蔡君同 尹強(qiáng) 丁千

摘要：由于工程系統(tǒng)的復(fù)雜性和參數(shù)不確定性，利用力學(xué)原理建立的動(dòng)力學(xué)控制方程常難以滿(mǎn)足精度需求?；跀?shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)建模和響應(yīng)預(yù)測(cè)，利用動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程的數(shù)值解模擬實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的不同外激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)，并用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建包含訓(xùn)練數(shù)據(jù)間已知關(guān)系的損失函數(shù)以提高模型精度，得到表達(dá)系統(tǒng)狀態(tài)關(guān)系的數(shù)據(jù)模型。將該神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型納入常微分方程求解器，可預(yù)測(cè)系統(tǒng)在不同激勵(lì)下的響應(yīng)，并獲得幅頻響應(yīng)關(guān)系。將建模方法分別應(yīng)用于含立方型和間隙型非線(xiàn)性的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，計(jì)算結(jié)果表明，可根據(jù)響應(yīng)數(shù)據(jù)建立準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)模型，并獲得非線(xiàn)性系統(tǒng)主共振時(shí)的滯后和跳躍響應(yīng)。研究還表明，訓(xùn)練數(shù)據(jù)越多、數(shù)據(jù)覆蓋狀態(tài)越完整，數(shù)據(jù)模型精度越好，且預(yù)測(cè)響應(yīng)的誤差越小。

關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性系統(tǒng)；數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)；系統(tǒng)建模；響應(yīng)預(yù)測(cè)

中圖分類(lèi)號(hào)： O322；O313.3??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)：1004-4523（2022）05-1101-08

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.007

引言

隨著工程中研究對(duì)象的復(fù)雜化，建立準(zhǔn)確的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)控制方程越來(lái)越困難。利用力學(xué)原理，在各種假設(shè)條件基礎(chǔ)上建立的模型，常常難以反映真實(shí)動(dòng)力學(xué)特性，響應(yīng)預(yù)測(cè)精度也往往難以滿(mǎn)足要求[1]。大數(shù)據(jù)科學(xué)的快速發(fā)展為基于系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模和響應(yīng)預(yù)測(cè)帶來(lái)了可能性[2]。

基于數(shù)據(jù)的系統(tǒng)分析方法分為參數(shù)方法和非參數(shù)方法。參數(shù)方法通常需要一個(gè)假設(shè)模型，并進(jìn)行初始參數(shù)化。利用系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，通過(guò)最小二乘和最大似然估計(jì)法來(lái)減小模型預(yù)測(cè)誤差，實(shí)現(xiàn)模型參數(shù)的更新[3?5]。在處理非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，通常假設(shè)初始模型結(jié)構(gòu)為雙線(xiàn)性結(jié)構(gòu)、Duffing 結(jié)構(gòu)或滯回結(jié)構(gòu)[6?7]。非參數(shù)方法包括小波變換、Hilbert?Huang變換、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法等，不需要關(guān)于系統(tǒng)的先驗(yàn)信息。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[8]具有很強(qiáng)的非線(xiàn)性擬合能力，通過(guò)數(shù)據(jù)訓(xùn)練可映射任意復(fù)雜的非線(xiàn)性關(guān)系，可直接建立輸入與輸出數(shù)據(jù)之間的映射關(guān)系，是最受關(guān)注的復(fù)雜系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模方法。Pei 等[9?10]利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合非線(xiàn)性回復(fù)力。Derkevorkian等[11]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與常微分方程（ODE）求解器相結(jié)合，模擬土體結(jié)構(gòu)相互作用并預(yù)測(cè)系統(tǒng)響應(yīng)。Witters等[12]建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的客車(chē)半主動(dòng)阻尼器模型，該模型能夠準(zhǔn)確、有效地描述阻尼器的動(dòng)態(tài)特性。基于機(jī)器學(xué)習(xí)算法的數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模，大都把狀態(tài)向量的時(shí)間導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)看作已知。因?yàn)閷?dǎo)數(shù)運(yùn)算對(duì)采集數(shù)據(jù)中噪聲因素非常敏感，若不能準(zhǔn)確獲得狀態(tài)向量的導(dǎo)數(shù)數(shù)據(jù)，就會(huì)產(chǎn)生較大誤差。Raissi等[13]采用線(xiàn)性多步法限制狀態(tài)向量與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，減少了獲取數(shù)據(jù)過(guò)程產(chǎn)生的誤差。

利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解常/偏微分運(yùn)動(dòng)方程也是近年來(lái)研究熱點(diǎn)之一。將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出作為方程的一個(gè)候選解，通過(guò)訓(xùn)練來(lái)更新網(wǎng)絡(luò)權(quán)重參數(shù)從而降低控制方程的不平衡，繼而使候選解不斷接近真解。例如，Chen 等[14]利用深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)求解常微分方程，采用常規(guī)算法驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。Raissi等[15] 利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)時(shí)間離散和時(shí)間連續(xù)的兩類(lèi)偏微分方程模型進(jìn)行求解及辨識(shí)。Wei 等[16]基于深度強(qiáng)化學(xué)習(xí)理論對(duì)范德波方程及經(jīng)典偏微分方程求解，結(jié)果表明對(duì)穩(wěn)定周期解求解精度高、速度快。但相較于偏微分方程，常微分方程計(jì)算問(wèn)題中所得的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)大多只對(duì)當(dāng)前數(shù)據(jù)集有效，主要原因是損失函數(shù)對(duì)模型訓(xùn)練過(guò)程的約束較弱，導(dǎo)致訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不能很好地逼近理論模型。因此，進(jìn)行數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)研究，不能僅僅著眼于數(shù)據(jù)本身，更要關(guān)注其代表的物理含義，借用力學(xué)特征從數(shù)據(jù)間挖掘潛在的動(dòng)力學(xué)規(guī)律。

研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題時(shí)，很多工程系統(tǒng)都可以簡(jiǎn)化成單自由度或多自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，同時(shí)也考慮阻尼、間隙等因素的影響。考慮到工程系統(tǒng)的復(fù)雜性和參數(shù)不確定性，基于力學(xué)原理常難以建立滿(mǎn)足需求的模型，因此本文研究數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模，并基于數(shù)據(jù)模型的響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果，驗(yàn)證數(shù)據(jù)模型的有效性。本文研究非自治動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)，其狀態(tài)方程形式下外激勵(lì)項(xiàng)與響應(yīng)項(xiàng)不存在耦合關(guān)系。首先給出建模流程，即由已知?jiǎng)恿W(xué)狀態(tài)方程獲得若干外激勵(lì)下的響應(yīng)數(shù)據(jù)，并作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練數(shù)據(jù)，用來(lái)使神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代替狀態(tài)方程中含有響應(yīng)項(xiàng)的部分。同時(shí)利用訓(xùn)練數(shù)據(jù)間已知關(guān)系構(gòu)建損失函數(shù)，從而提高數(shù)據(jù)模型精度。然后將該方法應(yīng)用于單自由度和三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，通過(guò) ODE 求解器獲得訓(xùn)練后的系統(tǒng)幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，討論訓(xùn)練數(shù)據(jù)噪聲和訓(xùn)練數(shù)據(jù)特征對(duì)數(shù)據(jù)模型精度的影響。

1? 問(wèn)題描述

考慮一個(gè)非自治動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

式中? u （ t ）=[ u1（ t ） u2（ t ）… un （ t ）]T ∈ Rn 為位移向量；M 為質(zhì)量矩陣；G（ u（ t ），u? （ t ））為廣義回復(fù)力；F （ t ）為外激勵(lì)力。

將方程（1）寫(xiě)成以下?tīng)顟B(tài)方程形式：

式中 v （ t ）=[ v1（ t ） v2（ t ）…vn （ t ）]T ∈ Rn 為速度向量。為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，進(jìn)一步將方程（2）表示為：

式中? X （ t ）=[ uT （ t ） vT （ t ）]T ∈ R 2n 為系統(tǒng)的狀態(tài)向量，f （X （ t ））∈ R 2n，fˉ（t ）=[01× n （ M -1 F （ t ））T ]T ∈R 2n。

本文研究 G（ u，u? ） 為未知時(shí)的數(shù)據(jù)建模，因其包含在f（ X ）中，將利用已知的輸入輸出數(shù)據(jù)訓(xùn)練一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)f?（ X ）來(lái)代替f（ X ），從而得到可用于動(dòng)力學(xué)計(jì)算的數(shù)據(jù)模型?；咀龇ㄊ牵呵蠼庖阎獱顟B(tài)方程（模擬實(shí)際測(cè)量），得到對(duì)應(yīng)于外激勵(lì)fˉ（ t ）的狀態(tài)向量響應(yīng)數(shù)據(jù) X（ t ），用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)f?（ X ），使其反映從 X 到f（ X ）的映射關(guān)系。將訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代入式（3），便可獲得用于響應(yīng)預(yù)測(cè)的狀態(tài)方程：

給定方程外激勵(lì)fˉ（ t ）及狀態(tài)初始值 X（ t0），即可利用 ODE 求解器求解、分析動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)（4）的響應(yīng) X （ t ）。

2? 求解方法

2.1? 線(xiàn)性多步法

用線(xiàn)性多步法求解常微分方程初值問(wèn)題，是利用已知的前 k 個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)向量表示下一時(shí)刻的狀態(tài)向量，其優(yōu)勢(shì)是既保證計(jì)算精度，又不會(huì)增加太多計(jì)算量[17]。

為求解ti +1時(shí)刻的狀態(tài)向量 X（ ti +1），k 步線(xiàn)性多步法計(jì)算格式為：

式中i = k -1，…，N -1，αp 與βq 為常數(shù)，h 為數(shù)據(jù)采樣時(shí)間間隔，N 為數(shù)據(jù)采樣點(diǎn)數(shù)。當(dāng)β-1= 0時(shí)，上式是顯性線(xiàn)性多步格式；當(dāng)β-1≠ 0時(shí)，上式是隱性線(xiàn)性多步格式。公式（5）給出了 k+1個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)向量 X 及方向場(chǎng) X? 之間滿(mǎn)足的定量關(guān)系。將方程（3）代入式（5），可得：

由于提供了狀態(tài)向量與狀態(tài)方程（3）右端項(xiàng)之間的約束關(guān)系，方程（6）將用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中損失函數(shù)的構(gòu)建。

2.2? 數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模流程

已知若干外激勵(lì)和相應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，進(jìn)行系統(tǒng)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)建模流程如圖1所示。

1）獲取神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)。給定 M 個(gè)不同頻率和幅值外激勵(lì)的時(shí)間序列數(shù)據(jù)fl（-）（ tj ），l=1，…， M；j=0，1，…，N，利用 ODE 求解器對(duì)已知的狀態(tài)方程直接求解，獲得相應(yīng)的系統(tǒng)狀態(tài)向量的時(shí)間序列Xfl（-）（tj ），用其模擬工程中實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)。

2）訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)f?（ X ）。將以上狀態(tài)向量數(shù)據(jù) X （tj ）作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入數(shù)據(jù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出數(shù)

據(jù) Y （tj ）應(yīng)滿(mǎn)足 Y （tj ）=f?（ X （tj ））。

根據(jù)線(xiàn)性多步法，公式（6）給出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入與輸出數(shù)據(jù)應(yīng)該滿(mǎn)足的定量關(guān)系，即：

為提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的模型精度，根據(jù)狀態(tài)向量中位移變量和速度變量的已知關(guān)系，構(gòu)建網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的損失函數(shù)。損失函數(shù)是衡量神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出數(shù)據(jù)與理論數(shù)據(jù)之間差距大小的指標(biāo)，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練的本質(zhì)正是最小化損失函數(shù)的過(guò)程。定義 X（tj ）中前 n 維數(shù)據(jù)為 X1（tj ），后 n 維數(shù)據(jù)為 X2（tj ）；同理，定義輸出數(shù)據(jù) Y （tj ）中前 n 維數(shù)據(jù)為 Y1（tj ），后 n 維數(shù)據(jù)為 Y2（tj ）。

根據(jù)方程（2），（3）可得

根據(jù)線(xiàn)性多步法給定的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入輸出數(shù)據(jù)之間關(guān)系（7）及由訓(xùn)練數(shù)據(jù)間的已知關(guān)系確定的部分神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)映射信息（8），給出了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練過(guò)程的損失函數(shù) L 為：

式中γ為一常數(shù)，且：

利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入與輸出數(shù)據(jù)構(gòu)建損失函數(shù) L 后，以最小化損失函數(shù)為目標(biāo)，用 Adam 方法[18]優(yōu)化、更新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)重參數(shù)。當(dāng)損失函數(shù)數(shù)值下降到所需精度ξ時(shí)，認(rèn)為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)已完成訓(xùn)練并停止迭代。

激活函數(shù)也是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的重要組成部分之一。考慮到訓(xùn)練數(shù)據(jù)及其導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，激活函數(shù)選為 tanh 函數(shù)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)設(shè)定為一個(gè)隱藏層，每層256個(gè)神經(jīng)元。綜上，通過(guò)訓(xùn)練得到狀態(tài)方程（4）中的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)f?（ X ）。

3）將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)f?（ X ）代入狀態(tài)方程（4），并利用 ODE 求解器求解和預(yù)測(cè)外激勵(lì)fˉ（ t ）變化情況下系統(tǒng)狀態(tài)向量的響應(yīng) X（ t ）。

為直觀表現(xiàn)建立的數(shù)據(jù)模型在外激勵(lì)變化情況下的響應(yīng)預(yù)測(cè)效果，改變方程（4）中外激勵(lì)fˉ（ t ），利用 ODE 求解器多次求解，得到系統(tǒng)在不同激勵(lì)力下的狀態(tài)響應(yīng) X（ t ），取穩(wěn)定狀態(tài)下 X（ t ）中的位移幅值。通過(guò)正向和反向掃頻計(jì)算，得到幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)以檢驗(yàn)數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建模能否反映共振幅值跳躍的非線(xiàn)性現(xiàn)象。

3 數(shù)值算例

針對(duì)單自由度及三自由度非線(xiàn)性振動(dòng)系統(tǒng)，研究上述數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的系統(tǒng)建模和響應(yīng)預(yù)測(cè)能力。為保證工程應(yīng)用情況下的有效性，著重探究訓(xùn)練數(shù)據(jù)中噪聲和訓(xùn)練數(shù)據(jù)特征對(duì)數(shù)據(jù)模型精度的影響。

3.1? 立方非線(xiàn)性的單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

考慮帶有立方非線(xiàn)性的單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖2所示。

動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程為：

其中：

考慮系統(tǒng)維度較低，將線(xiàn)性多步法公式（7）簡(jiǎn)化為以下隱性單步形式：

對(duì)應(yīng)的損失函數(shù)為：

其中：

根據(jù)圖1的流程，利用已知的外激勵(lì)及響應(yīng)數(shù)據(jù)訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，代替狀態(tài)方程中的f（ u1，v1）。

假設(shè) m 1=1 kg，c1=0.5 N·s/m，k1=36 N/m， k2=150 N/m3，即無(wú)阻尼固有圓頻率為6 rad/s 。通過(guò) ODE 求解器計(jì)算動(dòng)力學(xué)狀態(tài)方程（11），并利用方程數(shù)值解來(lái)模擬系統(tǒng)在外激勵(lì)幅值 A=3 N 、外激勵(lì)頻率ω=6，7，8 rad/s 時(shí)的時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，采樣時(shí)長(zhǎng)0～30 s，采樣頻率100 Hz 。將訓(xùn)練后的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)作為方程（4）的廣義回復(fù)力，利用 ODE 求解器計(jì)算外激勵(lì)為3cos（10t ）時(shí)的時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)的質(zhì)量塊位移曲線(xiàn)如圖3所示。

圖3中實(shí)線(xiàn)表示求解已知?jiǎng)恿W(xué)狀態(tài)方程（11）的數(shù)值解，星號(hào)是基于數(shù)據(jù)模型的計(jì)算解，兩者差距極小。圖 4（ a ）為幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)的對(duì)比。激勵(lì)幅值提高到5 N，也能得到較好的預(yù)測(cè)結(jié)果，如圖4（b）所示。但當(dāng) A=8 N 時(shí)，由于預(yù)測(cè)工況與訓(xùn)練工況的激勵(lì)幅值相差過(guò)大，數(shù)據(jù)模型的共振區(qū)響應(yīng)預(yù)測(cè)精度相對(duì)變差，如圖4（ c ）所示。

響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果存在誤差的本質(zhì)是：構(gòu)建的數(shù)據(jù)模型與理論模型之間存在差異，兩者不能完全等效替換。究其原因，一是本文側(cè)重利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行系統(tǒng)建模和響應(yīng)預(yù)測(cè)的流程，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用了單個(gè)隱藏層，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)較簡(jiǎn)單，若采用更為復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，有可能提高對(duì)理論模型的逼近能力；二是上述算例中選用單一外激勵(lì)幅值情況下的響應(yīng)數(shù)據(jù)作為網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，訓(xùn)練數(shù)據(jù)使用不同激勵(lì)幅值下的響應(yīng)數(shù)據(jù)，將減小這類(lèi)響應(yīng)預(yù)測(cè)誤差。為驗(yàn)證響應(yīng)預(yù)測(cè)能力與訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)外激勵(lì)幅值的關(guān)系，使用外激勵(lì)頻率和幅值均變化時(shí)的多幅值響應(yīng)數(shù)據(jù)，即采集外激勵(lì)幅值 A 分別為3，5 N，外激勵(lì)頻率ω分別為7，8 rad/s 時(shí)的系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)。圖 5是訓(xùn)練數(shù)據(jù)選用單幅值和多幅值兩種響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)（A=8 N）。結(jié)果表明，選用多幅值響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練可以有效提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在激勵(lì)變化情況時(shí)的響應(yīng)預(yù)測(cè)能力。

考慮到訓(xùn)練數(shù)據(jù)是不同外激勵(lì)情況下的系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，因此外激勵(lì)情況將影響訓(xùn)練數(shù)據(jù)特征，進(jìn)而影響網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練。為探究數(shù)據(jù)模型精度與訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的外激勵(lì)頻率的關(guān)系，采集外激勵(lì)幅值 A=3 N 、激勵(lì)頻率ω分別等于6，7，8 rad/s 和5，6，8 rad/ s 的兩組系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，采樣時(shí)長(zhǎng)0～30 s，采樣頻率100 Hz 。圖6為訓(xùn)練數(shù)據(jù)選用不同激勵(lì)頻率下的響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)（A=3 N），兩組訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的計(jì)算值與準(zhǔn)確值均基本吻合，且可有效得到系統(tǒng)幅值跳躍時(shí)的激勵(lì)頻率；同時(shí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的激勵(lì)頻率越靠近共振頻率，數(shù)據(jù)模型的響應(yīng)預(yù)測(cè)結(jié)果越好。

采集系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)數(shù)據(jù)時(shí)，數(shù)據(jù)的采樣頻率大小是必要的考慮因素。探究采樣頻率對(duì)預(yù)測(cè)精度的影響，將作為數(shù)據(jù)獲取時(shí)采樣頻率設(shè)定的依據(jù)。采集外激勵(lì)幅值 A=3 N，外激勵(lì)頻率ω=6，7，8 rad/s 時(shí)的系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，采樣頻率由100 Hz 變?yōu)?00 Hz 。圖7為由采樣頻率變化前后的訓(xùn)練數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)（A=8 N）。結(jié)果表明，采樣頻率滿(mǎn)足采樣定理后，改變采樣頻率對(duì)激勵(lì)幅值變化時(shí)的響應(yīng)預(yù)測(cè)能力并沒(méi)有明顯增強(qiáng)效果。原因是當(dāng)改變采樣頻率時(shí)，損失函數(shù)中數(shù)據(jù)之間應(yīng)遵循的動(dòng)力學(xué)規(guī)律并沒(méi)有很大變化。

為探究構(gòu)建損失函數(shù)指標(biāo) e2j 對(duì)提高響應(yīng)預(yù)測(cè)能力的有效性，采集外激勵(lì)幅值 A=3 N 、外激勵(lì)頻率ω=6，7，8 rad/s 的系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)，采樣時(shí)長(zhǎng)0～30 s，采樣頻率100 Hz 。圖8為選取不同損失函數(shù)指標(biāo)時(shí)對(duì)應(yīng)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)（A=3 N），紅色曲線(xiàn)為損失函數(shù) L 只包含指標(biāo) e1i 時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，藍(lán)色曲線(xiàn)為 L 包含指標(biāo) e1i 和 e2j 時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)，前后兩者選用相同的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練時(shí)間。結(jié)果表明，在損失函數(shù)中補(bǔ)充指標(biāo) e2j 能有效地提高數(shù)據(jù)模型的響應(yīng)預(yù)測(cè)能力。

將獨(dú)立、同分布的高斯噪聲加到求解方程（11）得到的原始響應(yīng)數(shù)據(jù)中，模擬包含環(huán)境噪聲的響應(yīng)數(shù)據(jù)。噪聲平均幅值為零，標(biāo)準(zhǔn)差分別等于原始響應(yīng)數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的2%和5%。圖 9考慮了訓(xùn)練數(shù)據(jù)中噪聲對(duì)響應(yīng)預(yù)測(cè)的影響（A=3 N），可以看出預(yù)測(cè)精度較好，說(shuō)明所建立的數(shù)據(jù)模型對(duì)噪聲數(shù)據(jù)有較好魯棒性。

3.2? 間隙非線(xiàn)性的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)

考慮具有間隙非線(xiàn)性的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，如圖10所示。

圖10中，k4為立方非線(xiàn)性彈簧，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程表示為：

方程（16）中非線(xiàn)性項(xiàng)為：

式中δ表示間隙，大小為2 mm 。假設(shè) m 1= m2= m3=1 kg，c1= c2= c3=1 N·s/m，k1= k2= k3=600 N/m，k4=6000 N/m3，第一階無(wú)阻尼固有圓頻率為10.9 rad/s 。通過(guò)求解動(dòng)力學(xué)方程（16）來(lái)模擬外激勵(lì)幅值 A=1 N 、外激勵(lì)頻率ω=10，11，12rad/s 時(shí)的系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)數(shù)據(jù)的采集，采樣時(shí)長(zhǎng)0～30 s，采樣頻率100 Hz 。圖11（ a ）為基于數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)的最右側(cè)質(zhì)量塊的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)（A=1 N）。增大激勵(lì)幅值，預(yù)測(cè)結(jié)果仍與準(zhǔn)確值基本吻合（圖11（b）為 A=1.5 N 時(shí)最右側(cè)質(zhì)量塊的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)）。結(jié)果表明，針對(duì)具有間隙非線(xiàn)性的三自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)，建立的數(shù)據(jù)模型能夠有效地計(jì)算幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)。

圖12為考慮響應(yīng)數(shù)據(jù)中包含噪聲時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線(xiàn)（A=1N），可以發(fā)現(xiàn)計(jì)算值與準(zhǔn)確值基本吻合，說(shuō)明該方法對(duì)不同等級(jí)噪聲影響下的間隙非線(xiàn)性三自由彈簧質(zhì)量系統(tǒng)同樣具有較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié)論

本文研究數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)的非線(xiàn)性多自由度動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)建模和響應(yīng)預(yù)測(cè)。通過(guò)求解已知狀態(tài)方程模擬系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)，并用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，然后利用 ODE 求解器進(jìn)行系統(tǒng)響應(yīng)預(yù)測(cè)。依據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)間已知關(guān)系構(gòu)建損失函數(shù)，提高了數(shù)據(jù)模型精度。針對(duì)包含立方非線(xiàn)性及間隙非線(xiàn)性的彈簧質(zhì)量系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)值驗(yàn)證，結(jié)果表明：

（1）所提出的方法可根據(jù)系統(tǒng)若干外激勵(lì)與系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行外激勵(lì)幅值和頻率變化時(shí)的非線(xiàn)性彈簧質(zhì)量系統(tǒng)響應(yīng)預(yù)測(cè)，并進(jìn)一步獲得系統(tǒng)幅頻響應(yīng)，同時(shí)對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)中的噪聲具有魯棒性。

（2）訓(xùn)練數(shù)據(jù)特征對(duì)數(shù)據(jù)模型精度存在影響。訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的外激勵(lì)頻率越靠近系統(tǒng)共振頻率，數(shù)據(jù)模型精度越好；使用外激勵(lì)幅值不單一的多幅值響應(yīng)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，可以有效提高數(shù)據(jù)模型在外激勵(lì)幅值變化時(shí)的響應(yīng)預(yù)測(cè)精度；改變訓(xùn)練數(shù)據(jù)的采樣頻率對(duì)數(shù)據(jù)模型精度影響不大。

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Data ?driven modeling and response prediction of nonlinear multi?degree?of?freedom systems

CAI Jun?tong1，2，YIN Qiang1，2，DING Qian1，2

（1.Department of Mechanics，School of Mechanical Engineeing，Tianjin University，Tianjin 300350，China；

2.Tianjin Key Laboratory of Nonlinear Dynamics and Control，Tianjin 300350，China）

Abstract： Due to the complexity of the engineering system and the uncertainty of the parameters，the dynamic control equations es? tablished by the principles of mechanics are often difficult to meet the requirements of precision . This paper studies data-driven sys? tem modeling and response prediction . First，the numerical solution of the dynamic state equation is used to simulate the system re? sponse under different external excitations measured in the experiment，and the neural network model is trained with the response data . The loss function containing the known relationship between the training data is constructed to improve the accuracy of the neural network，and the data model expressing state relationship is obtained . Then，the neural network model is incorporated into the ordinary differential equation solver to predict the response of the system under different excitations and obtain the amplitude - frequency response relationship . The modeling method is applied to the spring mass system with cubic and gap nonlinearity respec? tively . The calculation results show that an accurate data model can be established based on the response data and the hysteresis and jump responses of the nonlinear system at the main resonance can be obtained . The study also shows that the more the training data has and the more complete the data is，the better the accuracy of the data model and the smaller the error of the predicted re? sponse will be .

Key words ： nonlinear system；data?driven；system modeling；response prediction

作者簡(jiǎn)介：蔡君同（1996—），男，碩士研究生。電話(huà)：17702299785；E ?mail：cccjuntong@126.com。

通訊作者：丁千（1963—），男，教授。電話(huà)：13502119753；E ?mail：qding@tju .edu .cn。