李軍成, 宋來忠

(1. 湖南人文科技學院 數(shù)學與金融學院, 湖南 婁底 417000; 2. 三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443002)

利用帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù)構造基于Metaball的過渡曲線

李軍成1, 宋來忠2

(1. 湖南人文科技學院 數(shù)學與金融學院, 湖南 婁底 417000; 2. 三峽大學 理學院, 湖北 宜昌 443002)

利用現(xiàn)有勢函數(shù)構造基于Metaball的過渡曲線,此過渡曲線無法兼具擬高階連續(xù)性與形狀可調(diào)性. 針對這一問題, 巧妙地從一種帶形狀參數(shù)的曲線模型出發(fā), 構造一類帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù), 并研究該勢函數(shù)的性質(zhì). 所構造的有理勢函數(shù)具有統(tǒng)一的數(shù)學模型, 不僅能使過渡曲線在端點處達到擬Ck連續(xù), 而且還可通過修改形狀參數(shù)的值調(diào)整過渡曲線的形狀. 實例表明,通過調(diào)整有理勢函數(shù)的次數(shù)及形狀參數(shù)的取值可構造出滿足不同擬連續(xù)性且形狀不同的過渡曲線, 以滿足實際應用需要.

勢函數(shù); 形狀參數(shù); Metaball技術; 過渡曲線; 形狀調(diào)整

Journal of Zhejiang University(Science Edition), 2017,44(3):307-313

在計算機輔助幾何設計(CAGD)中, 曲線造型一直以來都是重要的研究課題. 隨著幾何造型工業(yè)的發(fā)展, 人們往往需要改變曲線的形狀以滿足實際工程的需要. 因此, 帶形狀參數(shù)的曲線造型方法逐漸成為研究熱點. 這些方法的主要目的是在曲線模型中引入形狀參數(shù), 并通過修改形狀參數(shù)的取值實現(xiàn)對曲線形狀的調(diào)整. 例如, 帶形狀參數(shù)的Bézier曲線[1-2], 帶形狀參數(shù)的B樣條曲線[3-4], 帶形狀參數(shù)的三角曲線[5-6]等.

在曲線造型中, 過渡曲線的構造在許多實際工程問題中有著十分廣泛的應用[7-9]. 為滿足過渡曲線的設計要求, 李凌豐等[10]提出了一種基于勢函數(shù)與Metaball技術構造過渡曲線的方法, 該法采用WYVILL等定義的六次多項式勢函數(shù)構造能光滑連接2條曲線的過渡曲線, 雖然對被連接曲線的種類沒有限制, 但所構造的過渡曲線在端點處的連續(xù)性較低，且其形狀無法調(diào)整. 為解決此問題, 高暉等[11]構造了2類勢函數(shù): 第1類為可使過渡曲線在端點處達到擬Ck連續(xù)的多項式勢函數(shù); 第2類為可使過渡曲線在端點處達到擬C1連續(xù)且具有形狀可調(diào)性的混合三角勢函數(shù). 文獻[11]構造的第1類勢函數(shù)，雖然提高了過渡曲線在端點處的擬連續(xù)性, 但仍然無法調(diào)整其形狀; 構造的第2類勢函數(shù)，雖然過渡曲線的形狀可調(diào), 但在端點處的擬連續(xù)性較低. 另外, 2類勢函數(shù)構造過程較為煩瑣，且均無統(tǒng)一的數(shù)學模型, 因此需要重新構造滿足不同情形的勢函數(shù). 與文獻[10-11]類似, 劉華勇等[12-14]研究了基于調(diào)配函數(shù)的過渡曲線構造與連續(xù)性問題, 并給出了可使過渡曲線在兩端點處滿足擬Ck(k=0, 1, 2)連續(xù)的調(diào)配函數(shù). 注意到為了使過渡曲線在滿足一定連續(xù)性的條件下同時具有形狀可調(diào)性, 文獻[12-14]將2條被過渡曲線取為帶形狀參數(shù)的曲線模型. 由于所選取的2條被過渡曲線均帶有形狀參數(shù), 所以所構造的過渡曲線在不改變幾何連續(xù)性的情形下，可通過其所帶的形狀參數(shù)進行形狀調(diào)整. 然而, 在大量實際過渡曲線構造問題中, 2條被過渡曲線的模型往往并不特定. 為此, 李軍成等[15]構造了一類帶參數(shù)的多項式勢函數(shù), 并研究了該勢函數(shù)在構造過渡曲線中的應用. 雖然文獻[15]提出的方法對2條被過渡曲線的種類沒有限制, 而且還可利用勢函數(shù)所帶的參數(shù)對過渡曲線的形狀進行調(diào)整, 但所構造的過渡曲線在兩端點處僅能滿足擬C2連續(xù), 不適合連續(xù)性要求更高的場合.

為滿足更高要求的過渡曲線設計, 本文在文獻[15]的基礎上, 巧妙地從一種帶形狀參數(shù)的曲線模型出發(fā), 構造一類帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù), 該勢函數(shù)不僅具有統(tǒng)一的數(shù)學模型, 而且可使過渡曲線同時具有擬Ck(k≥1)連續(xù)性和形狀可調(diào)性.

1 問題的描述

在解決大量實際工程問題的過程中, 常常需要將數(shù)段零散的曲線段連接成一個整體, 且要求不破壞曲線段的光滑度, 基于 Metaball 的過渡曲線構造就能滿足這一要求[10]. 文獻[10-11]描述了基于Metaball構造過渡曲線的問題: 給定平面上相交于點C的2條參數(shù)曲線P(t)與Q(t), 2條曲線的端點分別記為A與B, 如圖1所示, 希望構造1條能光滑連接A和B點的過渡曲線R(t).

圖1 構造基于Metaball的過渡曲線Fig.1 Construction of transition curves basedon Metaball technique

針對上述問題,文獻[11]給出了過渡曲線的方程：

(1)

其中，0≤t≤1,f(t)為勢函數(shù).

由式(1)可知,為使所構造的過渡曲線在2個端點處達到擬Ck連續(xù),勢函數(shù)f(t)(0≤t≤1)在端點處須滿足

(2)

由于構造過渡曲線R(t)的目的是使曲線P(t)連續(xù)平滑地過渡到Q(t),因此過渡曲線R(t)在靠近曲線P(t)處應與P(t)具有相似的形狀,而在靠近曲線Q(t)處則應與Q(t)具有相似的形狀.由式(1)可知,當給定曲線P(t)與Q(t)時,過渡曲線R(t)的形狀完全由勢函數(shù)f(t)決定,故勢函數(shù)的選取是構造過渡曲線的關鍵.本文的主要目的就是構造一類同時具有多種特性的勢函數(shù),并將其用于構造基于Metaball的過渡曲線.

2 勢函數(shù)的構造及其性質(zhì)

2.1 勢函數(shù)的構造

構造勢函數(shù)的主要思想:首先選取一種恰當?shù)膸螤顓?shù)的曲線模型,然后利用曲線模型在端點處滿足性質(zhì)來構造具有某種特定要求的勢函數(shù).

文獻[16]構造了一種帶5個參數(shù)k,ωi,αi(i=1,2)的曲線,其表達式為

(3)

其中，0≤t≤1,Vi∈Rd(d=2,3;i=0,1,2,3)為給定的控制頂點,bi(t)(i=0,1,2,3)為調(diào)配函數(shù),滿足

(4)

其中,

R(t)= (1-t)k+1+ω1(1-t)k+1t+

ω2(1-t)tk+1+tk+1,

整數(shù)k≥1,實數(shù)ωi>0(i=1,2),α1∈[0,1),α2∈(0,1].

由式(3)定義的曲線在端點處滿足

(5)

其中，1≤i≤k,Ai是與i,ω1,α1有關的常數(shù),Bi是與i,ω2,α2有關的常數(shù).

顯然,式(3)對應的函數(shù)可表示為

f(t)=b0(t)y0+b1(t)y1+b2(t)y2+b3(t)y3，

(6)

其中,bi(t)(i=0,1,2,3)為由式(4)定義的4個調(diào)配函數(shù),yi∈R(i=0,1,2,3).

由式(5)可知,式(6)定義的函數(shù)在端點處滿足

(7)

為了使所構造的過渡曲線在2個端點處達到擬Ck連續(xù),由式(2)和(7)則可得

(8)

由式(8)可得

(9)

將式(9)代入式(6),并令ω1=ω2=ω,可定義如下一類帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù).

定義1 對于整數(shù)k≥1,實數(shù)ω>0,稱關于變量t(0≤t≤1)的函數(shù)

(10)

為帶形狀參數(shù)ω的有理勢函數(shù).

2.2 勢函數(shù)的性質(zhì)

帶形狀參數(shù)ω的有理勢函數(shù)fk(t)具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1 端點性:勢函數(shù)fk(t)在端點處滿足

fk(0)=1,fk(1)=0,

證明 由勢函數(shù)fk(t)的構造過程可知,端點性顯然成立.

注1 由性質(zhì)1及式(1)可得R(0)=P(0),R(1)=Q(1).此即表明,在端點A處,僅曲線P(t)對過渡曲線R(t)有影響;而在端點B處,僅曲線Q(t)對過渡曲線R(t)有影響.

另外,由性質(zhì)1和式(1)并經(jīng)簡單推導可得R(i)(0)=P(i)(0),R(i)(1)=Q(i)(1),i=1,2,…,k.表明勢函數(shù)fk(t)可使過渡曲線R(t)在兩端點處達到擬Ck(k≥1)連續(xù).例如,使過渡曲線在兩端點處分別達到擬C1,C2,C3連續(xù)的勢函數(shù)為

性質(zhì)2 中點性:fk(0.5)=0.5.

證明 由式(10)可得

注2 由性質(zhì)1及式(1)可得

表明在t=0.5處,曲線P(t)與Q(t)對過渡曲線R(t)有相同的影響.

性質(zhì)3 對稱性:fk(t)+fk(1-t)≡1.

證明 由式(10)可得

(11)

故由式(10)與式(11)易得

fk(t)+fk(1-t)≡1.

性質(zhì)4 單調(diào)性:固定k與ω時,勢函數(shù)fk(t)關于變量t單調(diào)遞減.

證明 令

固定k與ω時,由式(10)經(jīng)計算可得

(12)

其中，

(13)

當k≥1,ω>0時,由式(13)可得

(14)

圖2 ω=2時的勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)Fig.2 The potential function fk(t)(k=1,2,3) with ω=2

注3 由性質(zhì)4及式(1)可知,隨著t(0≤t≤1)的增大,曲線P(t)對過渡曲線R(t)的作用逐漸減小,而曲線Q(t)對過渡曲線R(t)的作用則逐漸增大.

性質(zhì)5 形狀可調(diào)性:固定k,當0≤t≤0.5時,勢函數(shù)fk(t)關于參數(shù)ω單調(diào)遞減;當0.5

證明 令

固定k與t,由式(10)，計算得

(15)

圖3 參數(shù)ω取不同值時的勢函數(shù)f1(t)Fig.3 The potential function f1(t) with different values of the parameter ω

注4 由性質(zhì)5知,可通過修改參數(shù)ω(ω>0)的值調(diào)整勢函數(shù)fk(t)的形狀.于是,由式(1)知,當曲線P(t)與Q(t)保持不變時,過渡曲線在兩端點處滿足擬Ck(k≥1)連續(xù)的情形下，可通過修改參數(shù)ω的值對其形狀進行調(diào)整.

綜上所述,本文所構造的有理勢函數(shù)fk(t)不僅與文獻[10-15]中的勢函數(shù)或調(diào)配函數(shù)性質(zhì)完全相同,而且還具有以下特性:

(1)可令過渡曲線在兩端點處達到擬Ck(k≥1)連續(xù).

(2)具有統(tǒng)一的數(shù)學模型.

相對于文獻[10-15]給出的勢函數(shù)或調(diào)配函數(shù),本文構造的有理勢函數(shù)fk(t)具有如下優(yōu)勢:

(1)文獻[10]所采用的勢函數(shù)雖然結構簡單,但所構造的過渡曲線在端點處僅滿足擬C1連續(xù),且無法調(diào)整過渡曲線的形狀.而有理勢函數(shù)fk(t)不僅可令過渡曲線在端點處達到擬Ck連續(xù),而且過渡曲線的形狀還可通過所帶的形狀參數(shù)ω進行調(diào)整.

(2)文獻[11]所構造的2k+1次多項式勢函數(shù)雖然可令過渡曲線在端點處達到擬Ck連續(xù),但無法調(diào)節(jié)過渡曲線的形狀,且滿足不同連續(xù)性要求的勢函數(shù)都需要通過求解方程組重新獲得.而有理勢函數(shù)fk(t)不僅具有統(tǒng)一的數(shù)學模型,而且在令過渡曲線在端點處達到擬Ck連續(xù)的情形下仍可通過修改形狀參數(shù)ω的值實現(xiàn)對過渡曲線形狀的調(diào)整.

(3)文獻[11]所構造的幾類三角混合勢函數(shù)雖然可令過渡曲線具有形狀可調(diào)性,但過渡曲線在兩端點處僅滿足擬C1連續(xù).而有理勢函數(shù)fk(t)不僅可實現(xiàn)過渡曲線的形狀可調(diào),而且還令過渡曲線在兩端點處達到擬Ck連續(xù).

(4)雖然文獻[12-14]所構造的調(diào)配函數(shù)可令過渡曲線同時具有形狀可調(diào)性和在兩端點處滿足擬Ck(k=0,1,2)連續(xù)性,但都是將兩被過渡曲線取為特定的帶形狀參數(shù)的曲線.而利用有理勢函數(shù)fk(t)構造過渡曲線時,不僅實現(xiàn)了形狀可調(diào)和擬Ck連續(xù),而且兩被過渡曲線可取為任意參數(shù)曲線.

(5)文獻[15]所構造的多項式勢函數(shù)，不僅對兩被過渡曲線的種類沒有限制,而且還可通過勢函數(shù)中所帶的參數(shù)調(diào)整過渡曲線的形狀,但過渡曲線在兩端點處僅滿足擬C2連續(xù).而有理勢函數(shù)fk(t)不僅對兩被過渡曲線的種類沒有限制,而且在令過渡曲線在兩端點處達到擬Ck(k≥1)連續(xù)的情形下還可通過勢函數(shù)所帶的參數(shù)對其形狀進行調(diào)整.

3 應用實例

給出以下幾種情形下,利用有理勢函數(shù)fk(t)構造基于Metaball過渡曲線的實例.

(1)直線與直線間的過渡曲線

設兩直線P(t)與Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時,分別利用有理勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過渡曲線，如圖4所示.

圖4 直線與直線間的過渡曲線Fig.4 The transition curve between straight lines

(2)直線與圓弧間的過渡曲線

設直線P(t)與圓弧Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時,分別利用有理勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過渡曲線，如圖5所示.

圖5 直線與圓弧間的過渡曲線Fig.5 The transition curve between straight line and arc

(3)圓弧與圓弧間的過渡曲線

設兩圓弧P(t)與Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時,分別利用有理勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過渡曲線，如圖6所示.

圖6 圓弧與圓弧間的過渡曲線Fig.6 The transition curve between arcs

(4)直線與曲線間的過渡曲線

設直線P(t)與曲線Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時,分別利用有理勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過渡曲線，如圖7所示.

圖7 直線與曲線間的過渡曲線Fig.7 The transition curve between straight line and curve

(5)圓弧與曲線間的過渡曲線

設圓弧P(t)與曲線Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時,分別利用有理勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過渡曲線，如圖8所示.

圖8 圓弧與曲線間的過渡曲線Fig.8 The transition curve between arc and curve

(6)曲線與曲線間的過渡曲線

設兩曲線P(t)與Q(t)的方程分別為

形狀參數(shù)ω取不同值時,分別利用有理勢函數(shù)fk(t)(k=1,2,3)構造滿足擬Ck(k=1,2,3)連續(xù)的不同形狀的過渡曲線，如圖9所示.

圖9 曲線與曲線間的過渡曲線Fig.9 The transition curve between curves

上述實例表明,利用本文提出的帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù)構造基于Metaball的過渡曲線時,可通過選取勢函數(shù)的次數(shù)及形狀參數(shù)值獲得連續(xù)的、形狀不同的過渡曲線,過渡曲線形狀自然,且均可光滑地連接2條被過渡曲線,能滿足不同的實際應用需求.

4 結 語

為了滿足更高要求的過渡曲線設計,本文巧妙地利用一種帶形狀參數(shù)的曲線模型，構造了一類帶形狀參數(shù)的有理勢函數(shù).所構造的勢函數(shù)不僅具有統(tǒng)一的數(shù)學模型,而且在利用該勢函數(shù)構造基于Metaball的過渡曲線時,可令過渡曲線達到擬Ck(k≥1)連續(xù),還可通過修改形狀參數(shù)值調(diào)整過渡曲線的形狀.

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Construction of transition curves based on Metaball technique using rational potential function with a shape parameter.

LI Juncheng1, SONG Laizhong2

(1.CollegeofMathematicsandFinances,HunanUniversityofHumanities,ScienceandTechnology,Loudi417000,HunanProvince,China; 2.CollegeofScience,ChinaThreeGorgesUniversity,Yichang443002,HubeiProvince,China)

Using the existing potential functions to construct transition curve based on Metaball technique, it can not have both quasi high order continuity and shape adjustability. To solving this problem, a rational potential function with a shape parameter is constructed ingeniously from a curve with shape parameters. Some properties of the rational potential function are studied. The rational potential function is expressed as a unified mathematical model, which can not only make the transition curve achieve quasiCkcontinuity at the end points, but also adjust the shape of the transition curve by modifying the value of the shape parameter. Some examples showed that the transition curves with different continuities and shapes could be constructed by changing the degree and the shape parameter of the rational potential function, which could be used to meet different needs of the practical application.

potential function; shape parameter; Metaball technique; transition curve; shape adjustment

2016-01-26.

國家自然科學基金資助項目(11171181);湖南省教育廳資助科研項目(14B099).

李軍成(1982-),ORCID：http://orcid.org/0000-0002-1904-4068，男,博士,副教授,主要從事計算機輔助幾何設計及其應用研究，E-mail:lijuncheng82@126.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.03.011

TP 391

A

1008-9497(2017)03-307-07