薛婷婷,卞繼承,姜永勝

(新疆工程學(xué)院數(shù)理學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830000)

1.引言

哈密頓系統(tǒng)廣泛存在于數(shù)理科學(xué),生命科學(xué)以及社會科學(xué)的各個領(lǐng)域,一直是數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的重要研究問題.學(xué)者們通過尋找哈密頓系統(tǒng)的各種參數(shù)和不變量,如周期解、次調(diào)和解、同宿解、異宿解等,來研究哈密頓系統(tǒng)的解以及解的性質(zhì),其中同宿解在分析哈密頓系統(tǒng)的混沌現(xiàn)象中扮演了一個重要角色.非線性動力系統(tǒng)同宿軌的研究始于Poincare時代,主要是采用擾動方法.直到最近幾十年,變分原理才被應(yīng)用于研究哈密頓系統(tǒng),并且取得了一系列有價(jià)值的結(jié)果[1-10].例如,在文[11]中,作者們研究下面的帶p-Laplacian算子的哈密頓系統(tǒng)(簡記HP)

其中t∈R,u∈Rn,p ＞1,W∈C1(R×Rn,R),?W(t,u)是關(guān)于u的梯度.函數(shù)a(t)滿足以下條件

(H0)a∈C(R,R)且存在兩個常數(shù)0＜τ1≤τ2＜∞使得0＜τ1≤a(t)≤τ2＜∞,?t∈R.

文中作者考慮勢函數(shù)W(t,u)滿足超p次和次p次增長組合條件W(t,u)=W1(t,u) +W2(t,u),其中,當(dāng)|u| →∞時,W1(t,u)是超p次增長的,W2(t,u)是無窮遠(yuǎn)處的次p次增長,具體假設(shè)條件如下:

作者們通過山路定理,得到上述系統(tǒng)解的存在性結(jié)果.

本文在已有工作基礎(chǔ)上,引入新的緊嵌入定理,通過臨界點(diǎn)理論,進(jìn)一步研究含有參數(shù)的勢函數(shù)W(t,u)滿足更一般的組合條件

具體假設(shè)條件如下:

注易見,條件(H3)-(H5)比條件(PLHS1)弱;條件(H7)包含了條件(PLHS4),顯然條件(H7)更弱.故本文勢函數(shù)W(t,u)滿足的假設(shè)條件比文[11]中的條件弱,因此本文的結(jié)果在一定程度上推廣了文[11]的工作.

下面給出一個滿足上述條件的例子.

例考慮如下勢函數(shù)

2.預(yù)備知識

3.主要結(jié)果