張平，孟品超，尹偉石

（長春理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，長春 130022）

反源問題是指通過遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)識別未知點(diǎn)源的某些參數(shù)，如位置和強(qiáng)度等，目前已成為醫(yī)學(xué)成像、環(huán)境污染、層析成像和天線合成等領(lǐng)域中的重要問題［1-2］。

研究單頻反源問題的一個(gè)難點(diǎn)是解的不唯一性，為此，人們通常需要對源施加額外的約束［3］。文獻(xiàn)［4］和其中的參考文獻(xiàn)給出了反源問題的穩(wěn)定性估計(jì)。目前求解單頻反源問題的方法主要有迭代法、直接采樣方法和貝葉斯方法等［5-6］。傳統(tǒng)方法在求解反演點(diǎn)源位置的問題時(shí)往往會(huì)限制點(diǎn)源之間距離［7-8］。此外，對于單頻的反源問題，在許多實(shí)際應(yīng)用中往往只能在有限孔徑情況下觀測點(diǎn)源位置［9］。

近年來，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法發(fā)展迅猛，能夠彌補(bǔ)信息的缺失，對非線性映射有著較好的逼近效果，一些學(xué)者將其用以求解反問題［10-12］。本文針對單頻聲波反源問題，構(gòu)建基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和門控思想的點(diǎn)源位置參數(shù)反演模型，利用單頻遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)，確定點(diǎn)源位置信息。

1 聲波反源問題

考慮在如下Helmholtz系統(tǒng)中通過遠(yuǎn)場模式u∞反演點(diǎn)源S的問題：

其中，δ表示Dirac分布，且N表示單極源的個(gè)數(shù)，為正整數(shù)；zj是單極源S的位置，這里，點(diǎn)源位置zj是互不相同的；λj表示單極源的強(qiáng)度，是一個(gè)標(biāo)量。反源問題是：給定單極源S的強(qiáng)度和固定頻率的遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)u∞，確定單極源S的位置。

2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

建立求解均勻介質(zhì)中固定頻率聲波點(diǎn)源位置反演問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。首先給出以下假設(shè)和定義：

假 設(shè)1：觀測方向d=(c os(α),sin(α))，觀 測角α均勻分布于觀測孔徑(α1,α2)，即：

其中，n為觀測方向個(gè)數(shù)。

因此，給定n個(gè)觀測方向，得到遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)：X=(x1,x2,...,xn)。為方便計(jì)算，將每個(gè)遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)xt=at+i·bt改寫成xt=(at,bt)T,t=1,2,...,n。這里i表示虛數(shù)單位。

定義1：假設(shè)點(diǎn)源的位置有如下形式：

其中，M=2N表示位置參數(shù)的個(gè)數(shù)。于是，可將利用均勻介質(zhì)中固定頻率的遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)u∞反演點(diǎn)源位置zj轉(zhuǎn)化為反演位置參數(shù)y=(y1,y2,…,yM)的問題。

定義 2：令A(yù)=(aij)為n×m維的矩陣，且B=(bij)為一個(gè)p×m矩陣，則矩陣運(yùn)算[A;B]表示矩陣拼接：

定義3：令A(yù)=(aij)，B=(bij)為n×m維矩陣，則定義：

定義4：令F為激活函數(shù)，A=(a1,a2,…,am)T為m維向量，則F(A)為一個(gè)m維向量：

下面利用可在時(shí)間維度上傳播信息且具有“記憶”功能的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建位置參數(shù)反演模型，反演點(diǎn)源的位置參數(shù)y=(y1,y2,…,yM)。

2.1 構(gòu)建模型

構(gòu)建一個(gè)位置參數(shù)反演模型，其結(jié)構(gòu)如圖1所示，分為特征提取和參數(shù)反演兩部分。

圖1 位置參數(shù)反演模型

用st表示t時(shí)刻提取的遠(yuǎn)場特征，t=1,2,...,n，隨機(jī)初始化s0。構(gòu)造映射F:Rm×2×R2→Rm×2，對st-1和xt進(jìn)行特征提取，并將其記作st=F(st-1,xt),t=1,2,…,n。其中st=(ht,ct),ht=(h1t,h2t,…,hmt)T，ct=(c1t,c2t,…,cmt)T，ht為t時(shí)的短時(shí)遠(yuǎn)場特征，ct為t時(shí)的長期遠(yuǎn)場特征，經(jīng)過n個(gè)時(shí)間步后可得X的遠(yuǎn)場特征：C=sn。

圖2給出了映射F中變量之間的關(guān)系，為方便描述，本文令偏置為零向量，即b=(0 ,0,…,0)T。

圖2 映射F中的變量關(guān)系

其中，ft=σ(wf·[ht-1,xt])為遺忘門，決定保留多少ct-1中的信息并使其繼續(xù)傳播。類似的，輸入門it=σ(wi·[ht-1,xt]),決定zt中有多少信息保存到長期遠(yuǎn)場特征ct，輸出門ot=σ(wo·[ht-1,xt]),決定ct中有多少信息輸出到ht。tanh表示雙曲正切函數(shù)，σ為Sigmoid函數(shù)。wf,wi,wo,wz∈Rm×(m+2)分別表示遺忘門、輸入門、輸出門和候選向量的權(quán)重，[ht-1,xt]∈Rm+2，ot,ft,it,zt∈Rm。

至此，模型提取了遠(yuǎn)場特征C=sn=(hn,cn)，下面進(jìn)行參數(shù)反演。

與特征提取階段相似，在圖1參數(shù)反演階段，用ST=(HT,CT),表示T時(shí)的參數(shù)特征，T=1,2,…,M，其中HT∈Rm為短時(shí)參數(shù)特征，CT∈Rm為長期遠(yuǎn)場特征。初始化0=0，構(gòu)造映射L:Rm×2×R→Rm×2，將ST-1=(HT-1,CT-1)和位置參數(shù)T-1映射成，其計(jì)算過程如下：

因?yàn)镠T∈Rm，且∈R，因此本文通過一個(gè)輸出維度為1的全連接將HT反演為第T個(gè)位置參數(shù)=WDT·HT，其中WD∈Rm為與時(shí)間步T對應(yīng)的全連接權(quán)重。經(jīng)過M個(gè)時(shí)間步，可反演出全部M個(gè)位置參數(shù)。

2.2 模型參數(shù)更新方法

由于每個(gè)位置參數(shù)∈R，即“連續(xù)”，因此本文使用均方誤差作為損失函數(shù)E。

定義 3：令Yj為模型的真實(shí)輸出，為模型的預(yù)測輸出，定義損失函數(shù)為：

式中，J為樣本總數(shù)。

更新模型就是更新模型中的權(quán)重和偏置，用W表示模型中的權(quán)重wo,wf,wi,wz,Wo,Wf,Wi,Wz,WD，這里隨機(jī)初始化權(quán)重W(0)，然后利用Adam算法更新權(quán)重W(l)，l=1,2,…,n。更新規(guī)則如下：

其中，gl為損失函數(shù)相對于權(quán)重W的梯度矩陣；ql和rl分別為gl的一階和二階有偏矩估計(jì)，且q0,r0均初始化為零向量；ρ1，ρ2∈ [0,1)為矩估計(jì)的指數(shù)衰減速率；和l分別為修正的一階和二階矩估計(jì)；η為學(xué)習(xí)率；δ為數(shù)值穩(wěn)定常數(shù)。本文令ρ1=0.9，ρ2=0.999，η=10-2，注意在計(jì)算ΔW(l)時(shí)需對矩陣l和l逐個(gè)元素執(zhí)行相應(yīng)運(yùn)算，即。

至此，本文構(gòu)建了反演點(diǎn)源位置參數(shù)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，下面進(jìn)行數(shù)值實(shí)驗(yàn)說明該模型的有效性。

3 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

通過數(shù)值例子說明位置參數(shù)反演模型能夠解決有限孔徑和點(diǎn)源之間距離較小等限制的反源問題。

3.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

對于點(diǎn)源位置表達(dá)式：

將數(shù)據(jù)集劃分為訓(xùn)練集與測試集，其中測試集中樣本數(shù)據(jù)量固定為l=100，在測試集中隨機(jī)選取測試樣本。在模型訓(xùn)練過程中進(jìn)行批量訓(xùn)練，批量大小滿足1＜v＜J。

表1給出了模型所用超參數(shù)，這些參數(shù)是通過多次實(shí)驗(yàn)得到的。

表1 模型超參數(shù)

3.2 模型的魯棒性

實(shí)驗(yàn)一：遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)不加噪聲。

點(diǎn)源個(gè)數(shù)N=2時(shí)，令n=8，10和12，遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)無噪聲。為了比較位置反演的精度，表2列出了精確和預(yù)測的數(shù)據(jù)。反演位置參數(shù)的均方誤差如表3所示。

表2 兩個(gè)點(diǎn)源的位置反演效果

表3 參數(shù)反演的均方誤差

表2和表3說明：隨著觀測方向的增加，獲得的遠(yuǎn)場信息增多，損失函數(shù)減小，點(diǎn)源位置的反演效果提升。

點(diǎn)源個(gè)數(shù)N=3時(shí)，令n=15，16和 17，遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)無噪聲。為了比較位置反演的精度，表4列出了精確和預(yù)測的數(shù)據(jù)。反演位置參數(shù)的均方誤差如表5所示。

表4 三個(gè)點(diǎn)源的位置反演效果

表5 參數(shù)反演的均方誤差

表4和表5同樣說明：隨著觀測方向的增加，獲得的遠(yuǎn)場信息增多，損失函數(shù)減小，點(diǎn)源位置的反演效果提升。

實(shí)驗(yàn)二：遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)加噪聲。

在實(shí)際測量中遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)經(jīng)常含有一定的測量誤差，為說明模型在此種情形下的反演效果，本實(shí)驗(yàn)以兩個(gè)點(diǎn)源為例，取觀測點(diǎn)n=12，遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)含不同水平的高斯噪聲ε。為了比較位置反演的精度，表6列出了精確和預(yù)測的數(shù)據(jù)。反演位置參數(shù)的均方誤差如表7所示。

表6 遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)加噪聲的點(diǎn)源位置反演效果

表7 參數(shù)反演的均方誤差

由表6和表7可知，在使用含有乘性高斯噪聲的測量數(shù)據(jù)反演點(diǎn)源位置參數(shù)時(shí)，模型可較好地反演點(diǎn)源位置參數(shù)，這是因?yàn)樵摲椒ㄊ褂煤瑴y量誤差的遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)與真實(shí)位置參數(shù)進(jìn)行訓(xùn)練，逼近了二者之間的映射，進(jìn)而降低了測量誤差對反演效果的影響，該實(shí)驗(yàn)說明模型具有一定的魯棒性。

3.3 有限觀測孔徑

表8 有限觀測孔徑下的點(diǎn)源位置反演效果

表9 參數(shù)反演的均方誤差

由表8和表9可知：當(dāng)觀測方向數(shù)目不變時(shí)，隨著觀測孔徑的逐步縮小，觀測方向間的夾角減小，觀測到的遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)相似度上升，導(dǎo)致從遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)中獲得的點(diǎn)源位置信息減弱，使得位置參數(shù)的反演誤差增大，反演效果下降。

3.4 點(diǎn)源間距有限

表10 參數(shù)反演的均方誤差

4 結(jié)論

本文針對單頻遠(yuǎn)場信息反演點(diǎn)源位置的聲波反源問題，構(gòu)建了基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和門控思想的位置參數(shù)反演模型，反演點(diǎn)源的位置。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該模型反演效果良好，在噪聲干擾下模型具有一定的魯棒性和泛化性，點(diǎn)源之間距離的大小對該模型的反演結(jié)果影響較為微弱。三維立體空間中移動(dòng)點(diǎn)源位置的反演，是更有現(xiàn)實(shí)意義的問題，而近場問題涉及到精確度與更微觀層面的問題，這將是下一步的工作。