王 豪，藍(lán) 鯤，夏國江，耿勝男

(北京宇航系統(tǒng)工程研究所， 北京 100076)

1 引言

在航天領(lǐng)域，姿態(tài)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、載荷的計(jì)算、結(jié)構(gòu)的優(yōu)化以及元器件的安裝等都需要準(zhǔn)確的結(jié)構(gòu)模態(tài)數(shù)據(jù)。一般先通過地面模態(tài)試驗(yàn)對(duì)理論模型進(jìn)行修正，再利用修正的模型計(jì)算各個(gè)狀態(tài)下的模態(tài)特性。然而地面模態(tài)試驗(yàn)大多局限于時(shí)不變結(jié)構(gòu)，無法真實(shí)地模擬火箭飛行中的狀態(tài)，因此開展火箭飛行過程中的時(shí)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)對(duì)整個(gè)火箭的安全性與穩(wěn)定性具有重要意義。

傳統(tǒng)的時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識(shí)通常采用“時(shí)間凍結(jié)”的理論，認(rèn)為在凍結(jié)的時(shí)間窗口中結(jié)構(gòu)參數(shù)保持不變，再利用成熟的時(shí)不變模態(tài)辨識(shí)方法對(duì)各個(gè)時(shí)間段進(jìn)行處理最終得到時(shí)變模態(tài)參數(shù)，例如董嚴(yán)等近似地認(rèn)為火箭結(jié)構(gòu)的模態(tài)在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)保持不變，利用從火箭發(fā)射至發(fā)動(dòng)機(jī)分離時(shí)間段內(nèi)各測(cè)點(diǎn)的測(cè)試數(shù)據(jù)，基于自回歸滑動(dòng)平均模型成功得到了各階模態(tài)參數(shù)隨時(shí)間的變化關(guān)系。王鵬輝等采用基于自然激勵(lì)法的組合方法對(duì)火箭模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別，將不同時(shí)刻的參數(shù)進(jìn)行擬合處理得到火箭的時(shí)變模態(tài)參數(shù)，獲得了模態(tài)參數(shù)隨加液氫注量增加的變化規(guī)律。但“時(shí)間凍結(jié)”法忽略了時(shí)間變化對(duì)結(jié)構(gòu)參數(shù)的影響，模態(tài)辨識(shí)準(zhǔn)確度并不高。

近年來隨著信號(hào)處理技術(shù)的發(fā)展，將信號(hào)分解技術(shù)和時(shí)頻變換相結(jié)合的時(shí)變模態(tài)辨識(shí)方法發(fā)展迅速。時(shí)頻變換可以提供頻率分辨率，信號(hào)分解可以提供時(shí)間精度，兩者的結(jié)合提高了模態(tài)辨識(shí)的準(zhǔn)確程度。例如王佐才等將解析模態(tài)分解(analytical modal decomposition,AMD)與小波變換結(jié)合用于時(shí)變模態(tài)辨識(shí)，取小波脊線間的平均值作為AMD分解的時(shí)變截止頻率，提高了瞬時(shí)頻率的識(shí)別精度。王超等利用變分模態(tài)分解(variational mode decomposition,VMD)加廣義Morse小波的方法，對(duì)小車經(jīng)過主梁時(shí)的加速度響應(yīng)進(jìn)行分析，成功識(shí)別了第一階模態(tài)的時(shí)變頻率。Wei等將固有啁啾分量分解方法(intrinsic chirp component decomposition,ICCD)與廣義參數(shù)化時(shí)頻變換(general parameterized time-frequency transform,GPTFT)結(jié)合應(yīng)用到時(shí)變系統(tǒng)自由響應(yīng)下的模態(tài)辨識(shí)中，準(zhǔn)確度遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)的希爾伯特-黃變換(hilbert-huang transform,HHT)。

但上述方法始終是單通道的模態(tài)辨識(shí)方法，一次僅能處理一個(gè)測(cè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，而火箭上的測(cè)點(diǎn)往往是成百上千個(gè)，逐點(diǎn)處理不僅效率低下，也沒有充分利用各測(cè)量通道之間的相關(guān)性。鑒于目前鮮有學(xué)者開展該方面的研究，本文提出了基于多通道固有啁啾分量分解(multivariate ICCD,MICCD)的時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)辨識(shí)方法，該方法不僅利用GPTFT來提高瞬時(shí)頻率(instantaneous frequency,IF)的分辨率，還通過擴(kuò)展的最小二乘法求解多通道線性方程組來精確提取各時(shí)變分量，提高了時(shí)變模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的準(zhǔn)確性。

2 模態(tài)參數(shù)辨識(shí)

一個(gè)自由度的時(shí)變結(jié)構(gòu)振動(dòng)微分方程可以表示為：

(1)

式中：()、()和()分別為時(shí)變結(jié)構(gòu)時(shí)刻的質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣以及剛度矩陣；()為結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)向量；()為外部激勵(lì)。根據(jù)模態(tài)疊加法，第自由度的脈沖位移響應(yīng)()可以表示為各階模態(tài)響應(yīng)的疊加，即：

(2)

其中

式中：為頻率分量總數(shù)；,()、,()分別為第自由度第階位移振型向量值和瞬時(shí)振幅(instantaneous amplitude,IA)；()為第階歸一化后的模態(tài)坐標(biāo)；和代表()的振幅和初始相位；()和()代表時(shí)刻第階的無阻尼固有頻率和阻尼比；()則為第階的有阻尼固有頻率，由于結(jié)構(gòu)的阻尼比通常很小，因此可近似認(rèn)為()≈()。

值得注意的是，模態(tài)疊加法是基于時(shí)不變系統(tǒng)提出的。在時(shí)變系統(tǒng)領(lǐng)域，并沒有關(guān)于模態(tài)響應(yīng)的精確的理論推導(dǎo)，大多數(shù)研究采取了時(shí)變系統(tǒng)響應(yīng)由多分量瞬時(shí)模態(tài)響應(yīng)疊加而成的假設(shè)，幸運(yùn)的是，這些論文的結(jié)果證明這種假設(shè)對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)是適用的，本文的仿真分析也證明了這一點(diǎn)。

若各通道的各階的瞬時(shí)振幅已知，則可計(jì)算出時(shí)變結(jié)構(gòu)的第階歸一化瞬時(shí)振型向量()：

(3)

因此，瞬時(shí)頻率(IF)和瞬時(shí)振幅(IA)的準(zhǔn)確提取是模態(tài)參數(shù)辨識(shí)的關(guān)鍵。

3 多通道固有啁啾分量分解

3.1 多通道固有啁啾分量

在語音處理、雷達(dá)應(yīng)用、機(jī)械故障診斷等各種應(yīng)用中，信號(hào)通常是非平穩(wěn)的，可以被建模為調(diào)幅和調(diào)頻信號(hào)，也稱為啁啾信號(hào)。對(duì)于多通道的啁啾信號(hào)而言，以結(jié)構(gòu)響應(yīng)為例，多個(gè)通道的響應(yīng)信號(hào)都包括了同樣的頻率分量，故定義多通道固有啁啾分量(multivariate intrinsic chirp component,MICC)如下：

(4)

式中，()即為多通道固有啁啾分量，是相同頻率分量成分的集合。結(jié)合式(2)，多通道的測(cè)量信號(hào)()可建模如下：

(5)

式中，,()=,()cos，,()=-,()sin；()則代表分解誤差和測(cè)量噪聲。與單通道ICCD方法類似，可利用冗余傅里葉級(jí)數(shù)對(duì)瞬時(shí)振幅,()與瞬時(shí)頻率()進(jìn)行擬合：

(6)

其中的待求系數(shù)為

其中，=2π=2π，為信號(hào)樣本個(gè)數(shù)，當(dāng)≥2時(shí)，上式變?yōu)槿哂喔道锶~級(jí)數(shù)模型，根據(jù)過完備字典下的信號(hào)稀疏分解理論，這樣做有利于減小擬合誤差，提高系數(shù)求解和建模的準(zhǔn)確性，本文取=2；和分別為IA與IF的冗余傅里葉模型階數(shù)，決定了擬合的復(fù)雜程度，模型階數(shù)的確定方法可參考文獻(xiàn)[7]。總的來看，式(5)和式(6)說明了瞬時(shí)振幅,()與瞬時(shí)頻率()之間的線性關(guān)系，即在瞬時(shí)頻率()已知的情況下，通過求解一組線性方程組，可以很容易地得到瞬時(shí)振幅,()。

3.2 瞬時(shí)頻率提取

瞬時(shí)頻率的準(zhǔn)確提取依賴于能量高度集中的時(shí)頻表示，能量越集中，時(shí)頻脊線提取的準(zhǔn)確度也就越高。傳統(tǒng)的時(shí)頻表示方法包括短時(shí)傅里葉變換、小波變換和Wigner-Ville分布等。雖然短時(shí)傅里葉變換和小波變換在變換基的使用上有所不同，但它們本質(zhì)上都是使用水平線來近似表達(dá)給定信號(hào)在時(shí)頻平面上的瞬時(shí)頻率，Wigner-Ville分布雖然可以提供高濃度的時(shí)頻表示，但在分析多分量信號(hào)時(shí)會(huì)存在交叉項(xiàng)干擾，頻率分辨性不強(qiáng)，而由Yang等提出的GPTFT在核函數(shù)表達(dá)式合理的情況下，能夠準(zhǔn)確表征各種非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)頻特征。為與式(6)對(duì)應(yīng)，本文采用如下的核函數(shù)與變換框架：

(7)

其中

()=()+{()}

(8)

其中

3.3 瞬時(shí)振幅估計(jì)

在單通道ICCD算法中，在已知IF信息的情況下，可建立具有范數(shù)約束的最小二乘模型求解瞬時(shí)振幅(IA)。然而，該模型不能應(yīng)用于多通道信號(hào)，因?yàn)槎嗤ǖ佬盘?hào)處理需要同步分解所有通道信號(hào)，并不能用向量范數(shù)逐個(gè)描述，因此需要將最小二乘模型推廣到多通道模型。為了更好地解釋MICCD方法，將多通道輸入信號(hào)模型()重寫為

=+

(9)

式中，=[,,…,]；=[,,…,]為包含模態(tài)信息的核函數(shù)，其中

= diag[cos(()) … cos((-1))]

= diag[sin(()) … sin((-1))]

為待求IA冗余傅里葉模型系數(shù)矩陣：

為使式(9)的分解誤差達(dá)到最小，同時(shí)避免求矩陣偽逆帶來的“病態(tài)”問題，引入正則化因子：

(10)

(11)

(12)

(13)

綜上所述，本文算法分為兩步：一是利用GPTFT估計(jì)多通道固有啁啾分量的瞬時(shí)頻率信息；二是利用式(11)計(jì)算冗余傅里葉級(jí)數(shù)模型的系數(shù)，然后分別用式(12)和式(13)重建瞬時(shí)振幅和分量。

4 仿真校驗(yàn)

4.1 仿真設(shè)置

在Matlab/Simulink中對(duì)如圖1所示的三自由度時(shí)變結(jié)構(gòu)進(jìn)行仿真模擬，給定第2個(gè)自由度以白噪聲激勵(lì)，使整個(gè)系統(tǒng)做隨機(jī)振動(dòng)，采樣頻率為100 Hz，采樣時(shí)間為15 s，求解器選擇Runge-Kutta算法。

圖1 三自由度彈簧阻尼系統(tǒng)Fig.1 Three-degree-of-freedom spring damping system

圖1中各項(xiàng)時(shí)變的物理參數(shù)為

()=05,()=15e-005,()=25(kg)

()=02,()=02

()=03+003sin(05π)

()=15 000,()=12 000

為衡量瞬時(shí)固有頻率辨識(shí)的精確度，定義如下的頻率辨識(shí)誤差指標(biāo)：

(14)

模態(tài)保證準(zhǔn)則(modal assurance criterion,MAC)能夠反映2個(gè)振型向量之間的相關(guān)程度，因此可以利用MAC值來表征某一時(shí)刻瞬時(shí)振型辨識(shí)的準(zhǔn)確程度：

4.2 隨機(jī)振動(dòng)分析

表1 各個(gè)頻率成分迭代擬合的頻率辨識(shí)誤差Table 1Frequency identification error of iterative fitting of each frequency component Hz

以提取第3階頻率分量為例，GPTFT迭代效果如圖2所示，圖2中的曲線即為擬合IF曲線，可以隨著迭代次數(shù)的增加，第3階的能量分布越來越集中，證明了GPTFT在面對(duì)頻率變化較快的分量時(shí)依然能夠提供能量高度集中的時(shí)頻分布。最終得到的各階瞬時(shí)頻率曲線如圖3，IF擬合值與理論值基本吻合，說明本算法可以準(zhǔn)確地提取瞬時(shí)頻率。

將上述的IF信息代入式(11)～式(13)得各通道各分量的分解結(jié)果及殘差如圖4所示，圖4中,代表了第通道第階啁啾分量；代表第通道信號(hào)的分解誤差，相比原始信號(hào)分解誤差能量極小。

圖2 第3階頻率分量的擬合迭代過程示意圖Fig.2 Fitting iterative process of the 3rd frequency component

圖3 基于MICCD的瞬時(shí)頻率曲線Fig.3 Instantaneous frequency identification result based on MICCD

圖4 MICCD分解結(jié)果及線差圖Fig.4 MICCD decomposition results

圖4證明了MICCD方法不僅同時(shí)處理多個(gè)通道的信號(hào)，還可以實(shí)現(xiàn)同一種頻率分量的對(duì)齊，且每個(gè)分量的重構(gòu)精度極高。將分解得到的瞬時(shí)振幅(IA)代入式(3)可以得到瞬時(shí)振型，以第2階振型為例，辨識(shí)振型與理論振型隨時(shí)間變化趨勢(shì)如圖5所示，可以在誤差允許的范圍內(nèi)，辨識(shí)振型的變化趨勢(shì)與理論振型保持一致，說明本文方法可以有效地提取結(jié)構(gòu)瞬時(shí)振型。各階振型的MAC曲線如圖6所示，任意時(shí)刻的MAC值都十分接近1，說明瞬時(shí)振型的辨識(shí)精度很高，與理論振型有很高的相關(guān)性。

圖5 第2階瞬時(shí)振型辨識(shí)結(jié)果圖Fig.5 2nd instantaneous mode shape identification result

圖6 基于MICCD的瞬時(shí)振型辨識(shí)結(jié)果曲線Fig.6 Instantaneous mode shape identification result based on MICCD

4.3 對(duì)比分析

為了展示本文方法的優(yōu)越性，又引入MVMD方法對(duì)時(shí)變結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí)。MVMD是在2019年由Rehman等基于單通道VMD方法提出的多通道信號(hào)分解方法，通過建立約束變分模型，實(shí)現(xiàn)多通道信號(hào)非遞歸的自適應(yīng)分解，將多通道信號(hào)在相同的頻率尺度分解為相同數(shù)量的固有模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode functions,IMFs)之和，保證了多通道信號(hào)分解時(shí)各階分量頻率的一致性。

在反復(fù)進(jìn)行模態(tài)分解試驗(yàn)后，選擇最優(yōu)的分解參數(shù)，令分解的IMF數(shù)量為3，帶寬約束參數(shù)為700，迭代收斂容差為10。經(jīng)MVMD分解后，每個(gè)自由度的響應(yīng)均被分解為3個(gè)頻率一致的IMF分量，每一個(gè)IMF分量都反映了時(shí)變結(jié)構(gòu)的某一階固有頻率。為獲得瞬時(shí)固有頻率，本文采用Hilbert變換求解每個(gè)IMF分量,的瞬時(shí)頻率和瞬時(shí)振幅：

(16)

式中:,、,和,分別為第通道第個(gè)IMF的瞬時(shí)相位、瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)振幅。圖7展示了基于MVMD方法得到的瞬時(shí)頻率曲線，由于Hilbert方法直接求得的IF曲線呈現(xiàn)反復(fù)振蕩的特點(diǎn)，并不符合真實(shí)結(jié)構(gòu)的頻率變化規(guī)律，利用式(6)對(duì)其擬合獲得擬合IF曲線，結(jié)果表明前兩階的瞬時(shí)頻率比較準(zhǔn)確，但第3階出現(xiàn)了明顯的模態(tài)混疊現(xiàn)象，瞬時(shí)頻率曲線后半段跳躍到第2階。對(duì)比圖3發(fā)現(xiàn)基于MICCD方法的瞬時(shí)頻率辨識(shí)精度更高，瞬時(shí)振型亦是如此(對(duì)比圖6與圖8)。

圖7 基于MVMD的瞬時(shí)頻率辨識(shí)結(jié)果曲線Fig.7 Instantaneous frequency identification result based on MVMD

圖8 基于MVMD的瞬時(shí)振型辨識(shí)結(jié)果曲線Fig.8 Instantaneous mode shape identification result based on MVMD

5 結(jié)論

1) 引入廣義參數(shù)化時(shí)頻變換(GPTFT)，提高了時(shí)頻面內(nèi)的能量集中程度，再迭代優(yōu)化提高了瞬時(shí)頻率辨識(shí)的準(zhǔn)確率；

2) 擴(kuò)展最小二乘法求解多元線性方程組，充分利用了各通道間的關(guān)系，使得啁啾分量重構(gòu)更加精確，獲得了精確的振幅包絡(luò)和瞬時(shí)振型；

3) MICCD方法需要對(duì)各階的瞬時(shí)頻率進(jìn)行準(zhǔn)確提取作為輸入信息，比MVMD自適應(yīng)方法適用范圍更廣，分解誤差更小，模態(tài)辨識(shí)精度更高。