閆凌浩，王曉茜，邵嘉琪，高超，劉娜

（長(zhǎng)春理工大學(xué) 物理學(xué)院，長(zhǎng)春 130022）

鬼成像是一種間接的成像方法，它通過(guò)空間強(qiáng)度相關(guān)性測(cè)量來(lái)獲取物體的信息，對(duì)比傳統(tǒng)成像來(lái)說(shuō)，具有抗噪聲能力強(qiáng)、高分辨率、突破衍射極限等優(yōu)勢(shì)，近些年來(lái)成為大家競(jìng)相研究的熱門(mén)問(wèn)題。1995年，Pittman等人［1］設(shè)計(jì)了糾纏雙光子成像，現(xiàn)在認(rèn)為糾纏雙光子成像的出現(xiàn)標(biāo)志著鬼成像技術(shù)的正式誕生。2005年，Valencia等人［2］提出了贗熱光源鬼成像，滿(mǎn)足了熱光源的空間漲落性質(zhì)。2008年，Shapiro提出了單光路鬼成像方案［3］，將其稱(chēng)為計(jì)算鬼成像。該方案利用計(jì)算機(jī)直接控制空間光調(diào)制器件，從而對(duì)光源實(shí)現(xiàn)調(diào)制，代替了傳統(tǒng)鬼成像系統(tǒng)中的參考光路，簡(jiǎn)化了鬼成像的成像系統(tǒng)。2010年，F(xiàn)erri等人［4］首次提出差分鬼成像方案。差分鬼成像是利用兩臂探測(cè)器的差分信號(hào)進(jìn)行關(guān)聯(lián)運(yùn)算，通過(guò)對(duì)差分信號(hào)的關(guān)聯(lián)運(yùn)算，可以有效地消除噪聲，大大提高了基于熱光源鬼成像系統(tǒng)的信噪比，首次將鬼成像技術(shù)應(yīng)用于弱吸收物體成像。2019年，Bornman N等人［5］提出了一個(gè)基于糾纏交換系統(tǒng)的鬼成像，為二維空間狀態(tài)在量子網(wǎng)絡(luò)中的隱形踹太提供了途徑，同年，Hodgman等人［6］構(gòu)建了高達(dá)五階的高階重構(gòu)圖像，并證明使用高階相關(guān)性可以在不影響分辨率的情況下提高圖像的可見(jiàn)性。2021年，Zhang N等人［7］提出了使用逐點(diǎn)方法的新的局部二元鬼成像，該方法可以補(bǔ)償二值化過(guò)程中信息丟失導(dǎo)致的成像質(zhì)量下降，與傳統(tǒng)鬼成像對(duì)比可以較好地重建目標(biāo)細(xì)節(jié)。

鬼成像技術(shù)發(fā)展一段時(shí)間之后，大多數(shù)學(xué)者都是以單一波長(zhǎng)的光源進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，直到2013年，Welsh［8-9］通過(guò)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行了多波長(zhǎng)壓縮重影成像的實(shí)驗(yàn)，得到了真實(shí)的多波長(zhǎng)高質(zhì)量重建，證明了鬼成像可以實(shí)現(xiàn)多波長(zhǎng)、多分量、全色的真實(shí)物體熒光形象。同年，曲阜師范大學(xué)的段德洋［10］實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了多波長(zhǎng)成像的彩色重構(gòu)明顯優(yōu)于單色圖像，而多波長(zhǎng)鬼成像除了對(duì)色彩重構(gòu)之外，多波長(zhǎng)鬼成像與光譜成像的結(jié)合也受到了學(xué)者們的關(guān)注，2014年，吳建榮等人［11］提出了基于相位調(diào)制的單次曝光壓縮感知成像，該方案具有較高的圖像獲取效率，但是會(huì)導(dǎo)致成像質(zhì)量大幅度降低。為了提高多光譜圖像的重建質(zhì)量，次年，該小組提出了基于先驗(yàn)圖像約束的多光譜壓縮感知（PICHCS）［12］，該方案在低采樣率低信噪比的條件下，能夠提高多光譜圖像的重建質(zhì)量，2017年，該小組提出了基于稀疏約束的鬼成像光譜相機(jī)［13］，但是該系統(tǒng)受探測(cè)器位置影響，會(huì)影響重構(gòu)圖像的光譜分辨率，為解決上述問(wèn)題，劉盛盈等人［14］提出了基于平場(chǎng)光柵的稀疏約束鬼成像高光譜相機(jī)，該方案可以實(shí)現(xiàn)分別調(diào)控光譜分辨率、空間分辨率以及信噪比，提高重構(gòu)圖像質(zhì)量。同年，劉震濤［15］提出了基于稀疏和冗余表象的鬼成像光譜相機(jī)，提高了光學(xué)成像系統(tǒng)的圖像信息獲取率。

光譜特征提取是從已經(jīng)得到的物體的原始光譜數(shù)據(jù)中除去多余的信息而保留有用的特征信息，一些傳統(tǒng)的特征提取方法，例如主成分分析法、邊界判別法等都是基于統(tǒng)計(jì)的特征提取方法，在使用這些方法時(shí)要求有足夠多的訓(xùn)練樣本作為保障，而本文以多波長(zhǎng)鬼成像的關(guān)聯(lián)函數(shù)為理論基礎(chǔ)，在理論上推導(dǎo)了可以利用鬼成像技術(shù)增強(qiáng)出某些特定波長(zhǎng)的光譜圖像，并且進(jìn)行了數(shù)值模擬以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，成功地證明了鬼成像技術(shù)是可以增強(qiáng)某些特定光譜的信息，解決了當(dāng)濾波器的帶寬過(guò)窄導(dǎo)致獲取光強(qiáng)較弱，使得有可能湮沒(méi)在噪聲當(dāng)中，導(dǎo)致無(wú)法獲取到相應(yīng)的信息的問(wèn)題。

1 理論分析

多波長(zhǎng)鬼成像系統(tǒng)需要物體的波長(zhǎng)信息，為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，使用多波長(zhǎng)的光源對(duì)物體進(jìn)行照射，此時(shí)光源中包含多個(gè)波長(zhǎng)的信息，而在探測(cè)臂，桶探測(cè)器的前端需要不同頻帶寬度的濾波片進(jìn)行濾波，從而獲得某些頻寬的光強(qiáng)，此時(shí)的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)可以表示為：

式中，IR(x,y)為CCD獲取的光強(qiáng)；IB為桶探測(cè)器的探測(cè)值

將獲取的信息通過(guò)上式計(jì)算就可以得到某個(gè)波長(zhǎng)的信息的光譜圖像，而對(duì)于光譜圖像來(lái)說(shuō)，往往希望光譜分辨率越高越好，也就是意味著此時(shí)的桶探測(cè)器前的濾波器的帶寬越窄越好，但如果濾波器的帶寬越窄，意味著獲取的總的光強(qiáng)值越弱，想要獲取的信息就有可能淹沒(méi)在噪聲當(dāng)中，因此本文試圖采用幾個(gè)寬帶濾波片，通過(guò)相應(yīng)的運(yùn)算，將其中某些窄帶的光譜圖像重構(gòu)出來(lái)。

實(shí)驗(yàn)中，采用投影儀作為實(shí)驗(yàn)光源，投影儀投射的光斑是黑白的散斑，此時(shí)所有波長(zhǎng)的強(qiáng)度信息基本相同，即：

桶探測(cè)器前面放置相應(yīng)的寬帶濾波片，把要測(cè)量的窄帶光譜信息的中心波長(zhǎng)記為λ1，λ2，…，λn，此時(shí)寬帶濾波片包含了相應(yīng)的波長(zhǎng)信息，首先考慮兩個(gè)寬帶濾波片的情況，分別為桶探測(cè)器1和桶探測(cè)器2，此時(shí)桶探測(cè)器1的光強(qiáng)信息可以寫(xiě)為：

將公式（3）和公式（2）代入公式（1）中，可以得到通過(guò)桶探測(cè)器1所獲得的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，即：

此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)，G(2)(x,y,λ1,λ2)是包含G(2)(λ1)+G(2)(λ2)的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)，這意味著鬼成像的重構(gòu)圖中應(yīng)該包含λ1和λ2的光譜信息，同理，通過(guò)桶探測(cè)器2可以得到的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)表示為：

這里希望通過(guò)兩個(gè)寬帶濾波片增強(qiáng)某些窄帶的信息，假設(shè)想要獲取到λ2的光譜信息，通過(guò)觀察式（4）以及式（5）可以發(fā)現(xiàn)，通過(guò)二階關(guān)聯(lián)函數(shù)很難分辨出λ2的光譜信息，接下來(lái)引用三階關(guān)聯(lián)函數(shù)來(lái)獲取相應(yīng)的光譜信息，此時(shí)三階關(guān)聯(lián)函數(shù)的表達(dá)形式為：

將式（2）和式（3）代入到式（6）中可以得到：

通過(guò)公式（7）可以發(fā)現(xiàn)，此時(shí)的三階關(guān)聯(lián)函數(shù)是關(guān)于λ1和λ3的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的重構(gòu)圖以及關(guān)于λ2的三階關(guān)聯(lián)函數(shù)的重構(gòu)圖，可以證明通過(guò)計(jì)算三階關(guān)聯(lián)函數(shù)可以有效地增強(qiáng)關(guān)于λ2的信息，也就意味著通過(guò)兩個(gè)寬帶濾波片可以增強(qiáng)中間某個(gè)窄帶的光譜信息。下面根據(jù)理論推導(dǎo)進(jìn)行數(shù)值模擬。

2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

基于以上理論和分析，證明了使用具有重合波段的寬帶濾波片代替窄帶濾波片進(jìn)行波長(zhǎng)篩選，通過(guò)計(jì)算三階關(guān)聯(lián)函數(shù)來(lái)重構(gòu)圖像，可以有效地增強(qiáng)重合波段的光強(qiáng)，也就是說(shuō)可以獲得更好的光譜圖像，接下來(lái)根據(jù)理論推導(dǎo)，進(jìn)行數(shù)值模擬。

首先，利用隨機(jī)散斑作為照明光源，將圖1、圖2、圖3作為待測(cè)物體，分別為具有三個(gè)不同中心波長(zhǎng)λ1、λ2和λ3的物體，為了方便計(jì)算，將所有的圖像都設(shè)為二值圖像，此時(shí)由于投射的散斑是黑白的，所以此時(shí)的波長(zhǎng)信息基本相同，然后利用隨機(jī)散斑作為照明散斑進(jìn)行數(shù)值模擬。

圖1 中心波長(zhǎng)為λ1的物體的二值圖像

圖2 中心波長(zhǎng)為λ2的物體的二值圖像

圖3 中心波長(zhǎng)為λ3的物體的二值圖像

根據(jù)公式（4）和公式（5）中的二階關(guān)聯(lián)函數(shù)的表達(dá)式，可以重構(gòu)出G(2)(x,y,λ1,λ2)和G(2)(x,y,λ2,λ3)的空間信息，如圖4、圖5所示。由圖4可以看出，此時(shí)的G(2)(x,y,λ1,λ2)完全恢復(fù)出了λ1和λ2的光譜圖像，但是此時(shí)這兩個(gè)圖像的強(qiáng)度基本一致，導(dǎo)致沒(méi)有辦法區(qū)分這兩個(gè)圖像的差異，并且對(duì)于這兩個(gè)待測(cè)物體的圖像原本是二值圖像，而重構(gòu)出來(lái)的圖像變成了灰度圖像，這是由于公式（4）中會(huì)有一項(xiàng)(c1+A)B的背景像，由于該背景像的存在，導(dǎo)致重構(gòu)圖像變得不清晰。圖6為二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(2)(x,y,λ2,λ3)的重構(gòu)圖，此時(shí)可以發(fā)現(xiàn)圖5中重構(gòu)出來(lái)的是λ2和λ3的光譜圖像，此時(shí)兩個(gè)圖像的強(qiáng)度與圖4中圖像的強(qiáng)度基本一致，并且也會(huì)存在相同的背景像，從而導(dǎo)致圖像的可見(jiàn)度變?nèi)酰藭r(shí)可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)理論與數(shù)值結(jié)果符合得比較好。

圖4 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(2)(x ,y,λ1,λ2)的重構(gòu)圖

圖5 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(2)(x ,y,λ2,λ3)的重構(gòu)圖

為了能夠進(jìn)一步凸顯出λ2的光譜信息，進(jìn)一步模擬了三階函數(shù)的形式，如圖6所示，可以看出此時(shí)的三個(gè)圖像都可以在重構(gòu)圖中恢復(fù)過(guò)來(lái)，并且可以發(fā)現(xiàn)此時(shí)的三個(gè)圖像的灰度并不一致，其中λ2的光譜圖像的亮度最高，根據(jù)公式（7）可知，這是由于對(duì)于λ2的信息所獲取到的是三階關(guān)聯(lián)的信息，而對(duì)于λ1和λ3的光譜圖像的強(qiáng)度是明顯小于λ2的，并且λ1和λ3的光譜圖像的可見(jiàn)度也有差別，通過(guò)公式（7）可以發(fā)現(xiàn)G(2)(λ1)和G(2)(λ3)的系數(shù)與λ1和λ3的透過(guò)率有關(guān)，透過(guò)率越大，光譜圖像的可見(jiàn)度就越高。通過(guò)數(shù)值模擬可以清晰地發(fā)現(xiàn)，重合波段部分的圖像質(zhì)量明顯優(yōu)于二階重構(gòu)圖，也就是說(shuō)，采用多個(gè)寬帶濾波片可以增加重合波段的光強(qiáng)，并且可以使重合波段的重構(gòu)圖像的成像質(zhì)量效果更好。

圖6 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(3)(x ,y,λ1,λ2,λ3)的重構(gòu)圖

通過(guò)理論分析以及數(shù)值模擬可以證明如果想獲得較窄帶寬的光譜圖像，當(dāng)光強(qiáng)較小導(dǎo)致容易湮沒(méi)在噪聲當(dāng)中使得無(wú)法獲取圖像時(shí)，使用多個(gè)寬帶濾波片進(jìn)行波長(zhǎng)篩選，相對(duì)于窄帶濾波片，可以有效地增強(qiáng)想要得到的波段的信息，也就是說(shuō)可以獲取比較好的光譜圖像。

接下來(lái)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，基于以上的理論分析以及數(shù)值模擬，如圖7、圖8所示搭建實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

圖7 實(shí)驗(yàn)裝置圖

圖8 實(shí)驗(yàn)實(shí)物圖

為了更好地描述波長(zhǎng)的信息，選用中心波長(zhǎng)為450 nm、520 nm以及570 nm的窄帶濾波片作為待測(cè)物體，如圖9所示，區(qū)域1、2、3分別對(duì)應(yīng)中心波長(zhǎng)為450 nm、520 nm以及570 nm的窄帶濾波片，桶探測(cè)器1和桶探測(cè)器2前放置帶寬為400～532 nm以及500～600 nm的寬帶濾波片進(jìn)行波長(zhǎng)篩選，接下來(lái)利用計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)散斑作為實(shí)驗(yàn)照明圖樣，然后使用投影儀將照明圖樣投放到待測(cè)物體上，計(jì)算鬼成像的實(shí)驗(yàn)重構(gòu)圖如圖10、圖11所示，通過(guò)觀察實(shí)驗(yàn)重構(gòu)圖可以看出，圖中的中心波長(zhǎng)為420 nm以及520 nm的窄帶濾波片的重構(gòu)圖明顯比中心波長(zhǎng)為470 nm的窄帶濾波片的重構(gòu)圖的成像效果要好，而在圖12中，中心波長(zhǎng)為470 nm的窄帶濾波片的重構(gòu)圖成像效果明顯提高，相應(yīng)的其余兩個(gè)窄帶濾波片的重構(gòu)質(zhì)量有所下降，也就是說(shuō)成功地增強(qiáng)了中心波長(zhǎng)為470 nm的窄帶濾波片的信息，與理論分析和數(shù)值模擬的結(jié)果相符合。

圖9 實(shí)驗(yàn)待測(cè)物體

圖10 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(2)(x ,y,λ1,λ2)的重構(gòu)圖

圖11 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(2)(x ,y,λ2,λ3)的重構(gòu)圖

圖12 二階關(guān)聯(lián)函數(shù)G(3)(x ,y,λ1,λ2,λ3)的重構(gòu)圖

3 結(jié)論

本文以多波長(zhǎng)鬼成像中光譜增強(qiáng)的理論分析為基礎(chǔ)，通過(guò)數(shù)值模擬以及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，解決了當(dāng)想要獲得較窄帶寬的光譜圖像但由于光強(qiáng)太小容易被湮沒(méi)在噪聲中導(dǎo)致無(wú)法成像的問(wèn)題，并且在得到較窄帶寬的光譜圖像的同時(shí)可以增強(qiáng)特定頻寬的光譜圖像，發(fā)現(xiàn)通過(guò)鬼成像技術(shù)可以增強(qiáng)某些特定光譜的信息，為鬼成像技術(shù)與多光譜成像技術(shù)的結(jié)合奠定了基礎(chǔ)。