周永香 薛迅2)?

1)(華東師范大學(xué)物理系,上海 200241)

2)(新疆大學(xué)物理與技術(shù)學(xué)院,烏魯木齊 830046)

在軌道角動(dòng)量守恒的無自旋-軌道耦合系統(tǒng)中存在帶軌道角動(dòng)量量子數(shù)的電子渦旋波解,研究了存在自旋-軌道耦合,軌道角動(dòng)量不守恒的系統(tǒng),發(fā)現(xiàn)攜帶總角動(dòng)量量子數(shù)的電子旋量波函數(shù)也有渦旋波解,表現(xiàn)為自旋波函數(shù)和渦旋波波函數(shù)的糾纏波函數(shù).以中心力場(chǎng)中的電子為例,構(gòu)建了自旋-軌道耦合導(dǎo)致的軌道角動(dòng)量不守恒但總角動(dòng)量守恒的情況下,攜帶固定總角動(dòng)量量子數(shù)的電子沿 z 軸傳播的渦旋波旋量波函數(shù)結(jié)構(gòu).對(duì)自旋-渦旋糾纏中相應(yīng)的電子渦旋波進(jìn)行了微擾求解,并結(jié)合Foldy-Wouthuysen 變換,說明了在相對(duì)論情況下,中心力場(chǎng)中攜帶固定總角動(dòng)量量子數(shù)的電子沿 z 軸傳播時(shí)也確實(shí)存在四分量旋量的渦旋解,從而為有自旋-軌道耦合導(dǎo)致的軌道角動(dòng)量不守恒但總角動(dòng)量守恒的系統(tǒng)提供了存在渦旋結(jié)構(gòu)的理論支持.

1 引言

渦旋現(xiàn)象普遍出現(xiàn)于很多系統(tǒng)中,比如在經(jīng)典流體系統(tǒng)、量子流體系統(tǒng)、非線性場(chǎng)系統(tǒng)和光學(xué)系統(tǒng)中.攜帶軌道量子數(shù)l的光波構(gòu)成光學(xué)中的渦旋現(xiàn)象.Uchida 和Tonomura[1]首先將渦旋光波的概念推廣到了電子渦旋波,即攜帶軌道角動(dòng)量的傳播電子態(tài),渦旋波的普遍特征是其等相面為連續(xù)螺旋面.在以傳播方向?yàn)檩S向的柱坐標(biāo)系中,其波函數(shù)具有軌道角動(dòng)量本征態(tài) eilφ形式的相位因子,φ是關(guān)于傳播軸的方位角,l為軌道角動(dòng)量量子數(shù),渦旋波波函數(shù)具有連續(xù)螺旋狀的等相位面[2-6].量子化的渦旋可以對(duì)應(yīng)到帶非平庸拓?fù)鋽?shù)的拓?fù)涔铝⒆咏?Nye 和Berry[7]首先觀察到這種非平庸的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),他們認(rèn)為這是波列中類似于晶體缺陷的螺旋式位錯(cuò).

對(duì)電子渦旋態(tài)的描述可以借助薛定諤方程、狄拉克方程和克萊因戈登方程的渦旋波解,這三種方程的渦旋波解分別描述電子渦旋波的非相對(duì)論極限、電子渦旋波的相對(duì)論旋量結(jié)構(gòu)和電子渦旋波的相對(duì)論行為[1,8-13].由于電子渦旋波攜帶軌道角動(dòng)量,表現(xiàn)為具有角動(dòng)量本征態(tài) eilφ形式的分離變量解,等相面為螺旋面,在非相對(duì)論薛定諤方程研究框架中,自由電子和恒定磁場(chǎng)中的電子具有守恒的軌道角動(dòng)量分量,均保證了波函數(shù)存在角動(dòng)量本征態(tài) eilφ形式的分離變量解[14],渦旋波即為這種具有確定軌道角動(dòng)量的電子傳播波函數(shù).對(duì)自由電子,從狄拉克哈密頓量來看,總角動(dòng)量是守恒的,但軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的z分量各自并不守恒,而在非相對(duì)論極限下,自由電子的哈密頓與軌道角動(dòng)量的z對(duì)易,為了將相對(duì)論協(xié)變的理論過渡到非相對(duì)論極限,Barret[15]指出,正確的做法是借助Foldy-Wouthuysen(F-W)變換,這樣才能得到正確的薛定諤方程作為相對(duì)論電子波動(dòng)方程的非相對(duì)論極限,使哈密頓量、電子波函數(shù)與軌道角動(dòng)量具有良好的定義.F-W 變換對(duì)狄拉克旋量做幺正變換使得狄拉克哈密頓量對(duì)角化,在該表象(FW 表象)中,四旋量的上下二旋量滿足的方程可以分離,在F-W 表象中重新定義的軌道角動(dòng)量L＇和自旋角動(dòng)量S＇分別守恒,從而說明攜帶軌道角動(dòng)量的自由電子在相對(duì)論系統(tǒng)中仍然有好的軌道角動(dòng)量的定義.類似地,勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的攜帶軌道角動(dòng)量的相對(duì)論性電子也具有不守恒的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量,但是在非相對(duì)極限下,勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的電子所對(duì)應(yīng)的哈密頓與磁場(chǎng)方向軌道角動(dòng)量分量Lz對(duì)易,在2020 年Zou 等[16]也同樣利用F-W變換,對(duì)角化電子的狄拉克哈密頓量,從而分離了上下旋量方程,得到了相對(duì)論情況下對(duì)應(yīng)的渦旋解和在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中渦旋解所對(duì)應(yīng)的Guoy 相.Barret[15]和Zou 等[16]討論的相對(duì)論體系雖然表面上軌道角動(dòng)量不守恒,但是可以利用表象變換找到與軌道角動(dòng)量對(duì)易的哈密頓,而且這個(gè)幺正變換也可以重新定義“新的軌道角動(dòng)量”,使在相對(duì)論系統(tǒng)中同樣存在守恒的軌道角動(dòng)量,電子的傳播波函數(shù)也存在軌道角動(dòng)量本征態(tài) eilφ的分離變量因子.

在自由電子和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的電子這兩類總角動(dòng)量守恒的相對(duì)論體系中,可以通過F-W 變換構(gòu)造分別守恒的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量,使得體系的軌道自由度和自旋自由度可以分離,亦即不存在自旋-軌道耦合,但更一般的情形是自旋自由度與軌道自由度存在耦合,這時(shí)通過表象變換構(gòu)建分別守恒的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量原則上就是不可能的,在非相對(duì)論極限下的哈密頓會(huì)出現(xiàn)自旋-軌道耦合項(xiàng),即使在非相對(duì)論極限下系統(tǒng)的軌道角動(dòng)量也不守恒.比如中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子,在非相對(duì)論極限下,哈密頓量存在中心力場(chǎng)導(dǎo)致的自旋-軌道耦合項(xiàng),使得軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量都不再是守恒量,對(duì)于自由電子和勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的電子由于軌道角動(dòng)量守恒導(dǎo)致的電子渦旋解存在的機(jī)制就不再成立了.但總角動(dòng)量依然保持守恒,具有確定總角動(dòng)量量子數(shù)的量子態(tài),其不同自旋態(tài)軌道角動(dòng)量只能相差 ? ,確定自旋的態(tài)其軌道角動(dòng)量量子數(shù)依然是確定的,依然可以具有渦旋態(tài),但自旋-軌道耦合會(huì)使不同自旋態(tài)對(duì)應(yīng)的渦旋態(tài)之間產(chǎn)生糾纏,體系仍然可以具有渦旋波結(jié)構(gòu),只是不同自旋伴隨的渦旋波之間會(huì)有糾纏而已,這種情況比軌道角動(dòng)量守恒體系的渦旋波解結(jié)構(gòu)更復(fù)雜,現(xiàn)象更豐富.本文研究了具有自旋-軌道耦合體系渦旋波解的存在問題,從中心力場(chǎng)中的狄拉克方程出發(fā),經(jīng)過表象變換之后,找到在中心力場(chǎng)中攜帶軌道角動(dòng)量的電子,沿z軸傳播的渦旋解及對(duì)應(yīng)的等相位螺旋面.

2 中心力場(chǎng)中的電子渦旋

2.1 中心力場(chǎng)中的狄拉克方程

相對(duì)論電子波函數(shù)ψ滿足狄拉克方程:

其中哈密頓量

ψ為四分量旋量波函數(shù).這里p為動(dòng)量矢量,m是質(zhì)量,V理解為VI4(中心力場(chǎng)乘以4 階單位矩陣),α和β為狄拉克矩陣[17]:

其中σ為泡利矩陣,I為2×2 單位矩陣.

對(duì)于中心力場(chǎng),V=V(R),R=,(x,y,z)為空間笛卡爾坐標(biāo),r=為(x,y)坐標(biāo)平面極坐標(biāo)(r,φ)的矢徑,(r,φ,z)構(gòu)成空間柱坐標(biāo).從(2)式中狄拉克密頓量的形式易得,[Jz,H]=0,其中Lz,Sz,Jz分別為軌道角動(dòng)量z分量,自旋角動(dòng)量z分量,總角動(dòng)量z分量.因此無法直接判斷中心力場(chǎng)中的相對(duì)論性電子是否存在攜帶軌道角動(dòng)量沿z軸傳播的渦旋解.對(duì)于自由電子和恒定磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的情形,可以借助F-W 變換,將狄拉克哈密頓量對(duì)角化,同時(shí)實(shí)現(xiàn)軌道自由度與自旋自由度的分離,得到的非相對(duì)論近似為無自旋-軌道耦合的泡利方程,即關(guān)于二分量旋量的薛定諤方程.在中心力場(chǎng)的情形,同樣借助F-W 變換,可以將(1)式中的四分量旋量波函數(shù)中的上下二分量旋量分開,從而變成關(guān)于二分量旋量的薛定諤方程作為相對(duì)論狄拉克方程的非相對(duì)論近似.

2.2 Foldy-Wouthuysen 變換

對(duì)(2)式中的哈密頓量做F-W 變換:

其中θ=α·p稱為奇算子,滿足{θ,β}=0,是導(dǎo)致四分量旋量的上下二分量旋量耦合的算子;ε為偶算子,不會(huì)導(dǎo)致上下二分量旋量耦合,滿足[ε,β]=0,在(4)式中ε=V+βm.F-W 變換即為消除哈密頓量中奇算子的幺正變換,借助自由電子的F-W 變換形式 eiS,其中S=-(i/2m)βθ[17-20],因?yàn)镾被展開為 1/m的冪級(jí)數(shù),因而在非相對(duì)論極限下是“小的”,只保留到(動(dòng)能/m)3和(動(dòng)能)/m2項(xiàng),故在我們所要求的精度階數(shù)內(nèi),做完變換之后的哈密頓量為

在H＇中θ＇=-(i/2m)βα·?V(r)-θ3/3m2為新的奇算子,對(duì)H＇再做一次F-W 變換,其中S＇=-(i/2m)βθ＇,得到

其中V(R)包含了達(dá)爾文項(xiàng)(1/8m2)(d2V(R)/dR2),一般情況下達(dá)爾文項(xiàng)相較勢(shì)能項(xiàng)可以忽略,本文忽略了達(dá)爾文項(xiàng)的貢獻(xiàn);

這里的V(R)是不含達(dá)爾文項(xiàng)的中心力場(chǎng)勢(shì)能.哈密頓量(6)只包含偶算符,已經(jīng)對(duì)角化,從而能夠使四分量旋量波函數(shù)的上下二分量旋量不再混合,F-W 變換之后的狄拉克方程成為上下二分量旋量的獨(dú)立方程:

其中ψ＇＇=,為經(jīng)過兩次F-W 變換之后的四分量旋量.選取(8)式中的正能解對(duì)應(yīng)的二分量方程,即只取ψ＇＇的上分量φ＇＇,H＇＇不含時(shí).可對(duì)φ＇＇進(jìn)行時(shí)空變量分離,得到

和定態(tài)薛定諤方程

其中E=k2/2m,k2=.(10)式在柱坐標(biāo)系中的形式為

在柱坐標(biāo)系中

可以看到在(10)式中u的兩個(gè)自旋分量因?yàn)榇嬖谧孕?軌道耦合項(xiàng)而產(chǎn)生混合,這是系統(tǒng)中軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量不守恒的體現(xiàn),即 [Lz,H＇＇]0和 [Sz,H＇＇]0.但需要注意的是總角動(dòng)量依然守恒,[Jz,H＇＇]=0.

2.3 攜帶總角動(dòng)量的電子渦旋解

對(duì)于自由電子與勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的電子兩種情形,雖然軌道角動(dòng)量不守恒,但因?yàn)闆]有自旋-軌道耦合,通過做F-W 變換,取F-W 表象,可以定義新的守恒軌道角動(dòng)量和守恒自旋角動(dòng)量.一般中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子,會(huì)受到中心力場(chǎng)勢(shì)能導(dǎo)致自旋-軌道耦合作用,使得即使取F-W 表象,新的軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量也不可能守恒.渦旋波是攜帶軌道角動(dòng)量的電子傳播態(tài),軌道角動(dòng)量守恒保證了渦旋波的穩(wěn)定性,其在帶自旋的薛定諤方程中即體現(xiàn)為軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量為守恒量,自旋自由度與軌道自由度可以分離變量求解,從而得到渦旋波和自旋相互分離的渦旋結(jié)構(gòu).但對(duì)于中心力場(chǎng)勢(shì)能,電子的狄拉克哈密頓經(jīng)過F-W 變化之后,在非相對(duì)論極限下所對(duì)應(yīng)的哈密頓存在自旋-軌道耦合,導(dǎo)致系統(tǒng)軌道角動(dòng)量不守恒,但總角動(dòng)量守恒.攜帶固定總角動(dòng)量量子數(shù)j=l+1/2 的電子在沿z軸傳播時(shí)所對(duì)應(yīng)的傳播解可以用總角動(dòng)量的本征態(tài)即軌道本征波函數(shù)和自旋本征波函數(shù)的糾纏態(tài)表示,

其中l(wèi)為任意整數(shù);a(r,z)和b(r,z)為軸對(duì)稱波函數(shù).將Σ·L中的Σ矩陣的上旋量形式和L在柱坐標(biāo)下的變換均代入(11)式中,便可得

其中

將A的表達(dá)式代入(13)式可得到如下兩個(gè)方程:

方程(15)和方程(16)在ξ(R)=0 的無自旋-軌道耦合情形中退化為

這里u(r,z)指a(r,z)或者b(r,z),l為軌道量子數(shù)可取任意整數(shù).對(duì)于無自旋-軌道耦合的中心力場(chǎng),不失一般性可取V=0,在方程(17)中做代換:

分離傳播因子 eikz得到

這里K2=k2-,其線性無關(guān)的解為貝塞爾函數(shù)u(r)～Jl(Kr)和漢克爾函數(shù)u(r)～Hl(Kr),由 此構(gòu)成的通解不能歸一化,這是因?yàn)槭聦?shí)上(19)式是自由粒子波函數(shù)滿足的方程.為產(chǎn)生空間徑向集中的渦旋波,需要在徑向施加物理束縛,使電子波集中在傳播軸附近,在數(shù)學(xué)上可以用傍軸近似來實(shí)現(xiàn)此束縛[21,22]:

可得

這里u(r,z)是軸對(duì)稱的束縛解,做變換

其中L(r,z),Q(z),P(z)為關(guān)于變量r,z的函數(shù).可分離方程(21)r→∞的漸近解形式,得到

ξ～V＇(R)=0 的情形可忽略勢(shì)能項(xiàng)V(R),通過令

并做變量代換ρ(r,z)=和τ=ρ2,方程(23)化為廣義拉蓋爾常微分方程:

對(duì)于ξ(R)0 的自旋-軌道耦合非退化情形,欲求方程組(15)和(16)的傳播解我們仿照ξ(R)=0 情形中對(duì)方程(17)處理,首先分離a(r,z)和b(r,z)的沿z軸的傳播因子 eikz,并做傍軸近似,得到軸對(duì)稱徑向束縛函數(shù)a＇(r,z)和b＇(r,z)滿足的方程:

其中,a=eikza＇,b=eikzb＇,由于中心力場(chǎng)的勢(shì)能項(xiàng)V不再是常值以及自旋-軌道耦合項(xiàng)ξ的存在,方程(17)的分離變量條件(24)和(25)并不能使方程組(28)和(29)分離變量,自旋-軌道耦合項(xiàng)ξ導(dǎo)致a(r,z)和b(r,z)耦合,而勢(shì)能項(xiàng)V和耦合項(xiàng)ξ則都導(dǎo)致分離變量的方法不再適用.即使忽略自旋-軌道耦合項(xiàng)ξ的效應(yīng),自由粒子情況的渦旋解也會(huì)被勢(shì)能修正,不再是嚴(yán)格的高斯-拉蓋爾型渦旋,原則上其解依然具有渦旋波的特征,等相面具有近似螺旋面的形狀,在遠(yuǎn)離z軸的區(qū)域,波幅迅速衰減.自旋-軌道耦合項(xiàng)ξ的存在使得泡利方程的二分量旋量的兩個(gè)自旋分量是分別具有相差 ? 的軌道角動(dòng)量取值的渦旋波,體系的波函數(shù)為自旋波函數(shù)與渦旋波函數(shù)的糾纏態(tài),可以視為渦旋波的旋量推廣,相較于無自旋-軌道耦合的系統(tǒng)旋量渦旋波函數(shù)有更復(fù)雜的結(jié)構(gòu).為展示這種結(jié)構(gòu),可以借助方程(17)的渦旋波解形式,對(duì)方程組(28)和(29)中的勢(shì)能項(xiàng)V和耦合項(xiàng)ξ進(jìn)行微擾分析,將勢(shì)能項(xiàng)V和耦合項(xiàng)ξ視為微擾,零級(jí)近似就是拉蓋爾高斯渦旋解(27).

2.4 旋量渦旋波的微擾解

對(duì)a＇和b＇按勢(shì)能項(xiàng)V和耦合項(xiàng)ξ進(jìn)行微擾展開,勢(shì)能項(xiàng)V和耦合項(xiàng)ξ為零時(shí)的軸對(duì)稱束縛波函數(shù)記為零階波函數(shù),包含了V和ξ導(dǎo)致的軸對(duì)稱束縛波函數(shù)一階修正,則a＇=φ0+φ1和b＇=η0+η1,將其代入(28)式和(29)式,得到軸對(duì)稱束縛波函數(shù)的零階近似滿足的方程:

以及軸對(duì)稱束縛波函數(shù)一階修正滿足的方程:

其中(30)式、(31)式即為V=0 情形的方程(21),這兩個(gè)方程的解為拉蓋爾-高斯解[22-24]:

為渦旋半徑,zR=為瑞利半徑.

對(duì)于軸對(duì)稱束縛波函數(shù)一階修正的兩個(gè)方程,注意到其與零階近似的區(qū)別在于,零階近似的方程為微分算子

的齊次或者無源微分方程,而一階修正方程(32)和方程(33)則為其非齊次或者有源微分方程.非齊次微分方程的求解可以借助其微分算子的格林函數(shù)解得到.以方程(32)為例,注意到完整波函數(shù)與軸對(duì)稱束縛波函數(shù)的關(guān)系(12)式、(18)式和傍軸近似(20)式,可得完整波函數(shù)一階修正滿足的方程:

方程(37)事實(shí)上是一個(gè)非齊次Helmholtz 方程,其格林函數(shù)方程為

其中δ3(x-x＇)為δ函數(shù),δ3(x-x＇)=δ(x-x＇)×δ(y-y＇)δ(z-z＇).方程(37)的解可借助格林函數(shù)表示為

對(duì)于無界空間V,無窮遠(yuǎn)邊界條件為φ＇(x)→0 和G(x＇,x)→0,(40)式中表面?V上的積分沒有貢獻(xiàn).由此通過求解柱坐標(biāo)系中Helmholtz 算子的格林 函數(shù)G＇(x＇,x),可以得到的具體形式.

3 柱坐標(biāo)系中Helmholtz 方程的格林函數(shù)

在柱坐標(biāo)系中格林函數(shù)方程(39)化為

對(duì)(41)式兩端做φ,z變量的正交歸一函數(shù)展開,由

可得徑向格林函數(shù)gm(r,r＇)滿足的方程:

其中K為徑向波數(shù),即K2=k2-.當(dāng)rr＇時(shí),方程(45)有兩個(gè)線性獨(dú)立的解,第一類貝塞爾函數(shù) Jm(Kr)和第二類貝 塞爾函數(shù) Nm(Kr),對(duì)無界空間,gm(r,r＇)滿足r=0 處有限和r→∞處為零的邊條件,可得柱坐標(biāo)系中的格林函數(shù)解為[25]

其中r＜=min(r＇,r),r＞=max(r＇,r),K=.由(40)式得到

其中S＇=(2mV+lξ＇)φ0+.

拉蓋爾高斯型渦旋波φ0(34)式和η0(35)式軸對(duì)稱束縛部分依賴于量子數(shù)n和l,由于=1,因而n=0 時(shí)軸對(duì)稱束縛波函數(shù)在空間沒有節(jié)點(diǎn),對(duì)應(yīng)束縛基態(tài),取n=0,l=1 可得

4 渦旋結(jié)構(gòu)的數(shù)值分析

由(12)式,旋量波函數(shù)u的上分量為

從(47)式可以得到

因φ具有 eilφ的因子,是Lz本征值為l的本征態(tài),對(duì)(55)式進(jìn)行數(shù)值分析,可以得到軌道量子數(shù)l=1 時(shí),ρ為常數(shù)面與φ的等相面上相交出的螺旋線,見圖1;以及φ的螺旋等相位面,見圖2.

圖1 l=1 時(shí),常 ρ 曲面與 φ 的等相面上相交出的螺旋線(其中 ρ=r/W(z)為無量綱徑向坐標(biāo)參量,X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù) eilφ 相位變化 2π)(a)ρ=1曲面與 φ 的等相面交線;(b)ρ=2 曲面與 φ 的等相面交線Fig.1.Spiral line intersected by the equiphase φ=constant surface and ρ=constant surface in case of l=1,where ρ=r/W(z)is the dimensionless radial coordinate parameter and X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2).The phase increase of the rotation wave function eilφ is 2π for every periodic rotation of the helix in space.(a)The spiral line intersected by the equiphase φ=constant surface and ρ=1 surface;(b)the spiral line intersected by the equiphase φ=constant surface and ρ=2 surface.

根據(jù)得到旋量上分量φ的方法,可以得到中心力場(chǎng)下的電子沿z軸運(yùn)動(dòng)時(shí)的旋量下分量解為

式中

其中

取徑向量子數(shù)n=0 的束縛基態(tài)和l=1,由(56)式給出了旋量下分量等相面與常ρ面的螺旋線交線,見圖3 和圖4,以及η的等相位面,見圖5.

圖3 和圖4 顯示軌道量子數(shù)l＇=l+1=2 時(shí),旋量下分量等相面與等ρ面所交螺旋線分為兩條,而圖5 則更明確地表明,波函數(shù)螺旋等相面有兩支,這是因?yàn)棣粘跸辔贿x取有 2π 整數(shù)倍的不確定性,奇數(shù)倍和偶數(shù)倍選取就會(huì)導(dǎo)致相應(yīng)的笛卡爾坐標(biāo)X,Y反號(hào),因此導(dǎo)致了圖3、圖4 和圖5 中的一個(gè)等相位面分為兩支的情形.更一般地,對(duì)于一般l值,旋轉(zhuǎn)波函數(shù)因子 eilφ的初相位有 2π/|l|個(gè)可能取值,每個(gè)初相位取值確定等相位面的一支,每個(gè)固定相位,其等相面就分裂為|l|支.

圖3 z 取值從 -6到6 時(shí),旋量下分量等相面與 ρ=1.2 面所交出的渦旋線,其中 X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),ρ=r/W(z),波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù) ei(l+1)φ 相位變化 4πFig.3.Spiral line intersected by the spinor lower equiphase surface and the ρ=1.2 surface in case of the value of Z ranges from-6 to 6 ,where X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),ρ=r/W(z).The phase increase of the rotation wave function ei(l+1)φ is 4π for every periodic rotation of the helix in space.

圖5 中心力場(chǎng)中攜帶軌道角動(dòng)量的電子沿 z 軸傳播時(shí)其旋量下分量 η 的渦旋解等相面,所對(duì)應(yīng)的軌道量子數(shù)l+1=2,其中 X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ sin(φ/2),y=ρ cos(φ/2),ρ=r/W(z),波形每旋轉(zhuǎn)一周轉(zhuǎn)動(dòng)波函數(shù) ei(l+1)φ 相位變化 4πFig.5.Helical equiphase surface of the spinor lower component solution η when the electrons with orbital angular momentum propagate along z-axis in the central field and corresponding orbital quantum number is l+1=2,in which X=x/W(0),Y=y/W(0),Z=z/W(0),x=ρ×sin(φ/2),y=ρcos(φ/2),ρ=r/W(z).The phase increase of the rotation wave function ei(l+1)φ is 4π for every periodic rotation of the helix in space.

二分量旋量作為狄拉克旋量的非相對(duì)論極限在F-W 表象中是狄拉克旋量的上旋量,經(jīng)F-W 逆變換會(huì)將上下旋量糾纏起來,下旋量由上旋量給出,其在中心力場(chǎng)中的自旋渦旋糾纏態(tài)解,會(huì)使狄拉克旋量整體具有渦旋結(jié)構(gòu),這樣非相對(duì)論極限的渦旋解經(jīng)F-W 逆變換就可以給出相對(duì)論狄拉克旋量的渦旋解[15].

5 總結(jié)和展望

攜帶軌道角動(dòng)量的傳播電子態(tài)其波前呈現(xiàn)螺旋面結(jié)構(gòu),這種電子波首先在自由電子系統(tǒng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)的系統(tǒng)中被預(yù)言和研究,對(duì)于有自旋-軌道耦合的體系,我們將渦旋波的概念推廣到了具有二維旋量結(jié)構(gòu)的波函數(shù)中,這種攜帶總角動(dòng)量的渦旋電子波可以看成電子自旋態(tài)與軌道渦旋態(tài)的糾纏態(tài),是二分量旋量渦旋波,由狄拉克旋量與其非相對(duì)論極限二分量旋量的關(guān)系,討論了狄拉克旋量渦旋波可以經(jīng)由二分量旋量做F-W 逆變換來構(gòu)造.我們的研究從相對(duì)論情形還是非相對(duì)論極限兩個(gè)角度展示了有自旋-軌道耦合的體系中電子的旋量渦旋態(tài)的渦旋構(gòu)造.

二分量旋量渦旋波的求解過程中,發(fā)展了定態(tài)微擾論的思想,將其改造運(yùn)用到旋量渦旋波的求解中.軌道旋量波的求解借助了光學(xué)上的傍軸近似,這個(gè)近似實(shí)質(zhì)上是引入一個(gè)等效的束縛勢(shì),使得波函數(shù)的軸對(duì)稱因子呈現(xiàn)束縛態(tài)波函數(shù)性質(zhì).在旋量波函數(shù)的一階微擾論修正(32)式和(33)式求解過程中,為了數(shù)學(xué)上的方便,將傍軸近似恢復(fù)為嚴(yán)格形式.這相當(dāng)于撤去了軸對(duì)稱的束縛勢(shì),對(duì)于渦旋波的軸對(duì)稱束縛波函數(shù)的求解必然存在影響,但是由于格林函數(shù)解(40)的形式,零階軸對(duì)稱波函數(shù)的束縛解保證了一階微擾修正的束縛解性質(zhì),零階波函數(shù)借助了傍軸近似,其效應(yīng)通過格林函數(shù)解的表達(dá)式(40)傳遞給了軸對(duì)稱波函數(shù)的一階修正,在一階修正滿足的微分方程中撤去傍軸近似,對(duì)于解的渦旋結(jié)構(gòu)不構(gòu)成破壞.

對(duì)于自旋-軌道耦合的體系,選取了中心力場(chǎng)誘導(dǎo)的自旋-軌道耦合,具體求解了這種體系中的旋量渦旋波函數(shù)解,相比于高度理想化的自由電子和勻強(qiáng)磁場(chǎng)體系,具有自旋-軌道耦合的體系較有普適性,其旋量渦旋波比單純的軌道渦旋波有更高的穩(wěn)定性和實(shí)驗(yàn)上的可實(shí)現(xiàn)性.借助旋量渦旋波可以用來研究原子環(huán)境或者量子阱等微結(jié)構(gòu),也可以用來研究原子核環(huán)境中的帶軌道角動(dòng)量的中子和質(zhì)子現(xiàn)象,核勢(shì)能導(dǎo)致的自旋-軌道耦合使得中子和質(zhì)子旋量渦旋波具有較強(qiáng)的自旋波函數(shù)與軌道渦旋波函數(shù)的糾纏效應(yīng),這些渦旋波對(duì)于研究核勢(shì)能都是很好的探針.而且電子渦旋束有望在顯微鏡分析中帶來新的應(yīng)用,其中電子束的軌道角動(dòng)量有望提供有關(guān)樣品晶體、圖形、電子和磁性成分的新信息.電子顯微鏡將使人們能夠以原子或接近原子的分辨率繪制磁性信息,這便可以預(yù)期以螺旋電子波在電子顯微鏡和其他電子探測(cè)方面具有廣闊前景.此外電子渦旋態(tài)也與量子信息有關(guān),特別是電子渦旋可能被用來向玻色-愛因斯坦凝聚體中的渦旋傳遞角動(dòng)量.