雍龍泉

(陜西理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

級(jí)數(shù)在近似計(jì)算、電工學(xué)、信號(hào)處理、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域具有重要的應(yīng)用，級(jí)數(shù)也可以看成是泰勒展開(kāi)式的逆向應(yīng)用[1]。判別級(jí)數(shù)是否收斂的方法較多：針對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，有比較判別法、柯西判別法等；針對(duì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)，主要采用萊布尼茨判別法[2-3]。從理論上證明級(jí)數(shù)收斂性的文獻(xiàn)較多[4-6]，本文不從理論研究級(jí)數(shù)的收斂性，而是借助數(shù)學(xué)軟件繪制級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和的曲線，從直觀上觀察級(jí)數(shù)的收斂性。

1 正項(xiàng)級(jí)數(shù)

表1 例1對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼

圖1 例1級(jí)數(shù)的收斂過(guò)程

表2 例2對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼

圖2 例2級(jí)數(shù)的收斂過(guò)程

表3 例3對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼

表4 例3級(jí)數(shù)的部分和、真實(shí)值e及絕對(duì)誤差

圖3 例3級(jí)數(shù)的收斂過(guò)程 圖4 絕對(duì)誤差圖

圖5 例4級(jí)數(shù)的前200項(xiàng)和 圖6 例4級(jí)數(shù)的前2000項(xiàng)和

圖7 例4級(jí)數(shù)的前10 000項(xiàng)和 圖8 例4級(jí)數(shù)的前100 000項(xiàng)和

2 交錯(cuò)級(jí)數(shù)

表5 例5對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼

表6 例6對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼

圖10 例6級(jí)數(shù)的收斂過(guò)程

表7 例7對(duì)應(yīng)的MATLAB數(shù)值計(jì)算、符號(hào)求和命令的代碼

圖11 例7級(jí)數(shù)的收斂過(guò)程

3 結(jié)語(yǔ)

上面幾個(gè)例子從可視化角度展示了級(jí)數(shù)收斂或發(fā)散的過(guò)程。需要強(qiáng)調(diào)的是，MATLAB符號(hào)求和運(yùn)算函數(shù)symsum盡管調(diào)用方便[7]，但是運(yùn)算非常耗時(shí)(同等條件下耗時(shí)是數(shù)值計(jì)算的50～100倍)，若采用MATLAB數(shù)值計(jì)算，則耗時(shí)不到1 s。因此應(yīng)盡可能少用MATLAB系統(tǒng)自帶的符號(hào)運(yùn)算函數(shù)，以便提高計(jì)算效率。