劉燕

1 研究背景

2022年的高考剛剛結(jié)束，一時(shí)間，全國高考數(shù)學(xué)試卷成為史上最難數(shù)學(xué)試卷的喊聲一片，作為一線高中數(shù)學(xué)教師，引起教師們思考的是2017年《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》頒布實(shí)施，明確提出了高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)，并且指出：“教材編寫要以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為宗旨”，“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”，“教材各個(gè)章節(jié)的設(shè)計(jì)要體現(xiàn)三個(gè)關(guān)注：關(guān)注同一主線內(nèi)容的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同主線內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，關(guān)注不同數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的通性通法、數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)內(nèi)容的展開應(yīng)循序漸進(jìn)、螺旋上升，使教材成為一個(gè)有機(jī)的整體．”2019年人教A版高中數(shù)學(xué)教材首次進(jìn)入高中，2022年是第一次使用這套教材的高中生參加高考，這中間是否有著密切聯(lián)系？基于此，本文試圖通過教材中滲透的高中數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)情況，給出數(shù)據(jù)分析報(bào)告．

2 研究方法

“教材編寫應(yīng)遵循‘教與學(xué)的規(guī)律，要有利于教師的教，要有利于學(xué)生的學(xué)”．因此，對(duì)高中生數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng)，必須要滲透到高中數(shù)學(xué)課程的四條主線與各個(gè)主題，滲透到每個(gè)章節(jié)的概念教學(xué)、命題教學(xué)和例題教學(xué)中，真正做到“通過高中數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能掌握邏輯推理的基本形式，學(xué)會(huì)有邏輯地思考問題；能夠在比較復(fù)雜的情境中把握事物之間的關(guān)聯(lián)，把握事物發(fā)展的脈絡(luò)；形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維品質(zhì)和理性精神，增強(qiáng)交流能力．”“必修課程為學(xué)生發(fā)展提供共同基礎(chǔ)．是高中畢業(yè)的數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試的內(nèi)容要求，也是高考的內(nèi)容要求．選擇性必修課程是供學(xué)生選擇的課程，也是高考的內(nèi)容要求．”為方便高中數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的教材分析研究，本文根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2017版）劃分的必修課程內(nèi)容范圍，從“預(yù)備知識(shí)”、“函數(shù)”、“幾何與代數(shù)”和“概率與統(tǒng)計(jì)”四個(gè)主題出發(fā)，選擇2019年秋季開始使用的高中數(shù)學(xué)新教材人教A版必修教材（即必修一、必修二）為研究對(duì)象，將新教材各個(gè)主題涉及“概念”的產(chǎn)生由來、“命題”的推出方式以及“例題”的解題方法所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)邏輯推理形式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析．

3 研究數(shù)據(jù)

高中數(shù)學(xué)邏輯推理包括合情推理和演繹推理，其中合情推理還分為歸納推理和類比推理．因此，為了研究的更加準(zhǔn)確到位，本文重點(diǎn)關(guān)注三個(gè)維度的數(shù)據(jù)，第一個(gè)維度是教材中通過歸納推理的方式得到的概念、推出的命題，通過歸納推理的方法解答的例題；第二個(gè)維度是教材中通過類比推理的方式得到的概念、推出的命題，通過類比推理的方法解答的例題；第三維度是教材中通過演繹推理的方式得到的概念、推出的命題，通過演繹推理的方法解答的例題．并將數(shù)據(jù)匯總成表格（限于篇幅，略去），同時(shí)將各種數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下統(tǒng)計(jì)表1．表1 四個(gè)主題中的概念、命題、例題所涉及的邏輯推理統(tǒng)計(jì)

表1比較直觀地展現(xiàn)“預(yù)備知識(shí)”、“函數(shù)”、“幾何與代數(shù)”、“概率與統(tǒng)計(jì)”的概念、命題和例題中所蘊(yùn)含的高中數(shù)學(xué)邏輯推理的基本情況．

（一）表1數(shù)據(jù)顯示，“預(yù)備知識(shí)”主題中絕大多數(shù)“概念”的提出方式是歸納推理，類比推理第二；“命題”的提出方式以類比推理為主，歸納推理為輔；“例題”的解題方法卻是以演繹推理占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)．而從百分比的數(shù)據(jù)說明，歸納推理的推理形式在“概念”的學(xué)習(xí)過程中被廣泛使用，而類比推理的推理形式在“命題”的提出方面得到一致認(rèn)同，當(dāng)然也可以看出，人教A版新教材的編寫過程中，普遍采用類比的方法，通過學(xué)生已經(jīng)掌握的性質(zhì)和定理來推出類似的沒有學(xué)過的命題，從而應(yīng)用知識(shí)的遷移，很好地解決了學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的難點(diǎn)問題；而對(duì)于“例題”的解題方法卻全部采用了演繹推理，也說明“預(yù)備知識(shí)”主題的“例題”運(yùn)用邏輯推理解題過程中，運(yùn)用演繹推理的解題方法占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)．

（二）表1數(shù)據(jù)還顯示，“函數(shù)”主題“概念”的提出方式以歸納推理占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)；“命題”的推出方式卻是以歸納推理、類比推理和演繹推理并重的方式呈現(xiàn)；而“例題”的解題方法又是以演繹推理為主，類比推理為輔的方式．另外，從百分比的數(shù)據(jù)說明，歸納推理確實(shí)是“概念”由來的最為重要的推理方式；但是，歸納推理、演繹推理和類比推理在“命題”的推出方式中基本上不相上下；而演繹推理依然是“函數(shù)”主題中重要的解題方法，類比推理占據(jù)第二位．這些數(shù)據(jù)也可以說明，“函數(shù)”主題中的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)得到均衡的發(fā)展．

（三）表1數(shù)據(jù)還顯示，“幾何與代數(shù)”主題中“概念”的提出方式也是以歸納推理為主，類比推理為輔；而“命題”的推出卻是以歸納推理方式占據(jù)絕對(duì)的強(qiáng)勢(shì)地位；“例題”的解題方法以演繹推理方式占著絕大多數(shù)，這應(yīng)該與“幾何與代數(shù)”主題證明題所占比例較多有關(guān)．從百分比的數(shù)據(jù)說明，“幾何與代數(shù)”主題中“命題”的推出方式以歸納推理占絕對(duì)優(yōu)勢(shì)（94.12%），“例題”的解題方法以演繹推理占主導(dǎo)地位（93.02%），因此，“幾何與代數(shù)”主題是培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的重要載體．

（四）表1數(shù)據(jù)還顯示，“概率與統(tǒng)計(jì)”主題中“概念”的提出是以歸納推理為唯一方式，“命題”的推出方式也是以歸納推理為唯一方式，而“例題”的解題方法卻是以演繹推理為唯一方式．從百分比的數(shù)據(jù)說明，歸納推理是“概率與統(tǒng)計(jì)”主題中“概念”和“命題”最佳選項(xiàng)，演繹推理是“例題”解答的唯一方法．細(xì)細(xì)品位，這樣的統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果應(yīng)該也是理所當(dāng)然的，是與“概率與統(tǒng)計(jì)”主題的內(nèi)容特征相吻合的．

4 研究結(jié)論

4.1 比較分析

將四個(gè)主題中涉及到的概念的由來、命題的推出、例題的解題方法所包含的邏輯推理方式的梳理情況進(jìn)行比較分析，繪制成表2和圖1，如下所示：

通過上面圖表可以看出兩個(gè)特點(diǎn)：首先，四個(gè)主題在提出“概念”時(shí)采用最多的、最主要的數(shù)學(xué)邏輯推理方式是歸納推理，其使用率遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于其他兩種邏輯推理方式之和，這應(yīng)該是人教A版新教材的一大特色，這一點(diǎn)應(yīng)該說與舊教材有著顯著的差異．其次，“概念”提出的輔助邏輯推理方式是類比推理，這一點(diǎn)與舊教材中大量采用演繹推理的方式也有著明顯的差異．

通過上面圖表可以看出：歸納推理也是四個(gè)主題中“命題”推出的主要邏輯推理方式，其中“幾何與代數(shù)”、“概率與統(tǒng)計(jì)”中的“命題”以歸納推理推出的方式更是達(dá)到絕對(duì)優(yōu)勢(shì)．當(dāng)然，也應(yīng)當(dāng)注意到，“預(yù)備知識(shí)”主題的“命題”提出應(yīng)用類比推理最多，究其原因，分析新教材可以看出，“預(yù)備知識(shí)”主題中主要知識(shí)點(diǎn)是以義務(wù)教育階段的課程內(nèi)容為基礎(chǔ)，類比學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)推出高中要學(xué)習(xí)的新知識(shí)，重點(diǎn)突出了知識(shí)的遷移性，從而為初高中數(shù)學(xué)知識(shí)銜接做好了知識(shí)儲(chǔ)備和方法儲(chǔ)備．

通過上面圖表可以看出：演繹推理在四個(gè)主題的“例題”解題方法上占有絕對(duì)優(yōu)勢(shì)，尤其在“概率與統(tǒng)計(jì)”、“預(yù)備知識(shí)”、“幾何與代數(shù)”主題中的表現(xiàn)尤為突出，應(yīng)該說，這個(gè)結(jié)論與“例題”的解題特性還是相符合的．而“函數(shù)”主題中的“例題”同樣也以演繹推理為主，但以類比推理為輔．

4.2 主要結(jié)論

通過對(duì)人教A版新教材中四個(gè)主題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的統(tǒng)計(jì)分析，可以得到如下結(jié)論：

4.2.1 凸顯深度融合

凸顯數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的內(nèi)容與人教A版高中數(shù)學(xué)必修新教材的各個(gè)主題深度融合．通過上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的內(nèi)容滲透在必修教材的四個(gè)主題中，四個(gè)主題中概念的由來、命題的推出和例題的解題方法都必須使用數(shù)學(xué)邏輯推理．從這個(gè)維度看，這些數(shù)據(jù)分析也充分體現(xiàn)了人教A版新教材展現(xiàn)出來的一個(gè)新的教學(xué)理念，即：當(dāng)進(jìn)入高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，就必須立即著手培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理概念、方法、語言和能力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)，符合課標(biāo)中“數(shù)學(xué)教材為‘教與‘學(xué)活動(dòng)提供學(xué)習(xí)主題、基本線索和具體內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)重要的教學(xué)資源．”達(dá)到了“教材編寫要以發(fā)展學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為宗旨”的目的，當(dāng)然，這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)對(duì)高中學(xué)生全面發(fā)展的重要性．2022年全國新高考Ⅰ卷第4題以我國的重大建設(shè)成就“南水北調(diào)”工程為背景、全國甲卷文理科第2題以社區(qū)環(huán)境建設(shè)中的“垃圾分類”為背景、全國乙卷文理科第19題以生態(tài)環(huán)境建設(shè)為背景、全國新高考Ⅱ卷第19題以流行疾病調(diào)查為背景、全國乙卷理科第4題以嫦娥二號(hào)衛(wèi)星深空探測(cè)為背景，都充分體現(xiàn)了多學(xué)科、多知識(shí)點(diǎn)深度融合的高考命題趨勢(shì)． 4.2.2 凸顯學(xué)科特點(diǎn)

凸顯人教A版新教材中歸納推理和類比推理的占比明顯放大的趨勢(shì)，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)．作為一線高中數(shù)學(xué)教師都可以深切感受到，在原有的高中數(shù)學(xué)教材中，采用演繹推理方式引入概念和命題是隨處可見的，但在教學(xué)過程中也可以明顯知道，這種引入方式與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律是有一定的沖突的，因此，對(duì)教師的課堂教學(xué)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)帶來不少困擾，也導(dǎo)致了不利于教師教學(xué)和學(xué)生自學(xué)的現(xiàn)象．人教A版新教材中，在提出新概念和推出新命題之前，新教材都精心挑選了大量的案例來展現(xiàn)這個(gè)新的知識(shí)點(diǎn)，揭示知識(shí)的產(chǎn)生背景和形成過程，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的創(chuàng)造、發(fā)現(xiàn)和發(fā)展特點(diǎn)，可以讓學(xué)生應(yīng)用歸納推理和類比推理的方式就可以推出這個(gè)新概念或新命題．正是這種不同以往的數(shù)學(xué)新知識(shí)、新內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，為學(xué)生提供了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和探究的一般方法和有效途徑，并以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，滲透著學(xué)生縝密思維、嚴(yán)格推理的數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，縱觀2022年的數(shù)學(xué)高考試題，全國數(shù)學(xué)新高考Ⅱ卷第3題以中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)為背景，全國甲卷理科第8題取材于我國古代科學(xué)家沈括的名著《夢(mèng)溪筆談》，讓學(xué)生直觀感受我國古代科學(xué)家探究問題和解決問題的過程，也讓學(xué)生領(lǐng)略中華民族的智慧和數(shù)學(xué)研究成果，進(jìn)一步樹立民族自信心和自豪感，培育愛國主義情感，其實(shí)都是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)的再呈現(xiàn)． 4.2.3 凸顯協(xié)調(diào)發(fā)展凸顯歸納推理、類比推理和演繹推理協(xié)調(diào)發(fā)展的態(tài)勢(shì)．通過上述數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析，可以發(fā)現(xiàn)，新教材中“概念”的提出方式是以歸納推理所占比例最高，類比推理第二，當(dāng)然也有部分以演繹推理的方式呈現(xiàn)，從而體現(xiàn)出新“概念”的提出方式的層次性；新教材中“命題”的推出方式仍然是以歸納推理所占比例最高，類比推理第二，也有少部分以演繹推理的方式推出，從而體現(xiàn)出新“命題”推出的思想性；“例題”因?yàn)楸旧淼奶攸c(diǎn)就是計(jì)算題和證明題的類型為主，所以解題方法中演繹推理占據(jù)主導(dǎo)地位，部分題目類比推理為輔，歸納推理只有在很少的“例題”中使用，從而體現(xiàn)出“例題”解題方法的思維的縝密性，同樣研究2022年數(shù)學(xué)高考試卷可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)邏輯推理素養(yǎng)的考查隨處可見，可以說歸納推理、類比推理、演繹推理的考查得到了淋漓盡致的展現(xiàn)．

綜上所述，數(shù)學(xué)邏輯推理在人教A版新教材中的內(nèi)容呈現(xiàn)方式上，出現(xiàn)了數(shù)學(xué)邏輯推理核心素養(yǎng)的內(nèi)容與高中數(shù)學(xué)必修教材的四個(gè)主題深度融合的現(xiàn)象，凸顯歸納推理、類比推理占比明顯放大，歸納推理、類比推理和演繹推理協(xié)調(diào)發(fā)展的良好態(tài)勢(shì)．從這個(gè)角度上看，新教材的這種變化其實(shí)正體現(xiàn)了新課標(biāo)的要求，也對(duì)一線數(shù)學(xué)教師的教學(xué)方法、教學(xué)水平、教學(xué)手段、教學(xué)設(shè)計(jì)提出了更新的要求，2022年全國高考數(shù)學(xué)試卷的難度、命題的角度也對(duì)一線數(shù)學(xué)教師指明了方向，唯有適應(yīng)新課標(biāo)、新教材、新高考，迎接新挑戰(zhàn)，才能為學(xué)生提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，應(yīng)對(duì)高校選拔打開一片新天地．