式，可先把 F（ H ），G（ H ），G（Θ）展開(kāi)成關(guān)于Φ的傅里葉級(jí)數(shù)，再對(duì)τ積分和對(duì)Φ進(jìn)行平均，最終得兩系數(shù)為：

穩(wěn)態(tài) FPK 方程（15）可被整理成伯努利型微分方程，并有如下形式的解[3]：

式中? C 為歸一化常數(shù)。從式（16）可見(jiàn)，fGn對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的貢獻(xiàn)是通過(guò) S（），S （3），S （5） …等功率譜密度值來(lái)實(shí)現(xiàn)。只要這些頻率附近的功率譜密度緩慢變化，fGn就可以被近似為寬帶噪聲。

為了分析非線性參數(shù) k 對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，可將式（17）表示成如下級(jí)數(shù)形式：

式中? S = S（ω n ），S '= S '（ω n ），S ″= S ″（ω n ），符號(hào)“'”和“''”分別表示一次和二次導(dǎo)數(shù)。從式（18）可知，當(dāng)系統(tǒng)非線性較弱時(shí)，可僅取 k 的一次項(xiàng)，響應(yīng) p （ H ） 只受譜密度值 S（ω n ）及其導(dǎo)數(shù) S '（ω n ）的影響；當(dāng)系統(tǒng)非線性強(qiáng)一些時(shí)，可取到 k 的二次項(xiàng)，影響 p （ H ） 的因素多了 S（3ω n ）和二階導(dǎo)數(shù) S ″（ω n ），隨著系統(tǒng)非線性增強(qiáng)，影響 p （ H ）的因素將包括更高倍頻處的譜密度值和譜密度的更高階導(dǎo)數(shù)。

概率密度 p （ H ）也可表示成如下 H 的無(wú)窮階矩的形式：

更多系統(tǒng)響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性可以從 p （ H ）導(dǎo)得，比如系統(tǒng)位移 X 的各階矩：

用式（19）中的 E [ H n ]或式（20）中的 E [ X 2n ]來(lái)分析非線性參數(shù) k 對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，結(jié)論與前述以式（18）中的 p （ H ）來(lái)分析的結(jié)果相同，隨著系統(tǒng)非線性增強(qiáng)，影響系統(tǒng)響應(yīng)的將包括更高倍頻處的譜密度值和譜密度的更高階導(dǎo)數(shù)。

2 fGn激勵(lì)下單自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng)

當(dāng)非線性參數(shù) k =0時(shí)，系統(tǒng)（1）退化為以下fGn激勵(lì)的單自由度線性系統(tǒng)：

應(yīng)用線性隨機(jī)振動(dòng)的譜分析法已得到其精確響應(yīng)為[18]：

式中 ζ=γ（2ω n ）；Γ（?）為 Gamma 函數(shù)。考慮到響應(yīng)為零均值高斯隨機(jī)過(guò)程，在式（22）基礎(chǔ)上，可進(jìn)一步推導(dǎo)得概率密度和其他統(tǒng)計(jì)量的精確解。根據(jù)概率論，可得如下與p （ H ）對(duì)應(yīng)的特征函數(shù) M（ z ）為：

其中 H 的各階矩Eexact [ H n ]有如下精確解：

式中 2 F 1（?，?，?，?）為超幾何函數(shù)。注意到fGn激勵(lì)的線性系統(tǒng)響應(yīng)仍然是高斯分布的，可以得到以下位移各階矩的精確解：

前述寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法已經(jīng)被應(yīng)用于fGn激勵(lì)下多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測(cè)和可靠性分析，并通過(guò)數(shù)值誤差分析指出，當(dāng)系統(tǒng)主頻率落在fGn功率譜密度中比較平坦的范圍內(nèi)時(shí)，近似方法是適用的[16?17]。在這里，鑒于容易獲得單自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的解析解，僅對(duì)線性系統(tǒng)做出解析分析。考慮線性系統(tǒng)（21）受如下限帶白噪聲 W （ t ）激勵(lì)（如圖2中實(shí)線所示）：

系統(tǒng)均方響應(yīng)為[2] ：

其中函數(shù) I（ x ）如圖3（ a ）所示。

由圖3可見(jiàn)，阻尼率ζ越小，在ωω n =1處的 I （ x ）曲線越陡，這說(shuō)明，只要區(qū)間（ω1，ω2）包括了ω n，就有 I（ω2ω n ）- I （ω1ω n ）≈1，限帶白噪聲的響應(yīng)可以用白噪聲的響應(yīng) E [ X 2]=πS0（2ζω n（3））來(lái)近似。再考慮 W （ t ）為 S（ω n ）= S0，（ω1，ω2）內(nèi)的功率譜密度是具有斜率 S '（如圖2中虛線所示）的限帶噪聲，即：

可以得到系統(tǒng)均方響應(yīng)為（推導(dǎo)過(guò)程略）：

其中函數(shù) J（ x，y ）如圖3（b）所示?？梢?jiàn)，斜率 S '改變了ωω n =1 處曲線的陡峭程度， J （ω2ω n，S 'ω n S0）- J （ω1ω n，S 'ω n S0）能否約等于1，也即 E [ X 2]能否近似為白噪聲的響應(yīng)，是受斜率 S '影響的。只有當(dāng)斜率 S '比較小，即譜密度曲線比較平坦時(shí)才可以。

3 近似方法適用性的分析

在前述用寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法得到的fGn激勵(lì)下單自由度非線性系統(tǒng)（1）響應(yīng)的近似解析解p （ H ），E [ Hn ]和 E [ X 2n ]（見(jiàn)式（18），（19）和（20））中令 k =0，就得到fGn激勵(lì)下線性系統(tǒng)（21）響應(yīng)的近似解析解。同時(shí)，系統(tǒng)（21）的響應(yīng)有精確解析解（見(jiàn)式（24）和（25））。這樣就可以近似計(jì)算方法預(yù)測(cè)線性系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)的誤差，比如：

式中? e n（H）和 e2n（X）分別是用系統(tǒng)能量矩 E [ H n ]和位移矩 E [ X 2n ]來(lái)定義的相對(duì)誤差。圖 4，5顯示了 e n（H）和 e2n（X）隨 Hurst 系數(shù)?、線性主頻率ω n 及系統(tǒng)阻尼系數(shù)γ的變化情況。圖 4，5表明，當(dāng)?越接近于和ω n 越大時(shí)，近似解的誤差越小，原因在于此時(shí)fGn具有較寬的頻帶。圖4，5還表明，對(duì)響應(yīng)低階矩 E [ H ]和E [ X 2]的近似解誤差要低于對(duì)響應(yīng)高階矩 E [ H 2]和E [ X4]的近似解誤差。γ=2ζω n 是線性系統(tǒng)（21）幅頻響應(yīng)特性的半功率帶寬[2] ，它衡量了系統(tǒng)能在ω n 附近多大頻率范圍內(nèi)吸收噪聲的能量。比較圖4（ a ）與圖6（ a ），或比較圖5（ a ）與圖6（b）表明，γ增加時(shí)，近似解誤差增加。觀察近似解式（18），（19）和（20）可知，k =0時(shí)，fGn功率譜密度中僅譜值 S（ω n ）出現(xiàn)在近似解的表達(dá)式中，鄰域噪聲成分的影響被近似解忽略了，這就是γ增加，近似解誤差增大的原因。

當(dāng)fGn激勵(lì)的非線性系統(tǒng)（1）中 k >0時(shí)，從近似解式（18），（19）和（20）可以看出，除退化線性系統(tǒng)頻率ω n 外，其倍頻3ω n，5ω n，…上的譜密度值和譜密度的各階導(dǎo)數(shù)也出現(xiàn)在近似解的表達(dá)式中。因此，對(duì)于fGn激勵(lì)的非線性系統(tǒng)（1），當(dāng)退化線性系統(tǒng)頻率及其倍頻ω n，3ω n，5ω n，…都處于fGn功率譜密度曲線較為平坦的范圍內(nèi)時(shí)，誤差較小，近似方法更適用。若要分析非線性因素對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的影響，

可以借助式（18），（19）和（20）進(jìn)行解析分析。由于哈密頓量 H 在非線性系統(tǒng)的響應(yīng)預(yù)測(cè)、可靠性分析和穩(wěn)定性分析中具有重要的地位，這里就以 H 為響應(yīng)量進(jìn)行分析。結(jié)合式（19）可知以下比值：

η n（H）表示在 n 階能量矩 E [ H n ]中，由非線性因素k 帶來(lái)的那部分響應(yīng)量在整個(gè)響應(yīng)量中的占比。圖 7分別示出了高斯白噪聲（?=0.5）和fGn激勵(lì)（?=0.75）下非線性響應(yīng)量占比隨參數(shù) k 的變化情況。圖 7表明，無(wú)論高斯白噪聲激勵(lì)還是fGn激勵(lì)，也無(wú)論 k 為何值，非線性因素對(duì)高階矩的影響都要大于對(duì)低階矩的影響。對(duì)圖7（ a ）與圖7（b）中相同η1（H），η2（H）或η3（H）的比較表明，高斯白噪聲激勵(lì)下η n（H）隨 k 增加較緩慢，而fGn激勵(lì)下η n（H）隨 k 增加較急速。換言之，在 Hurst 系數(shù)?和非線性因素 k 的共同影響下，能量矩 E [ H n ]有著非常大的變化。應(yīng)用寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法所得到的理論結(jié)果能夠準(zhǔn)確地體現(xiàn)出非線性因素的影響。

4 結(jié)論

通過(guò)fGn激勵(lì)下線性系統(tǒng)響應(yīng)的精確解析解與用寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法所得的近似解析解之間的比較可知，只要系統(tǒng)固有頻率所在頻段的功率譜密度曲線比較平坦，近似解析解的誤差就會(huì)較小。對(duì)于fGn激勵(lì)的非線性系統(tǒng)，主頻率及其倍數(shù)頻率處的譜密度值和譜密度的各階導(dǎo)數(shù)會(huì)影響解析解精度。可以預(yù)計(jì)的是，對(duì)強(qiáng)非線性系統(tǒng)，當(dāng)fGn功率譜密度曲線在系統(tǒng)主頻率及其倍數(shù)頻率處較為平坦時(shí)，響應(yīng)近似解析解的誤差較小。分析表明，近似解析解也能反映出 Hurst 系數(shù)和非線性參數(shù)對(duì)響應(yīng)量有較大的影響?？傊趂Gn功率譜密度曲線較平坦的區(qū)域內(nèi)，寬帶噪聲激勵(lì)下擬可積哈密頓系統(tǒng)隨機(jī)平均法適合于研究fGn激勵(lì)下的多自由度強(qiáng)非線性系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)。

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Analytical analysis on the applicability of an approximate method to nonlinear systems driven by fGn

DENG Mao-lin，ZHU Wei-qiu

（Institute of Applied Mechanics，School of Aeronautics and Astronautics，Zhejiang University，Hangzhou 310027，China）

Abstract： Due to the non-Markov property of response of a nonlinear system driven by fractional Gaussian noise （fGn），the diffu? sion process theory cannot be applied . As an approximate method，the stochastic averaging method for multi-DOF strongly nonlin? ear systems driven by wideband noise has been applied to study nonlinear systems driven by fGn . The results show that the approxi? mate method is very effective in the response prediction and the reliability analysis . However，so far there has been no analytical analysis on the error and applicability of the approximate method . In the present paper，the approximate method is applied to study a single-DOF nonlinear system driven by fGn and some analytical solutions are obtained . By comparing with reported exact analyti? cal solutions，the error analysis is performed and the applicability of approximate method is determined . The conclusion of the pres? ent paper can be the theoretical foundation for further application of the approximate method .

Key words： nonlinear system；wideband noise；fractional Gaussian noise （fGn）；stochastic averaging method of quasi Hamiltonian systems

作者簡(jiǎn)介：鄧茂林（1973—），男，副教授。E-mail：mldeng@zju .edu .cn。

通訊作者：朱位秋（1938—），男，教授，中國(guó)科學(xué)院院士。電話：（0571）87991150；E-mail：wqzhu@zju .edu .cn。