熊學(xué)輝，楊書羽，朱春蓮

（1.江漢大學(xué)光電材料與技術(shù)學(xué)院，湖北 武漢 430056；2.武漢墨光科技有限公司，湖北 武漢 430074）

0 引言

透鏡本質(zhì)是一種可實現(xiàn)空間相位變換的元件，不僅具有成像功能，還具有空間傅里葉變換功能［1-2］。透鏡的傅里葉變換性質(zhì)使得傅里葉分析方法在光學(xué)信息處理中得到廣泛應(yīng)用。而4f系統(tǒng)可以實現(xiàn)物體準確的傅里葉頻譜，通過在該系統(tǒng)中的頻譜面上進行有目的的處理可改變物體的像，基本的4f系統(tǒng)進行一些特定的改進可被廣泛應(yīng)用于光學(xué)檢測和光學(xué)圖像處理等領(lǐng)域［3-6］。韓亮課題組［3］為將光學(xué)小波變換應(yīng)用于圖像壓縮，分析了光學(xué)4f系統(tǒng)中圖像實現(xiàn)方式和圖像采集對圖像空間頻率特性的影響。其研究結(jié)果表明，利用光學(xué)4f系統(tǒng)實現(xiàn)光學(xué)小波變換理論，可以極大地減少小波變換所花的時間，具有理論和實用價值。文獻［4］指出，利用4f系統(tǒng)的階躍響應(yīng)對峰峰信噪比和結(jié)構(gòu)相似度指數(shù)都有很好的復(fù)原效果，其分別提高了5 dB和6%左右?？旖菘煽康臏y量技術(shù)一直是非線性光學(xué)研究領(lǐng)域的熱點之一，文獻［5］綜述了利用4f相位相干成像技術(shù)分析測量材料光學(xué)非線性系數(shù)的原理、方法等。王悅等［6］研究了緊湊型矢量光場發(fā)生器中4f系統(tǒng)在橫向和縱向上的精確對齊方法，通過相位圖對系統(tǒng)中的透射式4f系統(tǒng)和反射式4f系統(tǒng)進行縱向?qū)R，以確保生成光場的清晰程度，減小了光場的衍射反應(yīng)，對于其他含4f系統(tǒng)的光路有借鑒意義。4f系統(tǒng)也一直應(yīng)用于激光散斑干涉系統(tǒng)研究［7-9］中。筆者在基于4f系統(tǒng)的散斑干涉法實現(xiàn)圖像相減實驗中，發(fā)現(xiàn)利用4f系統(tǒng)制備的二次曝光散斑全息圖能得到散斑干涉的條紋圖，從而實現(xiàn)后面的濾波和圖像相減；而利用元件個數(shù)少、光路簡單的單透鏡4f成像系統(tǒng)實現(xiàn)的二次曝光全息散斑圖卻不能得到干涉條紋?；谠搶嶒?，筆者對這兩個都能成等大倒立實像系統(tǒng)的成像差別進行了研究，利用標量衍射理論詳細計算推導(dǎo)了這兩種成像系統(tǒng)像面光場的分布。

1 兩種成像系統(tǒng)比較

光學(xué)信息處理系統(tǒng)中，廣泛使用的標準4f系統(tǒng)可以得到物體準確的傅里葉頻譜，經(jīng)過兩個傅里葉變換透鏡，在第二個傅里葉變換透鏡的像方焦平面上得到物體等大倒立的實像。而當物體放在單透鏡的2倍物方焦距處時也能在2倍像方焦距平面上成等大倒立的實像。標準4f系統(tǒng)（見圖1（a））由兩個大口徑傅里葉變換透鏡L1和L2組成，物平面（x0，y0）放在第一個傅里葉變換透鏡L1的物方焦平面，此時物平面到透鏡L1的距離為f，即第一個f距離。物方光場經(jīng)傅里葉透鏡L1后，L1的像方焦平面也就是物方光場的頻譜面（x′，y′），透鏡L1到物方頻譜面的距離也為f，即第二個f距離。該頻譜面距離傅里葉透鏡L2也恰好為焦距距離，為第三個f距離，物方頻譜經(jīng)過第二個透鏡L2的傅里葉變換，在其焦平面處得到物體的像平面，為第四個f距離。因此，物面和像面的距離為4f。圖1（b）為只含有1個成像透鏡L的4f系統(tǒng)，當物平面（x0，y0）放在透鏡的二倍物方焦距處時，成像在二倍像方焦距平面（x，y）處，物平面和像平面間的距離也是4f。

在圖1中標注了各面的特性和坐標符號，也利用幾何光學(xué)作圖法畫出了兩種系統(tǒng)光路示意圖。對于探測光強的成像光學(xué)系統(tǒng)，這兩種系統(tǒng)所成像的性質(zhì)一樣，都成等大倒立的實像。但是對于信息光學(xué)系統(tǒng)，特別是相干光學(xué)系統(tǒng)，需要使用系統(tǒng)的像面光場復(fù)振幅分布特性進行分析。本文將從波動光學(xué)出發(fā)，利用標量衍射理論計算推導(dǎo)兩種系統(tǒng)的像面光場分布。

圖1 兩種等大倒立實像系統(tǒng)光路圖Fig.1 Optical path diagrams of two equal size inverted real image systems

2 單透鏡4f成像系統(tǒng)像面光場復(fù)振幅推導(dǎo)

首先根據(jù)標量衍射理論，利用光線在相距有限距離遠的面間傳播時的菲涅耳衍射模型，推導(dǎo)圖1（b）所示的單透鏡4f成像系統(tǒng)物像光場關(guān)系。設(shè)單位平行光垂直照射到物平面，光波從物平面?zhèn)鞑サ酵哥R前表面，兩面間隔兩倍焦距距離d=2f，可以用菲涅耳衍射模型；由于透鏡元件的相位轉(zhuǎn)換性質(zhì)，透鏡后表面的光場與透鏡前表面的光場并不相同；透鏡后表面到像平面距離也是2f，光波的傳播滿足菲涅耳衍射模型。

具體推導(dǎo)如下：

第一區(qū)間從物面（x0，y0）到透鏡前表面（xl，yl），發(fā)生菲涅耳衍射，z=2f，代入菲涅耳衍射公式，可求得透鏡前表面的光場復(fù)振幅分布

式中，k表示波數(shù)；λ表示波長；U0(x0,y0)表示物平面光場。

第二區(qū)間從透鏡前表面到透鏡后表面，利用理想透鏡的二次相位變換作用得到透鏡后表面光場

將（1）式求得的透鏡前表面光場Ul(xl,yl)代入（2）式，得透鏡后表面光場

第三區(qū)間從透鏡后表面（xl，yl）到像平面（x，y）也是菲涅耳衍射，于是像面光場

將（3）式代入（4）式得

（5）式體現(xiàn)了物平面光場分布與像面光場的關(guān)系，經(jīng)歷了四重積分，對（5）式展開，并對兩個平面上的積分變量（xl，yl）和（x0，y0）分別進行合并同類項，不參與積分的項提出積分外，

化簡式（6）得

將式（7）中

湊成

該項的積分項是常數(shù)1的傅里葉變換，得到脈沖函數(shù)(2fλ)×(2fλ)δ(x0+x,y0+y)，將該積分結(jié)果應(yīng)用到（7）式，得

對于（8）式，還需對物平面上（x0，y0）進行積分，其中被積函數(shù)二次項對像面光場有影響的必定只是物面上以幾何成像所對應(yīng)的物點為中心的微小區(qū)域［1-2］。設(shè)物面像面放大率為M，則在這個微小區(qū)域（x0，y0）可近似為x0=x/M，y0=y/M，在本例中，放大倍數(shù)為M=-1，代入得

這樣該被積項近似與積分變量無關(guān)，可以提到積分外，（8）式繼續(xù)化簡為

對于（9）式積分項，利用δ函數(shù)的篩選性質(zhì)得到

則（9）式最終可化簡得到像面光場復(fù)振幅分布關(guān)系式

由（10）式可知，當物體放在兩倍焦距時，像面光場復(fù)振幅U(x,y)中前面的負號表示物像放大倍數(shù)為-1，成等大倒立的實像，有一個常數(shù)相位因子exp(j4kf)項，以及隨像面不同坐標位置（x，y）變化的相位因子，像方光場含有U0(-x,-y)，說明在像面的光場與物面光場相似，只是像面的坐標系統(tǒng)和物面的坐標系統(tǒng)成鏡像。

以上利用標量衍射理論中光波傳播的菲涅耳衍射模型詳細推導(dǎo)出單透鏡4f系統(tǒng)物像光場關(guān)系（10）式，該式充分體現(xiàn)了像方光場與物方光場函數(shù)相似，只是多了相位因子。幾何成像系統(tǒng)探測的是光強I=U(x,y)U*(x,y)，相位因子對光強分布沒有影響。

3 標準4f系統(tǒng)像面光場的復(fù)振幅推導(dǎo)

由于標準4f系統(tǒng)完成兩次傅里葉變換，所以本節(jié)推導(dǎo)可以不利用最基本的菲涅耳衍射模型，不需要逐面利用菲涅耳衍射模型和透鏡的相位變換特性來推導(dǎo)。很多信息光學(xué)教材［1-2］都推導(dǎo)了當平行光束垂直照射物平面，物體放在物方焦平面時，經(jīng)過單個透鏡的傅里葉變換，在該透鏡的像方焦平面上得到物體的準確頻譜，這一基本傅里葉變換表達式如公式（11）所示。本節(jié)推導(dǎo)就是按標準4f系統(tǒng)布局的兩個透鏡實現(xiàn)兩次傅里葉變換來展開。

在標準4f系統(tǒng)中，物體放在傅里葉透鏡L1的前焦平面，設(shè)物面光場為U0(x0,y0)，則在L1的后焦平面上得到物體的準確傅里葉變換，即物體的頻譜。頻譜面(x′,y′)上的光場復(fù)振幅數(shù)學(xué)表達式為

表明物平面信息U0(x0,y0)經(jīng)透鏡L1的傅里葉變換作用得到物體的頻譜信息U′(x′,y′)。而頻譜U′(x′,y′)再經(jīng)傅里葉透鏡L2變換到像平面（x，y）又完成一次傅里葉變換，得到物體的像平面光場分布U(x,y)，即

將（11）式代入（12）式，得到四重積分，

將上述四重積分函數(shù)里被積指數(shù)函數(shù)變形為傅里葉變換的標準核形式

先將x′,y′積分變量湊成形式，積分變?yōu)?/p>

對被積函數(shù)中含有積分變量x′,y′的項進行合并同類項，得

對于x′,y′積分，上式相當于原函數(shù)為1的傅里葉變換，得到δ函數(shù)

利用δ函數(shù)的性質(zhì)得

上面利用傅里葉變換式詳細推導(dǎo)出標準4f系統(tǒng)像面和物面光場的關(guān)系式（13），前面的負號表示物像放大倍數(shù)為-1，即成等大倒立的像；像面的坐標系統(tǒng)和物面的坐標系統(tǒng)成鏡像，物、像光場只相差一個常數(shù)相位因子exp(j4kf)。

幾何成像系統(tǒng)探測的是光強I=U(x,y)U*(x,y)，相位因子對光強分布沒有影響。

綜合對比單透鏡4f成像系統(tǒng)像面光場復(fù)振幅關(guān)系（10）式和標準4f系統(tǒng)像面光場復(fù)振幅關(guān)系（13）式，發(fā)現(xiàn)兩種系統(tǒng)的像面分布僅僅相差一個相位因子。

4 結(jié)語

本文主要利用標量衍射理論研究了標準4f系統(tǒng)和單透鏡4f系統(tǒng)像面光場復(fù)振幅分布。結(jié)果表明，兩種系統(tǒng)的像面光場都含有因子-exp(j4kf)U0(-x,-y)，但單透鏡4f系統(tǒng)比標準4f系統(tǒng)多了一個隨像面不同坐標位置（x，y）變化的二次相位因子。這兩種成等大倒立實像系統(tǒng)，用人眼或探測器去檢測時，探測的是光強，不受像面光場相位因子的影響，所以這兩種成像沒有差別。但是在更精密的相干信息光學(xué)系統(tǒng)中，如果要用像面光場與另一相干光干涉，那么這時候的相位因子影響就不能忽略，比如散斑干涉二次曝光全息圖，利用單透鏡成像系統(tǒng)制備的干版不能得到預(yù)期的干涉條紋。通過本文的分析，不僅有利于指導(dǎo)實驗，還可以加深學(xué)生對光場復(fù)振幅分布和光強關(guān)系的理解，有助于學(xué)生理解干涉時相位因子的重要性。