孟東東 周先春 王文艷 楊傳兵 汪志飛 吳曉慧

（1.南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 南京 210044）（2.南京信息工程大學(xué)人工智能學(xué)院 南京 210044）

1 引言

在圖像去噪研究過(guò)程中，目前常用的傳統(tǒng)去噪算法是偏微分方程圖像去噪。偏微分方程算法通過(guò)圖像本身鄰域像素點(diǎn)之間的關(guān)系建立數(shù)學(xué)方程模型，并求出方程最優(yōu)解獲得去噪圖像。但低階偏微分方程ID［1］、PM［2］、TV［3］模型會(huì)產(chǎn)生邊緣模糊或“階梯效應(yīng)”。有學(xué)者為避免邊緣模糊提出將水平集曲率和梯度作為模型中的邊緣檢測(cè)因子，加強(qiáng)邊緣銳化［4］。有學(xué)者提出四階偏微分方程YK［5］模型。四階偏微分方程雖然能抑制“階梯效應(yīng)”的產(chǎn)生［6］，但會(huì)產(chǎn)生“斑點(diǎn)效應(yīng)”。對(duì)此，研究人員在偏微分方程模型上不斷改進(jìn)以提升去噪性能。文獻(xiàn)［7］在各向異性濾波中提出新的擴(kuò)散系數(shù)；文獻(xiàn)［8］利用時(shí)間-分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)順序控制時(shí)間分?jǐn)?shù)擴(kuò)散方程的擴(kuò)散過(guò)程；文獻(xiàn)［9］將BM3D和偏微分方程結(jié)合，避免人為效應(yīng)和偏置效應(yīng)；文獻(xiàn)［10］將二階、四階偏微分方程模型結(jié)合（MBM模型）以實(shí)現(xiàn)將其各自的優(yōu)點(diǎn)相結(jié)合并規(guī)避其各自的缺點(diǎn)；文獻(xiàn)［11］通過(guò)全局稀疏梯度模型（GSG）解決傳統(tǒng)梯度算子對(duì)噪聲敏感導(dǎo)致偽像的問(wèn)題；文獻(xiàn)［12］建立梯度和曲率雙驅(qū)動(dòng)函數(shù)，并將雙驅(qū)動(dòng)函數(shù)引入TV模型以提高圖像去噪性能；文獻(xiàn)［13］將偏微分方程去噪的先驗(yàn)知識(shí)和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練相結(jié)合，以訓(xùn)練出去噪性能更好的去噪模型。

本文所提出新模型在二階和四階偏微分方程混合使用中利用隱式曲率構(gòu)造自適應(yīng)權(quán)重函數(shù)控制兩類(lèi)偏微分去噪時(shí)比例，有效避免邊緣模糊和“階梯效應(yīng)”的同時(shí)進(jìn)一步保護(hù)圖像細(xì)節(jié)特征和邊緣細(xì)節(jié)。

2 相關(guān)算法理論

假設(shè)圖像的噪聲模型為

式中：u0(x，y)是含噪圖像，u(x，y)是原始圖像，n(x，y)是高斯噪聲。

2.1 ID模型

ID去噪模型如式（2）所示：

式中：λ是拉格朗日乘子，?表示梯度。

由于各向同性擴(kuò)散去噪模型擴(kuò)散系數(shù)是1，所以擴(kuò)散在所有方向是相同的，這雖然能夠去除噪聲，但會(huì)導(dǎo)致邊緣模糊。

2.2 PM模型

Perona和Malik提出了各向異性擴(kuò)散模型［14］，Weickert［15］使用能量函數(shù)得PM模型：

因?yàn)樵谑剑?）中不能保證解的唯一性，所以PM模型是一個(gè)病態(tài)模型，當(dāng)噪聲和邊緣具有相同梯度時(shí)，PM去噪效果不佳。

2.3 TV模型

TV去噪模型：

式中：λ控制保真項(xiàng)和正則化之間的權(quán)衡［16］。TV模型具有良好的邊緣保持和圖像平滑性能，但在平滑區(qū)域會(huì)產(chǎn)生“階梯效應(yīng)”。

2.4 高斯曲率濾波

高斯曲率濾波是曲率濾波［17～19］中最常用濾波方式之一，通過(guò)假設(shè)原始圖像構(gòu)成的曲面是分塊可展的，達(dá)到邊緣保護(hù)的作用。

高斯曲率能量公式：

式中：E是總能量，EΦd是數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)，用于度量返回圖像U和輸入圖像I的匹配程度，EΦr是正則能量項(xiàng)，λ是正則能量的權(quán)重。

3 新模型

為解決二階偏微分方程圖像去噪時(shí)產(chǎn)生的階梯效應(yīng)，考慮到四階偏微分方程在圖像光滑區(qū)域消除階梯效應(yīng)的能力，本文提出基于8-鄰域和隱式曲率的多階偏微分方程混合去噪方法，利用8-鄰域和隱式曲率構(gòu)造權(quán)重函數(shù)去控制兩類(lèi)方程在圖像去噪時(shí)的比例，實(shí)現(xiàn)二階偏微分方程和四階偏微分方程的自適應(yīng)調(diào)整去噪，將其各自?xún)?yōu)點(diǎn)最大化。

式中：?是梯度算子，||?u是梯度u的模，u是原圖像，u0是含噪圖像，w、β、δ、α是權(quán)重函數(shù)。λ是保真項(xiàng)控制函數(shù)，g(||?u)是擴(kuò)散函數(shù)。

其中u、ρ是以圖像梯度和拉普拉斯算子為自變量的函數(shù)：

式中：L1、L2、L3、L4是固定值。

式中：q是固定值，ν是圖像某一中心元素及其8-鄰域元素的均方差，d是中心元素到8-鄰域元素切平面的最小距離。本文為了保護(hù)圖像的邊緣信息，通過(guò)直接調(diào)整各點(diǎn)像素值使其位于8-鄰域像素的切平面去滿(mǎn)足分段可展的假設(shè)，實(shí)現(xiàn)隱式使用圖像曲率信息，并采用最小距離原則，在8-鄰域像素組成的切平面中，尋找與當(dāng)前中心像素距離最近的面，對(duì)像素進(jìn)行調(diào)整。避免顯示計(jì)算圖像曲率所需圖像二階可微的條件，達(dá)到減少計(jì)算復(fù)雜度的作用［20］。式（11）中：k為門(mén)限閾值，用于區(qū)分平坦區(qū)域和邊緣。

為了更好使用圖像曲率信息，新模型選用8-鄰域?yàn)樽钚∏忻鏄?gòu)造區(qū)域并使用半窗切平面組合和最小三角切平面組合作為基礎(chǔ)投影算子，將8-鄰域分成4種半窗三角切平面和4種最小三角切平面；使用局部方差作為區(qū)分邊緣和平坦區(qū)域的邊緣檢測(cè)因子。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

利用Matlab仿真軟件進(jìn)行噪聲去除分析，驗(yàn)證新模型的可靠性，本文采用峰值信噪比（PSNR）、平均絕對(duì)誤差（MAE）、結(jié)構(gòu)相似性（SSIM）指標(biāo)去評(píng)價(jià)去噪效果，與PM、TV、ID、MBM模型進(jìn)行對(duì)比。

PSNR定義如式（12）所示：

式中：u(x，y)代表原始圖像，u′(x，y)代表去噪后圖像，m、n分別代表圖像尺寸中的行數(shù)和列數(shù)。峰值信噪比PSNR越大越好。

MAE定義如式（14）所示：

MAE是絕對(duì)誤差的平均值，其值越小表示與原始圖像的偏差越小，圖像質(zhì)量越好。

SSIM定義如式（15）所示：

式中：ux和uy分別是樣本x和y的均值，σx2和σy2是樣本x和y的方差，σxy是樣本x和y的協(xié)方差。c1和c2是常數(shù)用來(lái)避免除零。結(jié)構(gòu)相似性SSIM∈（0-1），去噪后圖像和原圖像越接近SSIM值越大。

圖1是ZX、Cameraman、Barbara的原圖，圖像像素分別為512×512、256×256、512×512。圖2是添加了標(biāo)準(zhǔn)差為20的高斯噪聲的ZX、Cameraman、Barbara含噪圖像。圖3～圖5是TV、PM、ID、MBM模型和新模型對(duì)圖2進(jìn)行去噪后得到的效果圖（圖像左上角均為局部細(xì)節(jié)放大圖）。

圖1 Lena、Cameraman、Barbara原圖

圖2 Lena、Cameraman、Barbara加噪圖

圖3 不同模型去噪效果圖

圖5 不同模型去噪效果圖

圖3（c）整體去噪效果較好，但棕熊鼻子處出現(xiàn)了邊緣模糊，這是因?yàn)镮D模型無(wú)法有效區(qū)分圖像邊緣和平滑區(qū)域，在平滑區(qū)域存在“過(guò)平滑”；從圖3（a）的整體上可以看出棕熊影子和地面以及防護(hù)欄和防護(hù)欄后面的樹(shù)木形成了明顯的“階梯效應(yīng)”；圖3（b）較圖3（a）、（c）在棕熊鼻子處的細(xì)節(jié)特征保護(hù)的更加完善，但在棕熊的嘴角處存在邊緣混疊，這與PM是病態(tài)的模型有一定的關(guān)系；圖3（d）中棕熊鼻子上方的輪廓較圖3（b）更加明顯；圖3（e）較圖3（d）不僅在棕熊鼻子上方輪廓更加清晰，而且鼻孔處的輪廓也更加明顯，這是因?yàn)樾履Ｐ屯ㄟ^(guò)圖像的細(xì)節(jié)信息構(gòu)造權(quán)重函數(shù)控制去噪時(shí)二階、四階偏微分方程比例，能充分利用圖像的細(xì)節(jié)信息，將二階、四階偏微分方程各自?xún)?yōu)點(diǎn)最大化。

觀察比較圖4中Cameraman面部和后方建筑物輪廓、圖5中Barbara頭巾?xiàng)l紋和手掌邊緣輪廓發(fā)現(xiàn)，新模型較其余4個(gè)模型對(duì)圖像邊緣結(jié)構(gòu)細(xì)節(jié)具有更好的保護(hù)作用。

圖4 不同模型去噪效果圖

本文中L1、L2、L3、L4分別取1/20、1/40、1/50、1/25，k=15，q=0.001。原始圖像加性噪聲參數(shù)分別為標(biāo)準(zhǔn)差為σ=15、20、25的高斯噪聲。

表1、2、3為 不 同 去 噪 模 型 的PSNR、MAE、SSIM。觀察表1、2、3，新模型較TV、PM、ID、MBM模型PSNR、SSIM值最大，MAE值最小。在σ=15、20、25時(shí)，ZX圖PSNR增 大0～1.7dB，SSIM提 升0.01～0.03，MAE降低0.06～2.56；Barbara圖PSNR增大0.27～0.95dB，SSIM提 升0.01～0.08，MAE降 低0.14～2.72；Cameraman圖PSNR增 大0.41dB～2.18dB，SSIM提升0.01～0.24，MAE降低0.43～3.53。

表1 不同去噪模型的PSNR

表2 不同去噪模型的MAE

新模型不僅有較好的PSNR、MAE、SSIM值，更能對(duì)于圖像邊緣結(jié)構(gòu)信息保護(hù)的更加完善，無(wú)論是從圖像去噪效果上看，還是從去噪性能對(duì)比上看，本文都具有更加理想的去噪性能。

5 結(jié)語(yǔ)

本文提出的新模型通過(guò)將二階、四階偏微分方程混合使用，規(guī)避某一種方程單獨(dú)去噪時(shí)會(huì)產(chǎn)生的缺點(diǎn)，將其各自的優(yōu)點(diǎn)最大化，并通過(guò)圖像中任意一中心元素及其8-鄰域像素的關(guān)系，將隱式使用的曲率作為邊緣檢測(cè)因子，實(shí)現(xiàn)偏微分方程根據(jù)圖像曲率信息自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重函數(shù)w，從而自適應(yīng)調(diào)整二階、四階偏微分方程的去噪比例。

表3 不同去噪模型的SSIM

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明新模型相較其他算法有較大改進(jìn)。新模型相較二階偏微分方程圖像去噪可以避免邊緣模糊和“階梯效應(yīng)”；相較四階偏微分方程圖像去噪可有效抑制“斑點(diǎn)效應(yīng)”；相較其他混合偏微分方程圖像去噪，新模型具有更好的PSNR、MAE、SSIM值。