張麗云

(南京師范大學(xué)教師教育學(xué)院，江蘇南京，210023)

弧度制是高中數(shù)學(xué)教材的重要內(nèi)容，也是數(shù)學(xué)教學(xué)中比較難處理的一塊內(nèi)容.本文基于課標(biāo)與學(xué)情對教材中弧度制的處理作些探討.

1 “弧度制”課標(biāo)要求和教材呈現(xiàn)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(簡稱“課標(biāo)”)明確指出：“了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的轉(zhuǎn)化，體會引入弧度制的必要性(參見案例3)”[1]．相應(yīng)地，查閱蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊教材[2]發(fā)現(xiàn)：教材的呈現(xiàn)順序是弧度制的定義——弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化——弧長面積公式．在弧度制的定義呈現(xiàn)上，概念的引入與章引言密切相關(guān)，因此先展示引言的內(nèi)容，如圖1所示：

圖1 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊第七章章引言

引言提出了用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫周期運(yùn)動的問題，進(jìn)而指出了圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動可以用有序數(shù)對(r,α)、(r,l)、(x,y)表示．弧度制的引入則在章引言內(nèi)容基礎(chǔ)上直接提出數(shù)學(xué)問題“r，l與α之間具有怎樣的關(guān)系呢？”．接著教材介紹角度制并直接給出弧度制的定義，以“上述規(guī)定基于下面的基本事實(shí)”承上啟下，說明“角α的弧度數(shù)由角α的大小唯一確定，而與其為圓心角所在的圓的大小(半徑)無關(guān)．”體現(xiàn)弧度制定義的合理性．在弧度制與角度制的轉(zhuǎn)化上，教材從360°=2πrad入手，呈現(xiàn)1°和1 rad如何轉(zhuǎn)化，并提供兩道例題讓學(xué)生練習(xí)．在弧長面積公式上，主要是公式的簡化．弧度制是在任意角的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)度量角的新制度，為建立刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型奠定了基礎(chǔ)，是建立三角函數(shù)的重要工具，其重要性不言而喻．

2 教材分析

通過對教材的梳理，筆者認(rèn)為，教材在弧度制的處理呈現(xiàn)上，最出彩的地方在于情境素材的選?。蛉缦拢菏紫龋μ燧喌那榫澄挥诒菊鹿?jié)三角函數(shù)的章引言部分，是學(xué)生熟悉的典型的周期現(xiàn)象，通過對圓周運(yùn)動上的點(diǎn)位置的刻畫能夠?qū)⑷我饨恰⒒《戎坪腿我饨堑娜呛瘮?shù)串聯(lián)起來[3]．因此在“三角函數(shù)”的起始教學(xué)(任意角、弧度制、任意角的三角函數(shù))時可以用這個問題情境，進(jìn)行單元教學(xué)設(shè)計，更有助于學(xué)生厘清知識之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，避免知識“碎片化”，從整體上理解數(shù)學(xué)．其次，使用該情境引入，給學(xué)生提供了研究新的度量角的單位制的載體——圓．不論是角度制還是弧度制，對1°和1 rad的定義都是將角當(dāng)成某個圓的圓心角．當(dāng)然，沒有使用該情境引入也可以較為自然地通過對學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)——角度制的充分回顧和總結(jié)，引出研究載體．但是相比較而言，采用摩天輪的情境更為直接，能更快速地進(jìn)入主題.最后，有序數(shù)對(r,α)和(r,l)都可以表示圓周上同一個點(diǎn)P，使學(xué)生能初步感受圓心角與弧長之間的對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)弧度制的探究提供感性經(jīng)驗(yàn)．

但是根據(jù)課標(biāo)，筆者認(rèn)為教材有兩個方面需要改進(jìn)，一是缺乏有關(guān)弧度制數(shù)學(xué)文化的滲透；二是沒有體現(xiàn)弧度制引入的必要性．首先，課標(biāo)在“教材編寫建議”中明確指出：“教材應(yīng)當(dāng)把數(shù)學(xué)文化融入到學(xué)習(xí)內(nèi)容中，可以適當(dāng)?shù)亟榻B數(shù)學(xué)和科學(xué)研究的成果，開拓學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣與好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神．”[4]弧度制概念的產(chǎn)生有較為悠久的歷史淵源[5]，這是一個比較容易也較為合適滲透數(shù)學(xué)史的契機(jī)．但是教材在弧度制這一節(jié)沒有呈現(xiàn)任何的數(shù)學(xué)史，只有在任意角中以淺藍(lán)色字旁注的形式介紹了古巴比倫對角度和圓的劃分．

其次，課標(biāo)在案例3[6]說明了引入弧度制的必要性，意在幫助教師更好地理解課標(biāo)的要求．必要性主要有3點(diǎn)：第一，從函數(shù)定義的要求上，弧度制的本質(zhì)是用線段長度度量角的大小，統(tǒng)一了三角函數(shù)自變量和函數(shù)值的單位，只有這樣才能進(jìn)行基本初等函數(shù)的運(yùn)算(四則運(yùn)算、復(fù)合、求反函數(shù)等)，使函數(shù)具有更廣泛的應(yīng)用性；第二，從簡化運(yùn)算的需要上，弧度制的引入能為微積分的計算提供方便；第三，從三角函數(shù)的實(shí)用性上，三角函數(shù)能較好地描述鐘擺、潮汐等周期現(xiàn)象，自變量除了角度外，還可能是時間或其他量．可見弧度制在數(shù)學(xué)中扮演著非常重要的角色．反觀教材，按照這樣的引入方式，學(xué)生可能難以明白為什么要學(xué)習(xí)弧度制？會誤以為僅僅是度量角的大小的另一種單位制．但其實(shí)從學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)來看，不論是從函數(shù)的要求，還是簡化運(yùn)算的需要，亦或是三角函數(shù)的實(shí)用性上，教材也很難能在弧度制引入時就充分地體現(xiàn)必要性．事實(shí)上，關(guān)于弧度制引入必要性上，一直以來是比較棘手的問題．周杰和汪曉勤[7]曾分析20世紀(jì)中葉前的59種西方三角學(xué)教科書，發(fā)現(xiàn)多數(shù)教科書編寫者都未能很好地處理引入弧度制的必要性問題．

3 教學(xué)設(shè)計分析

針對上述教材中的不足，本文將以江蘇省2019年高中數(shù)學(xué)青年教師優(yōu)質(zhì)課大賽中14份弧度制教學(xué)設(shè)計為研究素材，分析一線教師在教學(xué)中基于學(xué)情是如何讓學(xué)生體會弧度制引入的必要性及是否滲透數(shù)學(xué)史．值得注意的是，該大賽的參賽者都是各地級市的優(yōu)秀青年教師代表，教學(xué)設(shè)計也是事先經(jīng)過多次磨課修改后才呈現(xiàn)在大賽上，可以說是集體智慧的結(jié)晶．因此，該材料能夠在一定程度上反映一線教師對弧度制內(nèi)容的認(rèn)識．

在數(shù)學(xué)史方面，共有12份教學(xué)設(shè)計向?qū)W生介紹了與弧度制相關(guān)的歷史，而且都涉及到歐拉所做的貢獻(xiàn)．表明絕大部分教師都比較認(rèn)可本節(jié)課是滲透數(shù)學(xué)文化的良機(jī)．

在弧度制引入的必要性上，共9份教學(xué)設(shè)計有體現(xiàn)，占總教學(xué)設(shè)計的64.3%，具體體現(xiàn)方式見表1．表明一線教師還是較為重視弧度制引入的必要性，在備課時也不僅僅只是依據(jù)教材，而是立足課標(biāo)，結(jié)合學(xué)情在教材基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)創(chuàng)造．從表1可以發(fā)現(xiàn)，教師都是從進(jìn)制不一致的角度來讓學(xué)生體會弧度制引入的必要性，只是不同的老師得到進(jìn)制不統(tǒng)一的途徑可能會不一樣．其中，教學(xué)設(shè)計Ⅴ是由章引言情境得到弧長、半徑和角度度量進(jìn)制的不同來體現(xiàn)；而教學(xué)設(shè)計Ⅱ、Ⅲ和Ⅸ都是在復(fù)習(xí)角度制后由教師解釋角度制是六十進(jìn)制，會給數(shù)學(xué)研究帶來不便．其他5份教學(xué)設(shè)計則是用銳角三角函數(shù)的自變量和因變量不一致來體現(xiàn)．

表1 教學(xué)設(shè)計中弧度制引入必要性的方式

續(xù) 表

4 建議

綜合課標(biāo)與教師基于學(xué)生學(xué)情的教學(xué)設(shè)計分析，針對教材中的不足提出以下兩點(diǎn)建議：

第一、適當(dāng)增加一些與弧度制相關(guān)的歷史．其實(shí)在教師用書[8]中有向教師建議可向?qū)W生介紹或讓學(xué)生查閱弧度制的歷史和有關(guān)歐拉的資料，既然如此不妨將該“建議”換成“要求”在教材上適當(dāng)呈現(xiàn)，也是一種意識形態(tài)的體現(xiàn)，更對教師教學(xué)提出了要求．

第二、在教材目前的組織邏輯和學(xué)生現(xiàn)有的知識基礎(chǔ)上，對弧度制引入的必要性進(jìn)行說明．通過上述教學(xué)設(shè)計的分析，本研究認(rèn)為教材可以在本節(jié)的一開始對長度(弧長、半徑)和角(圓心角)進(jìn)制的不同會給數(shù)學(xué)研究帶來非常多的不便進(jìn)行說明，從而引出需要學(xué)習(xí)新的度量角的十進(jìn)制單位制．