王天明,李斌成,趙斌興,孫啟明

(電子科技大學 光電科學與工程學院，成都 610054)

引 言

光束質量是評價高功率激光系統(tǒng)性能的一個重要指標，而光學元件中的熱效應與輸出光束質量有著密不可分的關聯(lián)。一個高功率激光系統(tǒng)中包含大量光學元件，在高功率密度運行條件下這些光學元件由于光吸收會產(chǎn)生一定的熱沉積和非均勻溫度分布，與之伴隨的熱光效應和熱彈效應會導致激光光束產(chǎn)生雙折射、退偏、波前畸變等現(xiàn)象，降低輸出光束質量[1-6]。進一步提高光功率密度甚至會造成光學元件的熱熔或應力斷裂等損傷[7]。因此，光學元件的熱效應已經(jīng)成為當前制約高功率激光系統(tǒng)性能的主要因素之一。

雖然國內(nèi)外有不少關于激光系統(tǒng)中光學元件熱效應的研究，但都是基于線性模型，即材料熱物性參數(shù)、光學吸收系數(shù)等不隨溫度變化，而鮮見高功率激光作用下光學元件非線性熱效應的研究報道。在高功率激光技術高速發(fā)展的今天，光學元件熱效應的非線性特性將是越來越不可忽略的因素。PENG等人[5]基于線性模型對不同鏡體材料的熱畸變特性進行了有限元數(shù)值模擬與分析討論。LIU等人[2]基于線性模型，使用有限元法計算了硅鏡在中空非均勻激光輻照下的鏡面溫升和反射面面形隨時間變化的特性。HU等人[3]基于線性模型對激光輻照硅反射鏡、熔石英窗口鏡溫度分布和熱相差進行了模擬計算,比較了相同吸收情形下,兩種元件溫升、熱相差分布的時間、空間特性。1986年，DRAGGOO等人[8]對高功率激光系統(tǒng)中光學元件的膜吸收進行了測量，近似擬合得到了吸收系數(shù)隨溫度、激光功率、光斑半徑的變化關系，但其準確性和適用性有待提高[9]。2000年，CHOW等人[9]對高平均功率激光系統(tǒng)中光學元件復雜的膜吸收情況進行了相關研究，測量了不同情況下的膜吸收率隨激光照射時間的變化關系，并對其物理機理進行了解釋，但其解釋說服力不夠強，普適性也有待進一步研究。

實際中，對于高功率連續(xù)激光(例如功率密度約為500kW/cm2)作用下光學元件的熱效應，研究人員發(fā)現(xiàn)基于線性模型、均勻吸收等前提仿真計算得到的結果存在與實驗結果不相符的情況，所以非常有必要對實際中可能存在的熱效應的情況開展進一步研究，如參考文獻[9]中報道的對于不同的樣品，在相同功率密度激光輻照下吸收系數(shù)隨激光輻照時間會呈現(xiàn)出不同的變化趨勢。本文作者在相關研究的基礎上，考慮了材料物性參數(shù)的非線性、溫度邊界條件的非線性，并基于吸收隨溫度線性變化的模型進行了一些仿真分析，分析了不同參數(shù)對光學元件熱效應的影響，探討了不同材料、不同形狀光斑輻照下的光學元件的非線性熱效應。

1 非線性熱效應

求解高功率密度連續(xù)激光作用下光學元件的溫度場是研究熱效應的關鍵。通過溫度場，便可求出由溫度變化引起的折射率變化；通過基于溫度場求解出的熱彈場，便可求出由元件變形引起的波前畸變和由熱應力引起的應力雙折射[10]。

1.1 非線性效應

高功率連續(xù)激光作用下，光學元件所反映出的光學、熱學和力學特征將會存在非線性溫度效應，因此傳統(tǒng)基于線性模型的光吸收、熱傳導、熱彈耦合場的偏微分方程都將不再適用。對于基于線性的溫度場和熱彈場問題，已有不少解析解推導和有限元計算的研究[11-15]，且相對較為成熟。但基于非線性的問題，溫度場除極少數(shù)的情形外[16]，幾乎求不出解析解，求出熱彈場的解析解更是難上加難。所以本文中也通過有限元法來求解。

一般來說，溫度場和熱彈場的非線性效應主要來源于3個方面：物性參數(shù)、熱輻射邊界條件和光學吸收系數(shù)隨溫度的變化。

以熔石英玻璃為例,其熱導率、密度、比熱容、楊氏模量、泊松比和線性熱膨脹系數(shù)隨溫度的變化曲線如圖1所示[17-18]。以該材料的熱導率為例，它隨溫度會呈現(xiàn)先緩慢增長后迅速增長的變化趨勢。簡單來說，是因為總的熱導率是傳導熱導率和輻射熱導率之和，溫度越高，輻射熱導率的貢獻越來越大，所以總熱導率隨溫度的增長會越來越快[18]。毫無疑問，各參數(shù)復雜的變化趨勢會導致溫度場和熱彈場的求解結果難以預測。

Fig.1 Temperature dependences of physical parameters of a typical fused silica sample

對于熱輻射邊界條件，即邊界熱流與溫度的四次方成正比，是一種高度非線性的邊界條件。顯然，溫度越高，該非線性因素越不可忽略。

除物性參數(shù)外，已有的研究表明[17,19]，光學吸收率[20-21]也會隨著光學元件溫度下的變化而變化?，F(xiàn)假設吸收率α隨溫度T的變化關系為：

α=n+mT

(1)

式中，n為室溫下的吸收率，m為吸收率隨溫度變化的系數(shù)。n和m與波長、光學元件材料等相關，具體取值由實測得到。

1.2 溫度場和熱彈場

對于溫度變化不大的熱傳導問題，溫度場可用一般的溫度控制方程(含熱源，常物性的均勻各向同性物體區(qū)域的熱傳導微分方程)及其相應條件求解得到，求解的是線性問題。線性模型是忽略了溫度及其各類導數(shù)的一次方以上項的結果。當溫度變化較大時，將導致相應的數(shù)學模型為非線性的，或者泛定方程為非線性，或若干定解條件為非線性。基于非線性的定解問題的泛定方程為[16]：

(2)

邊界條件考慮對流換熱和熱輻射：

(3)

式中，h為換熱系數(shù)，ε為史蒂芬-玻爾茲曼常數(shù)，σ為輻射系數(shù)，T′為環(huán)境溫度,?T/?s為溫度沿界面外法線方向的導數(shù)。

對于高平均功率連續(xù)激光輻照光學元件的熱彈場問題，依舊可近似認為具有變形較小、溫度變化緩慢的特征。變形較小，也就意味著在推導熱彈性運動方程的過程中可以略去非線性項(應變表達式中位移的非線性項和本構方程中的非線性項)；溫度變化緩慢，也就意味著可以略去熱彈性運動方程中的動力項(即位移隨時間的2階導數(shù)項)和熱彈性材料的熱傳導方程中的耦合項，這樣溫度場就可以通過求解前面討論過的熱傳導方程來得到，位移場可以通過求解如下擬靜態(tài)的熱彈性運動方程來得到[22-24]。

熱彈性運動方程的矢量形式為：

(4)

或寫成柱坐標系下的標量形式：

(5)

(6)

式中，u為樣品變形位移矢量，ur為徑向分量，uθ為環(huán)向分量，uz為軸向分量，ν(T)為泊松比，αth(T)為樣品線性膨脹系數(shù)，T(r,θ,z,t)為樣品的溫度分布。如果是軸對稱問題，則：uθ=0,ur=ur(r,z),uz=uz(r,z)。

2 仿真分析討論

利用有限元仿真軟件，求解了不同情況下的溫度場和位移場。取光學元件樣品直徑為30mm，厚度為5mm；溫度邊界條件中，換熱系數(shù)取5W/(m·K)，輻射系數(shù)取0.74；力學邊界條件取徑向固定(壓圈法)[25]；加熱時間為90s。吸收率中的n和m理應由實際測量得到，但這里只能通過假設來進行分析研究。

2.1 高斯激光輻照熔石英樣品

取高斯激光功率為15kW,光斑直徑為2mm，考慮前后表面吸收且吸收率相等的情況(增透光學元件)。計算中用到的熔石英的物性參數(shù)如圖1所示。

不予考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的表面溫升和變形分布如圖2所示(圖中L表示線性(linear)，NL表示非線性(non linear))。n為50×10-6,100×10-6和200×10-6時考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的樣品中心表面溫升比不考慮任何非線性的情況分別約低17K,57K和182K(分別約為不考慮任何非線性的樣品中心表面溫升的9%,16%,25%)，這主要是該材料的熱導率和比熱容隨溫度的升高而增大以及考慮溫度輻射邊界條件導致的。可以看出，僅考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的表面溫升較線性情況會偏低，其差值隨溫度為非線性變化的關系；對應的表面變形峰谷(peak-to-valley,PV)值分別約高10nm,24nm和14nm(分別約為不考慮任何非線性的樣品表面變形PV值的8%,10%和3%)。顯然對于像熔石英這類的熱導率隨溫度的升高而增大的材料，由于物性參數(shù)引起的非線性效應至少對整個高功率激光系統(tǒng)的溫升是有利的。

Fig.2 Comparison of calculation results of fused quartz samples irradiated by Gaussian laser, with and without the nonlinearity of physical parameters and temperature boundary conditions

Fig.3 Comparison of calculation results of fused quartz sample irradiated by Gaussian laser, with and without the nonlinearity of absorption

在考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的前提下，考慮吸收非線性與否的表面溫升和表面變形分布如圖3所示。其中假設n=100×10-6,m分別為0.01×10-6K-1,0.05×10-6K-1,0.1×10-6K-1?？梢钥闯?，在m可能的取值范圍內(nèi)，溫度場和位移場的變化非常明顯。

Fig.4 Variation of temperature rise and thermal deformation of the fused quartz sample center

由此可見，確定表示吸收非線性強弱的m值是準確描述高功率激光照射下的樣品吸收的關鍵。

圖4是取n=100×10-6的情況下，樣品中心表面的溫度和變形隨m的變化關系。顯然，這樣的吸收系數(shù)隨溫度升高而增大的非線性吸收可能會對溫度和變形產(chǎn)生正反饋效應，這對高功率激光系統(tǒng)來說是極其不利的。

2.2 高斯激光輻照硅樣品

取高斯激光功率為15kW,光斑直徑為2mm，只考慮前表面吸收(高反射光學元件)，取n=100×10-6。計算中用到的硅樣品的物性參數(shù)來源于參考文獻[26]～參考文獻[29]，這里不再進行討論。

不考慮任何非線性與考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的表面溫升和變形分布如圖5所示。在考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的前提下，考慮和不考慮吸收非線性的表面溫升和變形分布如圖6所示。其中假設n=100×10-6,m分別為0.01×10-6K-1,0.05×10-6K-1和0.1×10-6K-1。可以看出，對于硅樣品，在上述條件下不管是由于物性參數(shù)還是由于吸收所表現(xiàn)出來的非線性效應都不是很明顯。這是因為硅的熱導率很大(相比于熔石英)，所以即使在高功率激光輻照下，硅樣品的溫升也不會很大，而非線性效應主要依賴于溫升，溫升越大，非線性效應越明顯。顯然，對于高功率激光輻照硅樣品(即熱導率很大的樣品)的情況，很多時候是可以忽略熱效應的非線性因素的，這將會給求解問題的計算量和計算時間帶來好處。

Fig.5 Comparison of calculation results of silicon sample irradiated by Gaussion laser, with and without the nonlinearity of physical parameters and temperature boundary conditions

Fig.6 Comparison of calculation results of silicon sample irradiated by Gaussion laser, with and without the nonlinearity of absorption

2.3 平頂環(huán)形激光輻照熔石英樣品

高功率激光采用非穩(wěn)腔輸出的光斑一般為環(huán)形光束[3,7]，本文中也對平頂環(huán)形激光輻照光學元件的情形進行一些探討。取平頂環(huán)形激光功率為25kW，光斑外半徑Rout=1.5mm,內(nèi)半徑Rin=0.75mm(即遮攔比為0.5)，考慮前后表面吸收且吸收率相等的情況，取n=100×10-6。

Fig.7 Comparison of calculation results of fused quartz sample irradiated by flat top ring laser, with and without the nonlinearity of physical parameters and temperature boundary conditions

對于平頂環(huán)形激光輻照光學元件的情形，如圖7所示?？紤]和不考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的溫度場差異與高斯激光輻照光學元件的情形基本一致，溫升分布都是在溫升較大時有明顯差異，考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的樣品表面最大溫升比不考慮任何非線性的情況低約85K(約為不考慮任何非線性的樣品表面最大溫升的20%)；考慮和不考慮物性參數(shù)和溫度邊界條件非線性的樣品表面變形差異主要出現(xiàn)在樣品邊緣，約為16nm。對于非線性吸收的情形，如圖8所示。在n一定的前提下，表面溫度和變形依舊對m有很大的依賴性，并且表面溫升與變形近似有同步變化的關系，這規(guī)律同樣與高斯激光輻照光學元件的情形基本一致。需要注意的是，在上述仿真條件下，考慮和不考慮吸收非線性對于表面變形帶來的差異主要出現(xiàn)在樣品內(nèi)部。

Fig.8 Comparison of calculation results of fused quartz sample irradiated by flat top ring laser, with and without the absorption nonlinearity

3 結 論

在考慮了物性參數(shù)非線性、溫度邊界條件非線性和光學吸收非線性的基礎上，分析了不同參數(shù)對熱效應的影響；探討了不同材料、不同形狀光斑輻照下的光學元件的非線性熱效應。結果表明，高功率(功率密度約為500kW/cm2)連續(xù)激光作用下光學元件所反映出的熱學、力學和光學吸收存在著不同程度的非線性效應，非線性效應的強弱取決于樣品材料、光斑形狀等因素，對于像熔石英這類低熱導率的材料會存在不可忽略的非線性特性，而對于硅這類高熱導率的材料，熱效應的非線性非常弱。本文中的理論計算結果為相關實驗研究提供了技術指導,有關高功率激光照射下光學元件熱效應非線性現(xiàn)象的實驗研究將是下一步研究的重點。