蔣凱 李良榮

（貴州大學(xué)大數(shù)據(jù)與信息工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550025）

引言

自適應(yīng)波束形成技術(shù)概念最早由Van Atta 提出，至今已有50 年的歷史.早期的自適應(yīng)波束形成可以有效抑制干擾和噪聲.第一個(gè)自適應(yīng)波束形成器是1965 年Howells 提出的旁瓣相消器[1]，隨后許多學(xué)者對(duì)旁瓣相消器進(jìn)行了改進(jìn).郭慶華等提出了投影到信號(hào)子空間的改進(jìn)方法[2]，但該方法在信噪比(signal to noise ratio,SNR)較低時(shí)其性能較差.1969 年Capon 提出的一種波束形成算法，使有用信號(hào)不失真通過(guò)的同時(shí)確保干擾信號(hào)和噪聲的功率達(dá)到最小，該算法成為劃時(shí)代的標(biāo)志[3-4].此后一些穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法被提出[5]：一類是基于特征空間的波束形成(eigen-subspace beamforming,ESB)算法，利用信號(hào)子空間特性但受限于信源數(shù)；另一類是基于協(xié)方差矩陣求逆(sampling matrix inverse,SMI)算法，該算法收斂速度快，但低SNR 時(shí)性能較差.

上述波束形成算法并不能很好地抵抗陣列互耦現(xiàn)象，近十年的研究中許多具有抗互耦效應(yīng)的穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法被提出.例如20 世紀(jì)90 年代著名的對(duì)角加載方法[6]，通過(guò)人為設(shè)置一個(gè)校準(zhǔn)源來(lái)達(dá)到目的，但由于所用的校準(zhǔn)信號(hào)源本身也會(huì)引入誤差，導(dǎo)致算法有一定誤差.2012 年，Yujie Gu 等提出了一種基于干擾與噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)和導(dǎo)向矢量估計(jì)的波束形成算法[7]，但通過(guò)在剝離掉期望信號(hào)的角度范圍內(nèi)進(jìn)行功率積分去除有用信號(hào)的分量來(lái)獲得干擾和噪聲的協(xié)方差矩陣，導(dǎo)致該算法無(wú)法利用所有陣元.Yang 等提出了協(xié)方差矩陣重構(gòu)的抗陣列互耦算法[8-9]，該算法只需期望信號(hào)方向而不需要其他先驗(yàn)信息便可達(dá)到良好的抗互耦效果.吳晗提出了基于互耦系數(shù)估計(jì)的抗互耦算法[10]，先進(jìn)行互耦系數(shù)估計(jì)，然后重構(gòu)算法所需的干擾和噪聲協(xié)方差矩陣.上述算法抗互耦性能較強(qiáng)，然而在低SNR 時(shí)性能衰退嚴(yán)重[11]，不能有效抑制噪聲.

本文提出一種基于互耦系數(shù)估計(jì)的抗互耦算法(mutual coupling coefficient estimate based，MCCEB)，針對(duì)原抗互耦算法在低SNR 下互耦系數(shù)估計(jì)誤差較大、波束形成性能相對(duì)下降的問(wèn)題，對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn).在輸入SNR 低于設(shè)定門限的時(shí)候，僅用干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量來(lái)參與互耦系數(shù)估計(jì)；當(dāng)SNR 高于設(shè)定的輸入SNR 門限的時(shí)候，利用期望信號(hào)和干擾信號(hào)共同確定互耦系數(shù).和原算法相比，改進(jìn)算法降低了低SNR 下計(jì)算的復(fù)雜度，并通過(guò)改變期望信號(hào)在不同輸入SNR 下是否參與估計(jì)互耦系數(shù)，提高了算法穩(wěn)健性.

1 算法原理

1.1 算法描述

假設(shè)信號(hào)是平穩(wěn)的，統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間變化，定義輸出信號(hào)的協(xié)方差矩陣[12]

式中：mx(t)=E{x(t)}，且mx(t)=0.那么有

這里假設(shè)滿足以下條件：

1)陣元個(gè)數(shù)M要大于可能接收到的空間信號(hào)的個(gè)數(shù)N；

2)對(duì)于不同的信號(hào)方向 θi(i=1,2,···,N)，信號(hào)的導(dǎo)向矢量是線性獨(dú)立的；n(t)

3)噪聲 是均值為零的高斯白噪聲，

式中：σ2是噪聲功率；I是單位矩陣.

信號(hào)向量的協(xié)方差矩陣為

由式(2)～(4)可得：

證明Rx是非奇異的，且Rx=是正定Hermitain 方陣[13]，利用酉變換實(shí)現(xiàn)對(duì)角化，相似對(duì)角陣由M個(gè)不同的正實(shí)數(shù)組成，與之對(duì)應(yīng)的M個(gè)特征矢量是線性獨(dú)立的.因此，Rx的特征分解可以寫成

式中：Λ=diag(λ1,λ2,···,λM)，且

即前N個(gè)特征值與信號(hào)有關(guān)，數(shù)值大于 σ2，且特征值的大小與相應(yīng)信號(hào)的功率有關(guān)，功率越大，對(duì)應(yīng)的特征值也越大.信號(hào)的功率較大，N個(gè)信號(hào)對(duì)應(yīng)特征值λ1,λ2,···,λN的特征向量e1,e2,···,eN組成信號(hào)子空間Us，以其值為對(duì)角線元素的對(duì)角陣為 Λs.噪聲的功率較小，M-N個(gè)噪聲對(duì)應(yīng)小特征值 λN+1,λN+2,···,λM(數(shù)值均為 σ2)的特征向量e,e,...,e組成噪聲子空間N+1N+2M Un，以其值為對(duì)角線元素的對(duì)角陣為 Λn.至此，可以將Rx寫為

即將接收信號(hào)的矩陣分解為信號(hào)子空間和噪聲子空間.

對(duì)于一個(gè)由M個(gè)陣元組成的陣元間距為d的均勻直線陣，設(shè)置忽略陣元互耦的門限為P個(gè)陣元間距，可知有互耦系數(shù)且參考處互耦系數(shù)是對(duì)稱的，即

可見互耦矩陣是一個(gè)循環(huán)帶狀的Toeplitz 矩陣.

定義互耦向量

cj(j=1,2,3,···,P-1)表示互耦門限以內(nèi)，與參考點(diǎn)的距離為j的陣元互耦系數(shù).方便起見，設(shè)定一個(gè)陣元與其自身之間的互耦系數(shù)為1，則可以得到陣列的互耦矩陣如下：

由此得到：

令

得到

式中，Q是N×((M-N)×P)階的矩陣.用qi表示Q的第i列，則式(11)可以表示為

可以得到：

式中，(·)+表示對(duì)矩陣求偽逆.利用式(17)求得所有的非1 互耦系數(shù)，得到整個(gè)互耦矩陣.令估計(jì)得到的互耦矩陣為C′，原估計(jì)得到的導(dǎo)向矢量為ai，則可以得到修正后的導(dǎo)向矢量為

獲得最新的導(dǎo)向矢量之后，進(jìn)行Ri+n重構(gòu)：

得到重構(gòu)的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣之后，便可利用最小方差無(wú)失真響應(yīng)(minimum variance distortionless response,MDVR)[14]波束形成器得到最佳權(quán)矢量.

1.2 原算法仿真

為便于比較，所有仿真都是基于陣元間距為半波長(zhǎng)的16 元均勻線陣，入射信號(hào)為兩個(gè)功率相等的干擾信號(hào)和一個(gè)期望信號(hào)，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為200.將期望信號(hào)的角度區(qū)間設(shè)為 Θ=[θd-7°,θd+7°]，θd=0°，則干擾和噪聲可能存在的區(qū)間為=[-90°,θd-7°)∪(θd+7°,90°].干擾信號(hào)設(shè)置來(lái)自± 30°，輸入SNR 為0 dB，信干噪比 (signal to interference plus noise ratio,SINR)為30 dB，互耦向量中包含5 個(gè)值，即互耦門限為5，互耦向量元素根據(jù)互耦門限原理設(shè)定為[1，0.433 01-0.351j,0.261 8+0.217 6j,0.141 4-0.141 4j,0.080 8+0.080 8j]，圖1 為基于互耦系數(shù)的抗互耦算法的歸一化方向圖.

圖1 基于互耦系數(shù)的抗互耦算法的歸一化方向圖Fig.1 Normalized pattern of anti-mutual coupling algorithm based on mutual coupling coefficient

從圖1 可以看出，期望信號(hào)來(lái)向?qū)?yīng)主瓣，干擾來(lái)向?qū)?yīng)零點(diǎn).基于極其準(zhǔn)確的干擾信號(hào)方向估計(jì)的前提下，該算法具有一定的抗互耦性能，但當(dāng)干擾信號(hào)的來(lái)波方向有較大誤差時(shí)，對(duì)互耦矩陣的估計(jì)也相應(yīng)地產(chǎn)生較大的誤差，波束形成的方向圖和輸出SINR 隨輸入SNR 的變化曲線也將偏離標(biāo)準(zhǔn)值.

2 改進(jìn)算法

2.1 原算法存在的問(wèn)題

在對(duì)上述算法進(jìn)行研究后，可以發(fā)現(xiàn)在DOA 估計(jì)誤差準(zhǔn)確或誤差極小時(shí)，該算法具有近乎完美的表現(xiàn).但當(dāng)輸入SNR 很小時(shí)，波束形成器的性能偏離理想曲線，即輸出SINR 會(huì)偏離最優(yōu)波束形成輸出SINR.設(shè)置輸入SNR 為-10 dB，仿真得出的輸出歸一化方向圖如圖2 所示.可以看出，在低SNR 條件下，相比圖1，在干擾信號(hào)的來(lái)波方向無(wú)法形成較深的零陷，說(shuō)明原算法在低SNR 時(shí)抗干擾性能較差，其波束形成器性能有所下降.針對(duì)這一現(xiàn)象將分析誤差產(chǎn)生的原因并作出對(duì)原算法的改進(jìn).

圖2 低輸入SNR 時(shí)波束形成輸出歸一化方向圖Fig.2 Normalized pattern of beamforming under low input SNR

2.2 改進(jìn)算法

互耦條件下自適應(yīng)波束形成器的接收數(shù)據(jù)為

將C乘在矩陣A左側(cè)即為接收信號(hào)，互耦所帶來(lái)的誤差全部作用在導(dǎo)向矢量上.

真實(shí)的導(dǎo)向矢量為

式中，期望信號(hào)

當(dāng)互耦系數(shù)估計(jì)存在較大誤差時(shí)，相應(yīng)算法性能會(huì)下降.圖3 為不同輸入SNR 下100 次仿真平均值計(jì)算出的互耦系數(shù)均方誤差(mean square error,MSE)的幅度和相位.可以看出，輸入SNR 較小時(shí)，互耦系數(shù)估計(jì)具有較大的誤差；SNR 較高時(shí)達(dá)到10 dB 后，互耦系數(shù)的估計(jì)誤差逐漸減小至接近理想情況.因此可設(shè)定10 dB 為輸入SNR 的一個(gè)門限，超過(guò)此值后可認(rèn)為估計(jì)出的互耦系數(shù)沒有誤差.

圖3 互耦系數(shù)MSE 隨輸入SNR 變化Fig.3 Curve of MSE of mutual coupling coefficient with input SNR

從式(11)可以看出信號(hào)與噪聲兩子空間正交原理是互耦系數(shù)估計(jì)過(guò)程的主要依據(jù).式(13)中為提高互耦系數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，互耦系數(shù)估計(jì)過(guò)程中使用的是包括期望信號(hào)在內(nèi)的所有信號(hào)，當(dāng)數(shù)據(jù)協(xié)方差中含有較強(qiáng)期望信號(hào)時(shí)，互耦估計(jì)較為有效，期望信號(hào)與噪聲的正交性將減弱，相關(guān)性增強(qiáng)，說(shuō)明期望信號(hào)和噪聲之間不是嚴(yán)格正交，而存在更高的相關(guān)性.將期望信號(hào)式(24)考慮進(jìn)式(13)將會(huì)增大互耦系數(shù)的估計(jì)誤差.因此在小于門限值時(shí)應(yīng)忽略期望信號(hào)，而大于門限值時(shí)則保留期望信號(hào)，這是改進(jìn)算法的依據(jù).依據(jù)互耦系數(shù)MSE 得出10 dB 為本算法門限.

由圖3 可以看到，在輸入SNR 逐漸增加至門限10 dB 時(shí)，認(rèn)為估計(jì)互耦系數(shù)已經(jīng)是最優(yōu)情況.因此當(dāng)輸入SNR＜10 dB 時(shí)，將式(13)改為

即在小輸入SNR 條件下，舍棄式(24)中期望信號(hào)所對(duì)應(yīng)的部分；當(dāng)輸入SNR ≥10 dB 時(shí)，仍采用式(13)Q矩陣形式：

從而降低了低SNR 情況下互耦系數(shù)的估計(jì)誤差，提高了相應(yīng)波束形成器的性能.

2.3 改進(jìn)算法性能對(duì)比

仿真條件設(shè)置為：輸入端SNR 為-10 dB，SINR為30 dB，期望信號(hào)入射方向?yàn)?°；空間中存在2 個(gè)干擾，干擾信號(hào)方向設(shè)為[-30°,30°]，信號(hào)采樣點(diǎn)數(shù)為200 點(diǎn)；互耦向量中含有5 個(gè)值，互耦系數(shù)設(shè)置為[1,0.433 01-0.351j,0.261 8+0.217 6j,0.141 4-0.141 4j,0.080 8+0.080 8j].

將傳統(tǒng)的ESB 算法、SMI 算法、干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)(interference-plus-noise covariance matrix,INCM)[15]方法、改進(jìn)前MCCEB 算法與改進(jìn)算法進(jìn)行對(duì)比，幾種算法波束形成器的方向圖如圖4 所示.可以看出：改進(jìn)算法主瓣對(duì)準(zhǔn)真實(shí)的期望來(lái)波方向，在干擾信號(hào)來(lái)波方向形成較深零陷；SMI 算法主瓣并沒有對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)來(lái)波方向，也沒在干擾信號(hào)來(lái)波方向形成零陷；ESB 算法主瓣對(duì)準(zhǔn)了期望信號(hào)來(lái)波方向，但在多個(gè)干擾信號(hào)方向形成零陷；INCM 算法在干擾方向上沒有形成零陷；原MCCEB 算法在低SNR 時(shí)沒有形成較深的零陷.因此在低SNR 條件下改進(jìn)算法性能優(yōu)于其他對(duì)比算法.

圖4 幾種算法在互耦情況下的方向圖對(duì)比Fig.4 Direction diagram comparison of various algorithms in the case of mutual coupling

同樣仿真條件下比較幾種算法輸入SNR 對(duì)輸出SINR 的影響，圖5 所示為幾種算法在互耦情況下的輸出SINR 曲線對(duì)比.可以看出：改進(jìn)算法在低SNR 時(shí)輸出SINR 性能優(yōu)越，與最優(yōu)(Optimal)算法輸出SINR 重合，同時(shí)隨輸入SNR 增大而增大；SMI 和ESB 算法輸出SINR 隨輸入SNR 的變化較為混亂，且與Optimal 算法輸出SINR 相距較遠(yuǎn)；INCM 算法輸出SINR 隨輸入SNR 的增大而增大，但仍略低于Optimal 算法輸出SINR；原MCCEB 算法與Optimal 算法輸出SINR 幾乎重合，但在低SNR 時(shí)仍低于Optimal 算法輸出SINR.綜上所述，本文算法性能優(yōu)于其他幾種算法.

圖5 幾種算法在互耦情況下的輸出SINR 曲線對(duì)比Fig.5 Output SINR curve comparison of various algorithms in the case of mutual coupling

3 結(jié)論

本文針對(duì)基于互耦系數(shù)估計(jì)的抗互耦算法在低輸入SNR 的條件下波束形成器的輸出SINR 曲線不理想的問(wèn)題，對(duì)算法進(jìn)行了改進(jìn)，在輸入SNR 低于輸入SNR 門限時(shí)，用干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量參與互耦系數(shù)估計(jì)，當(dāng)SNR 高于輸入SNR 門限的時(shí)候，與原算法一樣利用期望信號(hào)和干擾信號(hào)共同確定互耦系數(shù).通過(guò)仿真對(duì)比分析，該算法提高了低SNR 下的抗互耦性能，與其他幾種算法相比，抗互耦和抗干擾性能更好，具有一定的理論意義與工程價(jià)值.