郭芳麗

(陜西省咸陽(yáng)師范學(xué)院附中 712099)

在初中，我們利用直角三角形學(xué)習(xí)了銳角三角函數(shù)；到了高中，為進(jìn)一步研究任意角的三角函數(shù)，需要借助單位圓.單位圓簡(jiǎn)單直觀(guān)，具有圓的對(duì)稱(chēng)性和旋轉(zhuǎn)不變性，三角函數(shù)有了單位圓的加入，便展開(kāi)了一系列行之有效的教學(xué)活動(dòng).

1 理解弧度制

圖1

在講解角的集合與實(shí)數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系的過(guò)程中，引入(如圖2所示)單位圓模型：讓單位圓M與數(shù)軸相切于原點(diǎn)O，把數(shù)軸看成一個(gè)皮尺， 對(duì)于任意一個(gè)正數(shù)a，它對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)A，把線(xiàn)段OA逆時(shí)針?lè)较蚶p繞到單位圓M上，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)單位圓上的點(diǎn)A′，這樣以MO為始邊，經(jīng)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)以MA′為終邊的圓心角α的弧度數(shù)為正數(shù)a；同樣對(duì)于任意一個(gè)負(fù)數(shù)b，對(duì)應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn)B，將線(xiàn)段OB順時(shí)針?lè)较蚶p繞到單位圓M上，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)單位圓上點(diǎn)B′，則以MO為始邊經(jīng)過(guò)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)以MB′為終邊的圓心角β的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)b.

2 定義任意角的三角函數(shù)

圖3

3 推導(dǎo)誘導(dǎo)公式

利用單位圓的對(duì)稱(chēng)性與幾何直觀(guān)易得：

(1)角α與-α的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)(圖4)，即cos(-α)=cosα=u,sin(-α)=-sinα=-v.

圖4 圖5

(2)角α與α±π的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，終邊與單位圓交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即cos(α±π)=-cosα=-u,sin(α±π)=-sinα=-v(圖5).

(3)角α與π-α的終邊關(guān)于縱軸對(duì)稱(chēng)，終邊與單位圓交點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，即cos(π-α)=-cosα=-u,sin(π-α)=sinα=v(圖6).

圖6 圖7

圖8 圖9

4 研究三角函數(shù)性質(zhì)

如圖9，在給定的單位圓中，設(shè)任意角x的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(cosx,sinx)，當(dāng)自變量x變化時(shí)，點(diǎn)P的橫、縱坐標(biāo)也在變化.根據(jù)正弦函數(shù)y=sinx和余弦函數(shù)y=cosx的定義，易知以下基本性質(zhì)：

圖10

圖11

5 繪制三角函數(shù)的圖象

(1)先作出三角函數(shù)線(xiàn)：在圖12中，設(shè)單位圓與任意角α的終邊交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)A(1,0)作x軸的垂線(xiàn)，與角α的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)T，則有向線(xiàn)段MP,OM,AT就是角α的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn).

圖12

(2)再借助正弦線(xiàn)和正切線(xiàn)繪出正弦函數(shù)和正切函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象(圖13).

圖13

6 證明同角三角函數(shù)關(guān)系

圖14 圖15

7 推證兩角差的余弦公式

所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

總之，將單位圓融入三角函數(shù)教學(xué)，不僅有很好的輔助借鑒意義，還事半功倍.