石永康 黃少華 廖 潛 陳金山

(新疆大學(xué)機械工程學(xué)院 烏魯木齊 830017)

0 引言

分布于地球外層衛(wèi)星軌道的空間碎片占用軌道資源并對現(xiàn)役航天器造成極大威脅。2021 年3 月10 日美國已退役氣象衛(wèi)星NOAA17 發(fā)生解體，分裂成16 塊碎片，同年3 月18 日，中國氣象衛(wèi)星云海一號02 也在其軌道上發(fā)生解體，分裂成21 塊碎片。為有效利用空間資源，減少空間碎片密度及碰撞趨勢，空間碎片主動清除技術(shù)（Active Debris Removal,ADR）相關(guān)研究引起了廣泛關(guān)注[1]。

電磁消旋是基于法拉第電磁感應(yīng)定律和楞次定律的一種消旋制動方式。大部分空間碎片表面材料為非磁化金屬導(dǎo)體，在外加磁場的作用下，由于自身旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生表面渦電流，渦電流在原磁場的作用下產(chǎn)生與旋轉(zhuǎn)方向相反的制動力矩，使得旋轉(zhuǎn)速度逐漸降低，便于接觸式主動清除技術(shù)裝備對碎片進行抓捕[2]。國內(nèi)外學(xué)者對電磁消旋進行了大量理論推導(dǎo)和相關(guān)實驗研究。Gómez 等[3,4]對渦流進行分析，構(gòu)建了基于電磁張量的球殼模型消旋力矩表達(dá)式，針對非均勻磁場，加入有效因子對表達(dá)式進行修正，研究了不同線圈半徑和線圈—目標(biāo)重心距離下的消旋力及消旋力矩。Shi 等[5]基于第二代高溫超導(dǎo)技術(shù)，提出了超導(dǎo)式渦流消旋的概念，通過電磁張量建立了精確的磁場模型和渦流力矩模型，并對超導(dǎo)式渦流消旋的制動性進行定量分析，論證了超導(dǎo)式渦流消旋的技術(shù)水平和制動能力。Chu[6]基于球殼模型的消旋力矩公式，仿真分析了球殼模型轉(zhuǎn)速、表面材料電導(dǎo)率、外加磁場及球殼尺寸對消旋力矩的影響，得到各因素影響下消旋力矩的變化趨勢，但未通過有限元仿真進行驗證計算，且未考慮各因素取值下的消旋力矩公式的適用性。Sun[7]通過解析法得到線圈的最佳半徑、最佳安匝數(shù)及目標(biāo)之間的最佳作用距離，并通過有限元法進行了仿真驗證，但是未分析目標(biāo)本身尺寸、厚度等對消旋力矩的影響，且未將各因素與理論公式聯(lián)系進行分析。

綜上所述，目前對于電磁消旋技術(shù)的研究主要集中在消旋方案、地面消旋實驗裝置設(shè)計以及理論分析與數(shù)值分析方面。消旋目標(biāo)的尺寸和厚度對消旋力矩影響的相關(guān)研究較少。球殼模型消旋力矩解析式的適用性，以及單因素對球殼模型消旋力矩的影響與多因素對球殼模型消旋力矩的影響之間的關(guān)系，尚未見到相關(guān)研究。消旋力矩的影響因素分析是探究電磁消旋過程、提高消旋效果的關(guān)鍵，由于電磁場有限元方法具有計算精度高且能夠分析各種復(fù)雜形狀模型等優(yōu)勢，使用有限元方法對電磁消旋技術(shù)進行仿真分析具有重要意義。

1 電磁消旋原理及仿真模型驗證

1.1 電磁消旋原理

電磁消旋由線圈產(chǎn)生的磁場與旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體表面渦電流之間的相互作用力產(chǎn)生。電磁消旋廣泛應(yīng)用于高速列車的電磁制動過程中[8,9]。圖1 所示為旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體在磁場中感生出的渦電流及在磁場相互作用下產(chǎn)生的作用力。

圖1 電磁—渦流消旋概念Fig. 1 Damping by electromagnetic eddy currents

當(dāng)旋轉(zhuǎn)軸方向與磁場方向不平行，旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體置于磁場中時會切割磁感應(yīng)線產(chǎn)生渦流。旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體在原磁場和感生出的渦電流的相互作用下逐漸消旋[10]。

1.2 勻強磁場區(qū)域磁感應(yīng)強度

亥姆霍茲線圈可以營造出勻強磁場，如圖2 所示[11]。一對半徑為R的線圈相對放置，間距為a，兩線圈中心分別為O1和O2。因為線圈中所通電流方向一致，所以兩線圈產(chǎn)生的磁場方向一致，可以代數(shù)疊加，表現(xiàn)為圖2 中曲線所示的狀態(tài)。

圖2 亥姆霍茲線圈Fig. 2 Helmholtz coil

取線圈對的中心連線中點作為坐標(biāo)原點O，在軸上距O點x處 取任意點P，則P點到兩線圈中心的距離分別為x+a/2和x-a/2。 兩線圈在P點產(chǎn)生的磁場大小分別為

1.3 球殼消旋力矩解析式

電磁消旋目標(biāo)為失效衛(wèi)星、航天器爆炸產(chǎn)生的碎片、火箭上面級等，其形狀和尺寸大小不一，無法建立統(tǒng)一的幾何模型進行描述。此外，由于電磁消旋機理復(fù)雜，對于復(fù)雜幾何體的計算較為困難，因此選取結(jié)構(gòu)較為簡單的球殼模型作為研究對象。實際情況下也存在類似結(jié)構(gòu)，例如東方紅一號衛(wèi)星，在實際計算過程中可忽略其他結(jié)構(gòu)對消旋力矩產(chǎn)生的影響，只考慮衛(wèi)星蒙皮的消旋效應(yīng)。

勻強磁場中，球殼所受到的消旋力矩的解析式如下[3]：

其中，R′為 球殼外半徑（球殼半徑），e為 球殼厚度，σ為球殼材料的電導(dǎo)率，ω為球殼的旋轉(zhuǎn)角速度，B為球殼模型重心(Centre of Gravity, COG)位置的磁感應(yīng)強度。

當(dāng)球殼的旋轉(zhuǎn)軸為z軸，勻強磁場的方向指向y軸正向時，球殼的消旋力矩解析式可寫為

標(biāo)量形式為

1.4 二維亥姆霍茲線圈仿真模型及其有效性驗證

因MAXWELL 渦流場無法仿真固定磁場對旋轉(zhuǎn)目標(biāo)體的渦流阻力矩，參考文獻[12]在研究高速列車電磁制動時使用的動態(tài)磁場相對固定目標(biāo)的求解渦流分布的方法，在MAXWELL 渦流場中建立旋轉(zhuǎn)磁場，利用旋轉(zhuǎn)磁場對固定目標(biāo)的消旋力矩代替固定磁場對旋轉(zhuǎn)目標(biāo)產(chǎn)生的渦流阻力矩。

為建立旋轉(zhuǎn)磁場，設(shè)置兩組線圈對，相對的兩線圈通有大小相等、方向相同、初始相位角也相同的正弦交流電，相鄰的兩線圈對則通有大小相等、方向相反、初始相位角相差90°的正弦交流電[6]。在仿真過程中，相同尺寸線圈會產(chǎn)生幾何干涉而對計算結(jié)果產(chǎn)生影響，因此將一組線圈對的半徑和間距設(shè)置為2 m，給定初始的電流大小為123.8 A，將另一組線圈對的半徑和間距設(shè)置為2.1 m。為使兩組線圈對在O點處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強度相等，根據(jù)式(4)可計算出半徑為2.1 m的線圈中所通電流為130 A。在MAXWELL中建立的二維亥姆霍茲線圈仿真模型（線圈模型）和球殼仿真模型（球殼模型）如圖3 所示。

圖3 線圈模型和球殼模型Fig. 3 Finite element model of coil and spherical shell

球殼模型的內(nèi)半徑r=0.5 m，外半徑R′=0.51 m，則球殼的厚度e=0.01 m，材料為型號2A01 的鋁合金，電導(dǎo)率σ=2.32×107S·m—1，旋轉(zhuǎn)速度ω=(π/2)rad·s—1。

求解完成后，在球殼模型的Oxy截面上等角度選取10 個點，每點與圓心之間的距離為0.01 m，得到各點的磁感應(yīng)強度如表1 所示。

表1 中心區(qū)域磁感應(yīng)強度大小Table 1 Magnitude of magnetic flux density of the center area

磁感應(yīng)強度的平均值B=5.40×10—5T。將B=5.40×10—5T 代入式(7)，式(7)中的磁感應(yīng)強度為球殼穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)時重心(COG)處的磁感應(yīng)強度，因此可直接使用仿真得到的磁感應(yīng)強度平均值進行計算。得到消旋力矩的解析解T=1.506×10—4N·m，MAXWELL 仿真得到旋轉(zhuǎn)磁場對球殼消旋力矩的數(shù)值解T=1.442×10—4N·m，絕對誤差為4×10—7N·m，相對誤差為4.27%，小于5%，在誤差允許范圍內(nèi)。因此在MAXWELL 中建立的二維亥姆霍茲線圈仿真模型有效，可用于下一步的仿真實驗研究。

2 球殼模型消旋力矩分析

參考勻強磁場中球殼的消旋力矩解析式(7)可知，消旋力矩與球殼表面材料電導(dǎo)率、勻強磁場磁感應(yīng)強度、球殼的旋轉(zhuǎn)角速度、球殼半徑及球殼厚度相關(guān)。其中，勻強磁場磁感應(yīng)強度可通過改變線圈電流大小實現(xiàn)，如1.4 節(jié)所述，由于MAXWELL 電磁仿真軟件的限制，無法在渦流場中直接對球殼模型的旋轉(zhuǎn)角速度進行設(shè)置，因此通過設(shè)置線圈電流頻率的方法，間接設(shè)置球殼模型的旋轉(zhuǎn)角速度。

2.1 單因素對消旋力矩的影響

航天器在發(fā)射、返回以及空間中運行時，會受到多種因素的影響，造成表面材料變性、設(shè)備失效等問題，從而影響航天器的正常運行。因此材料的選擇對于航天器至關(guān)重要。常用的航天器材料為金屬鋁、鈦、鎂及其合金[13]。在不考慮溫度對金屬材料電導(dǎo)率影響的前提下，為研究材料對消旋力矩的影響，選取航天器常用的三種金屬材料及其系列合金[14]進行消旋力矩的影響實驗。由于不同金屬材料的導(dǎo)電性不同，可選用電導(dǎo)率作為影響因素進行球殼表面材料對消旋力矩影響的仿真實驗。MAXWELL 中具有豐富的材料庫，可直接選用MAXWELL 中各金屬材料默認(rèn)的電導(dǎo)率參數(shù)值。這里共選取32 組材料進行仿真實驗。

Tiesenhausen[15]提出使用通電線圈產(chǎn)生的磁場對旋轉(zhuǎn)目標(biāo)進行消旋，并研究了渦流效應(yīng)對航天器姿態(tài)的影響。為研究外加磁場對消旋力矩的影響，通過改變線圈電流大小進行外加磁場對球殼模型消旋力矩影響的仿真實驗。設(shè)定線圈電流的變化范圍為13～273 A，間隔為13 A。

近地軌道和地球同步軌道的空間碎片旋轉(zhuǎn)速度分別可達(dá)70(°)·s—1和400(°)·s—1[16]，在這種高速旋轉(zhuǎn)的情況下，對旋轉(zhuǎn)目標(biāo)直接進行抓取或采用接觸式消旋方案都具有極大的風(fēng)險，因此在實施抓捕前需對旋轉(zhuǎn)目標(biāo)進行非接觸式消旋。為研究同一線圈電流強度對高低速旋轉(zhuǎn)目標(biāo)的消旋效果，設(shè)定球殼模型的速度范圍為(π/2～20π) rad·s—1，間隔為(π/2) rad·s—1，對應(yīng)的電磁場頻率變化范圍為0.25～10 Hz，間隔為0.25 Hz。

對1.4 節(jié)仿真模型的勻強磁場區(qū)域進行分析，取圖3 中Oxz截面上的磁場分布，如圖4 所示。

圖4 勻強磁場云圖Fig. 4 Cloud map of uniform magnetic field

取圖3 坐標(biāo)系沿x軸方向上的磁感應(yīng)強度分布，如圖5 所示。其中，距坐標(biāo)系原點0.65 m 處的磁感應(yīng)強度B=5.3928×10—5T，坐標(biāo)系原點處的磁感應(yīng)強度B=5.4160×10—5T，差值為0.0232×10—5T，磁場均勻度小于0.5%，因此選取中心區(qū)域勻強磁場的范圍為±0.65 m。為研究球殼半徑對消旋力矩的影響，設(shè)定球殼模型的半徑變化范圍為0.25～0.65 m，間隔為0.05 m。

圖5 中心區(qū)域勻強磁場分布Fig. 5 Distribution of uniform magnetic field in the center area

為研究球殼厚度對消旋力矩的影響，仿真過程中，設(shè)定球殼模型的厚度變化范圍為1～40 mm，間隔為1 mm。

將以上條件賦予線圈模型和球殼模型，保持其他因素不變，分別得到各因素影響下，球殼模型的消旋力矩變化情況。為對比各因素對球殼模型消旋力矩的影響，將各影響因素橫坐標(biāo)值做歸一化處理，如圖6所示。

由圖6 可知，隨著球殼模型電導(dǎo)率的增加，消旋力矩呈現(xiàn)近似線性的增長關(guān)系。其原因是，電導(dǎo)率與球殼表面的電子遷移率成正比，并且球殼表面材料的電導(dǎo)率與電場強度之積為傳導(dǎo)電流密度，因此球殼表面渦電流與球殼表面材料電導(dǎo)率成正比。隨著線圈電流的增大，即隨著外加磁場的增大，球殼模型的消旋力矩增加，且增幅明顯。其原因是，隨著線圈電流的增大，線圈產(chǎn)生的磁場強度增大，由式(7)可知，球殼的消旋力矩與磁感應(yīng)強度的平方成正比，因此與其他因素相比，球殼的消旋力矩受線圈電流的影響較大。

圖6 各因素影響下的球殼模型消旋力矩變化情況Fig. 6 Variation trend of damping torque of spherical shell model under various factors

在確定的磁感應(yīng)強度下，球殼模型受到的消旋力矩隨著半徑的增大而增大，且增幅明顯。其原因是，隨著球殼半徑的增大，垂直于磁場方向的球殼各截面的面積將增大，且截面面積與其半徑的平方成正比。球殼旋轉(zhuǎn)過程中，各截面切割磁感應(yīng)線引起的磁通量變化增大，因此球殼表面感生出的渦電流增大，在相同磁場強度下，球殼受到的安培力增加，消旋力矩也增加。

隨著球殼模型厚度的增加，消旋力矩呈近似線性增長。其原因是，球殼厚度的增加使得球殼單位截面上電荷通量增加，且電荷通量Q與球殼厚度h之間滿足

因此整個球殼受到的安培力增加，消旋力矩也增加，但增幅逐漸放緩。由于球殼模型的厚度只選取了[0,R]上極小的一段，因此仿真曲線呈現(xiàn)近似線性增長。在本文仿真案例中，當(dāng)球殼模型的轉(zhuǎn)速小于20 rad·s—1時，消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速大于20 rad·s—1時，消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而逐漸減小。其原因可能是，在低速旋轉(zhuǎn)階段，隨著球殼轉(zhuǎn)速的提高，球殼各截面的磁通量變化率變大，因此消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而增大，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到臨界值時，球殼表面的渦流感應(yīng)電場明顯增強，降低了球殼所處位置磁場的大小，此時球殼的消旋力矩隨著轉(zhuǎn)速的增加而減小。

根據(jù)球殼重心(COG)處的磁感應(yīng)強度取值，結(jié)合式(7)，分別計算得到各因素影響下，球殼模型消旋力矩的理論值，并與仿真結(jié)果進行比較。將各影響因素的橫坐標(biāo)值做歸一化處理，得到各因素影響下，球殼模型消旋力矩仿真值與理論值之間的相對誤差，如圖7 所示。

由圖7 可知，在設(shè)定的仿真參數(shù)范圍內(nèi)，相對誤差受球殼半徑和厚度的影響最大；在球殼電導(dǎo)率、線圈電流（即外加磁場）、球殼旋轉(zhuǎn)角速度的變化影響下，相對誤差在4%附近。

圖7 各因素影響下的相對誤差Fig. 7 Relative error under the influence of each factors

球殼表面材料電導(dǎo)率、線圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)角速度影響下的相對誤差如圖8 所示。

由圖8 可知，球殼表面材料電導(dǎo)率、線圈電流影響下的相對誤差分布在4.2%～4.3%范圍內(nèi)，誤差變化小于0.1%；在球殼旋轉(zhuǎn)角速度影響下，相對誤差逐漸降低，誤差分布范圍為3.7%～4.3%。引起誤差的原因可能是仿真計算產(chǎn)生的累積誤差，由于其誤差變化幾乎可以忽略不計，且誤差分布范圍相對均勻，因此認(rèn)為球殼消旋力矩解析式可以較好地適應(yīng)這三種因素的變化。

圖8 電導(dǎo)率、線圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)速度影響下的相對誤差Fig. 8 Relative error under conductivity, coil current and the rotation speed of the spherical shell

為進一步分析在球殼的半徑和厚度影響下，球殼消旋力矩解析式的適用范圍，將球殼的內(nèi)半徑a設(shè)定為0.50 m，厚度范圍設(shè)置為1 ～40 mm，間距為1 mm，以球殼厚度h與 半徑R′之比為橫坐標(biāo)，球殼消旋力矩的仿真值與理論值之間的相對誤差（取絕對值）為縱坐標(biāo)，結(jié)果如圖9 所示。

圖9 球殼的厚度與半徑之比影響下的相對誤差Fig. 9 Relative error under the ratio of the shell thickness to the shell radius

由圖9 可知，隨著球殼厚度與球殼半徑的比值h/R′的增大，相對誤差呈近似線性變化，當(dāng)h/R′小于0.023 時，相對誤差在5%以內(nèi)。同時由圖9 可知，仿真驗證所用球殼厚度與半徑的比值h/R′為0.0196，接近0.023。由此可知，上述各組仿真實驗中，球殼消旋力矩的仿真值與理論值之間的誤差，除仿真計算引起的累積誤差之外，主要受球殼厚度和半徑的影響。

由圖8 和圖9 可知，球殼半徑或厚度單方面的增大都不是引起相對誤差增大的直接原因。在滿足勻強磁場的前提下，保證h/R′小于0.023，相對誤差可控制在5%以內(nèi)；當(dāng)h/R′大于0.023 時，現(xiàn)有的球殼消旋力矩解析式不再適用。

2.2 精確球殼消旋力矩解析式

當(dāng)球殼厚度h與球殼內(nèi)半徑r之比h/r ?1時，球殼外半徑R′和 球殼內(nèi)半徑r滿足[17]

則式(7)可寫為

將式(8) 作為新的球殼消旋力矩解析式，對圖7各因素影響下的相對誤差進行重新計算，計算結(jié)果如圖10 所示。同時，對圖9 球殼的厚度與半徑之比影響下的相對誤差進行重新計算，計算結(jié)果如圖11 所示。

圖10 各因素影響下的相對誤差Fig. 10 Relative error under the influence of each factor

圖11 球殼的厚度與半徑之比影響下的相對誤差Fig. 11 Relative error under the ratio of the shell thickness to the shell radius

由圖10 和圖11 可知，通過修正后的球殼消旋力矩解析式，計算得到的相對誤差基本在1%以下，與現(xiàn)有的球殼消旋力矩解析式相比，計算誤差更小。由圖11 可知，針對h/R′＞0.023 的球殼模型，修正后的球殼消旋力矩解析式仍有較小的計算誤差，相對誤差基本穩(wěn)定在0.4%～0.5%的區(qū)間范圍內(nèi)。誤差來源主要分為兩部分：一部分是二維亥姆霍茲線圈仿真模型誤差，另一部分為仿真計算累計誤差。

3 結(jié)論

針對提高空間旋轉(zhuǎn)目標(biāo)消旋效率的問題，分別對各因素影響下球殼的消旋力矩變化情況進行了研究。根據(jù)亥姆霍茲線圈設(shè)計原理，在MAXWELL 中設(shè)計并建立了二維亥姆霍茲線圈仿真模型，并對其進行有效性驗證。從驗證的仿真模型出發(fā)，分別分析了球殼表面材料電導(dǎo)率、線圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)角速度、球殼半徑和球殼厚度對球殼模型消旋力矩的影響。并且對現(xiàn)有的球殼消旋力矩解析式進行了修正。主要結(jié)論如下。

（1）球殼的消旋力矩隨著各因素數(shù)值的增加而增加。

（2）球殼消旋力矩解析式對球殼表面材料電導(dǎo)率、線圈電流、球殼旋轉(zhuǎn)角速度的變化有很好的適應(yīng)性。

（3）球殼的厚度與半徑之比大于0.023 時，球殼消旋力矩解析式不再適用。

（4）修正后的球殼消旋力矩解析式與原有解析式相比，計算誤差更小。