李世強,宋志強,姚倩茹,劉 琛,劉云賀

(1.西安理工大學 省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室,陜西 西安 710048；2.中鐵第一勘察設計院集團有限公司，陜西 西安 710043)

1 研究背景

混凝土重力壩的失穩(wěn)破壞多是沿建基面或復雜地基的深層滑移面發(fā)生滑動，地震作用下的重力壩抗滑穩(wěn)定是大壩安全控制的重要因素之一，因此，重力壩動力抗滑穩(wěn)定可靠度分析研究具有重要的理論意義和工程應用價值。

目前，關于重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度的研究大多集中在靜力荷載和復雜地基工況[1-4]以及可靠度算法優(yōu)化[5-7]等方面，針對地震作用下考慮結構參數(shù)隨機的重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度研究并不多見。孫平等[8]結合極限分析方法，提出了一種靜力工況下更加合理的考慮巖體抗剪強度各向異性特征的重力壩抗滑穩(wěn)定分析方法。黃靈芝等[9]采用傳統(tǒng)的剛體極限平衡法和JC法，考慮滑動面抗剪斷摩擦系數(shù)和黏聚力系數(shù)的隨機性，分析了某重力壩的抗滑穩(wěn)定可靠度。朱曉斌等[10]提出一種基于貓群算法的加權動態(tài)響應面可靠度分析方法，克服了蒙特卡洛法需要大量計算的缺點，在保證較高的準確度前提下，有效地提高了結構可靠度的計算效率。甘珩佚等[11]在考慮材料敏感性的基礎上，運用動態(tài)位移反分析技術和響應面法建立了重力壩抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程，結合大壩實時變形監(jiān)測數(shù)據(jù)，提出了重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度動態(tài)評估模型，實現(xiàn)了復雜運行條件和多種隨機參數(shù)下重力壩抗滑穩(wěn)定安全的動態(tài)定量評估。何蘊龍等[12]基于首次超越破壞理論，在JC法和泊松過程法基礎上，將隨機變量轉換成隨機過程進行計算，研究了重力壩同時受隨機動力荷載和隨機靜力荷載情況下的抗滑穩(wěn)定。陳穎等[13]基于首次超越破壞理論，提出了同時考慮結構參數(shù)和動荷載隨機性的動力可靠度分析方法。

在我國西南強震區(qū)建有很多重力壩工程，對這些重力壩的抗滑穩(wěn)定可靠度進行分析時，有必要考慮地震動力作用。同時由于實際施工過程中材料分布的不均勻，結構參數(shù)的隨機性也是必須考慮的因素。然而，目前考慮地震荷載和結構參數(shù)雙重隨機的重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度分析研究進展緩慢，難點在于考慮結構參數(shù)隨機的可靠度分析是以隨機變量為基礎，而地震動輸入的動力可靠度分析是以隨機振動理論為基礎，二者很難進行耦合求解。

本文建立了考慮地震動和結構參數(shù)雙重隨機性的重力壩建基面抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程，將隨機地震動輸入產(chǎn)生的壩體水平和豎向慣性力隨機過程的最大值作為隨機變量，嘗試根據(jù)隨機過程參數(shù)獲得此隨機變量的均值和方差，進而將地震荷載和結構參數(shù)雙重隨機性問題統(tǒng)一到隨機變量模式下，采用JC法獲得重力壩建基面抗滑穩(wěn)定可靠度，并進一步考慮地震發(fā)生的概率，分析了重力壩抗滑穩(wěn)定的失效概率，最后分析了各結構隨機參數(shù)對可靠度和失效概率的敏感性。

2 重力壩抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程

靜力工況下，結構可靠度分析常用的功能函數(shù)為：

Z=L-Y

(1)

式中：L為安全界限值；Y為結構響應值；結構功能函數(shù)Z>0的概率即為結構可靠度。

將上述功能函數(shù)運用到結構動力計算中，輸入隨機地震動，結構的響應值是不斷變化的，因此結構功能函數(shù)也是變化的，稱為功能隨機過程[14]：

Z=L-Y(t)

(2)

假定地震動為高斯平穩(wěn)隨機過程，則考慮結構參數(shù)隨機后的重力壩建基面抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程可寫為：

(3)

式中：Z=g(X1,X2,…,Xn)為不考慮地震動作用時的抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程；X1,X2,…,Xn為反映結構參數(shù)變化的隨機變量；FH(t)、FV(t)分別為壩體在高斯平穩(wěn)隨機地震動作用下的水平和豎向地震慣性力，均為高斯平穩(wěn)隨機過程且均值均為0；f′為壩基滑動面抗剪斷摩擦系數(shù)。當Z>0時結構安全，Z<0時結構失效。

上述極限狀態(tài)方程中既含有結構參數(shù)隨機變量，也含有地震動水平和豎向慣性力隨機過程，無法直接進行可靠度的求解。文獻[12]采取將隨機變量轉換為隨機過程的思路，先采用JC法求解g(X1,X2,…,Xn)=0的可靠度，然后用均值和可靠度指標將其表示為隨機過程，再將多個隨機過程轉換為一個已知均值和方差的總隨機過程，進而按照首次超越破壞準則，采用Coleman給出的結構動力可靠概率的計算公式進行可靠度求解。

該方法中的g(X1,X2,…,Xn)=0的隨機變量與靜力荷載有關，與地震動慣性力隨機過程無關，且該研究中的結構參數(shù)是確定性常量。當考慮結構參數(shù)為隨機變量時，即g(X1,X2,…,Xn)=0的隨機變量為與結構參數(shù)有關的隨機變量，其中的密度、彈性模量、泊松比等隨機變量均會對地震動慣性力隨機過程產(chǎn)生影響，即結構參數(shù)隨機變量與地震動慣性力隨機過程相關，因此文獻[12]中的方法不一定適用。

3 基于地震動和結構參數(shù)雙重隨機的動力可靠度分析方法

本文嘗試采用將隨機過程轉換為隨機變量的思路求解上述極限狀態(tài)方程的可靠度。由于按方程式(3)求出的結構可靠度是隨著時間發(fā)生變化的，將方程式(3)中的隨機過程進行功能極小值變換，即：

(t∈[0,T]

(4)

式中：FH max(t)和FV max(t)分別為隨機過程FH(t)和FV(t)在時間區(qū)域[0,T]內的極大值。

依據(jù)結構動力分析可靠度常采用的首次超越破壞準則，即結構極限狀態(tài)函數(shù)首次出現(xiàn)小于零的情況，則認為抗滑穩(wěn)定失效。此時，按方程式(4)求出的可靠度是結構在時間區(qū)域[0,T]內的最小可靠概率，即為[0,T]內的抗滑穩(wěn)定可靠度。根據(jù)隨機振動原理，對于線性結構可以將隨機過程FH(t)和FV(t)的最大值FH max(t)和FV max(t)表示為隨機變量，其均值和方差可以用隨機過程參數(shù)求得：

maxFH(t)=pHσFH

(5)

maxFV(t)=pVσFV

(6)

式中：σFH和σFV分別隨機過程FH(t)和FV(t)的標準差(均值為0時的均方根值)，N；pH和pV為隨機變量。

公式(5)、(6)中兩個隨機變量pH和pV的均值(μ)和方差(σ)可根據(jù)Davenport公式[15]求得：

(7)

(8)

(9)

(10)

將公式(5)、(6)代入公式(4)，得到重力壩抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程為：

(11)

式中：σFH和σFV為隨結構參數(shù)(彈性模量、泊松比、密度等)變化的隨機變量。

采用不含交叉項的二次多項式對隨機變量σFV和σFH進行擬合[17]。假設有n個隨機變量，結構在輸入地震動和結構參數(shù)雙重隨機下的響應均方根值可以表示為：

σFV=fV(x1,x2,…,xn)

(12)

σFH=fH(x1,x2,…,xn)

(13)

式中：aV、aH、bVi、bHi、cVi、cHi均為待定系數(shù)。共有4n+2個系數(shù)，需要4n+2個樣本點對系數(shù)值進行計算。樣本點的選取應盡量在(μx-fσx,μx+fσx)內選取，f的取值一般在1～3之間。有限元模型取樣本點的參數(shù)進行隨機地震動分析得到對應的響應值，即可求得待定系數(shù)。

將公式(12)、(13)代入方程式(11)，則抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程轉化為：

(14)

最終，重力壩沿建基面的動力抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程轉化為由結構參數(shù)隨機變量組成的顯式函數(shù)，可直接采用JC法進行隨機地震動作用下抗滑穩(wěn)定可靠度的求解。

4 考慮雙重隨機性的重力抗滑穩(wěn)定可靠度分析算例

4.1 計算模型

本文以弄另水電站[18]非溢流壩7#壩段的較危險斷面壩0+247.00 m為例進行分析，算例重力壩壩體和地基有限元模型如圖1所示。壩體上、下游水位分別為962.00、941.00 m；該壩段建基面高程為936.50 m，壩頂高程為964.50 m，壩頂寬度為8.00 m。庫水對大壩的作用通過附加質量矩陣計算[19]，防滲帷幕處的滲透壓力折減系數(shù)取0.35，工程壩址處的設計地震烈度為Ⅷ度，設計平坦基巖地表水平加速度峰值為0.2g。

4.2 結構參數(shù)隨機分布

結構可靠度計算時，隨機參數(shù)的選擇對壩體結構抗滑穩(wěn)定有較大影響。本文選擇壩體與基巖滑動面的抗剪斷摩擦系數(shù)f′、抗剪斷黏聚力系數(shù)c′、壩體密度ρ、壩體的彈性模量E1、壩體泊松比μ1、地基的彈性模量E2、地基泊松比μ2共7個隨機參數(shù)，各參數(shù)的均值、變異系數(shù)及分布狀態(tài)統(tǒng)計如表1所示。

圖1 算例重力壩壩體-地基有限元模型

表1 壩體與基巖結構參數(shù)隨機變量統(tǒng)計

考慮以上隨機變量，重力壩沿建基面的抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程為：

Z(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=g(x1,x2，x3)-pHσFH-

(15)

其中：

g(x1,x2,x3)=f′ (G-U)+c′A-P

=x1(x3Vg-U)+x2A-P

(16)

式中：G為壩體自重，N；U為建基面上的揚壓力，N；V為壩體單寬體積，m3；g為重力加速度，m/s2；A為壩體建基面單寬面積，m2；P為作用在壩體上的水平合力，N。

4.3 地震動的隨機

工程場地設計地震烈度為Ⅷ度，平坦基巖地表水平加速度峰值為0.2g。假定地震動加速度時程是均值為0的高斯平穩(wěn)隨機過程，地震動加速度輸入采用金井清過濾白噪聲模型[20]：

(17)

式中：特征頻率ωg=5.2π rad/s，特征阻尼比ξg=0.60。

地面加速度過程的功率譜密度函數(shù)為：

S(ω)= │H(ω)│2S0

(18)

式中：S0為功率譜強度，計算得水平向地震動加速度譜強度SgH=0.0133 m2/s3，豎直向地震動加速度譜強度SgV=0.0059 m2/s3。

計算出的地震動加速度水平向和豎直向功率譜密度(SH、SV)隨頻率(f)的變化曲線見圖2。

圖2 水平向和豎直向的地震動加速度功率譜密度隨頻率變化曲線

4.4 計算結果及分析

通過不含交叉項二次多項式對均方根響應值進行擬合時，選擇壩體的密度ρ、彈性模量E1、泊松比μ1以及地基的彈性模量E2、泊松比μ2作為參數(shù)隨機變量，對模型參數(shù)賦值進行有限元計算，得出一系列地震響應結果，代入公式(12)、(13)求解待定系數(shù)。采用編制的JC法計算程序計算可靠度，其失效概率pf通過公式pf=Φ(-β)計算，其中Φ為標準正態(tài)分布函數(shù)。計算得到該混凝土重力壩沿建基面抗滑穩(wěn)定可靠指標為β=4.23，失效概率pf=0.001 17%。

在計算重力壩地震失效概率時，由于地震動具有隨機發(fā)生的特性，同時也應計算壩址場地地震發(fā)生的概率。未來t年內發(fā)生I度地震的概率分布函數(shù)可近似地表示為[21]：

(19)

式中：ω為地震烈度，其上限值為12；ε為眾值烈度；I為壩址處地震烈度；K為形狀參數(shù)。

壩址處相應的地震烈度的發(fā)生概率P(I)用下式表示：

P(I)=Ft(I+1)-Ft(I)=1-Ft(I)

(20)

計算得出Ⅷ度地震烈度的發(fā)生概率P(I)為12.09%。最終考慮該烈度大小的地震發(fā)生概率后的混凝土重力壩抗滑穩(wěn)定失效概率Pf可以通過下式計算：

Pf=P(I)·pf

(21)

在水利工程中，結構的承載能力標準通過結構允許可靠指標進行控制，結構的允許可靠指標是以年計失效概率計算推導的。假設結構設計基準年Nd與結構的使用年限T相同，即Nd=T，則結構的年計失效概率Py為：

(22)

根據(jù)規(guī)范《水利水電工程結構可靠性設計統(tǒng)一標準》(GB 50199—2013)[22]規(guī)定，1級主要建筑物的設計壽命為100 a，則該壩設計基準期內的年計失效概率Py計算結果如表2所示。

表2 混凝土重力壩地震抗滑穩(wěn)定失效概率

重力壩抗滑穩(wěn)定的可靠性應以可靠指標表示，在考慮地震發(fā)生概率的基礎上以年計失效概率計算重力壩建基面的抗滑穩(wěn)定可靠度指標，根據(jù)公式β=Φ-1(1-Py)進行計算。規(guī)范[22]中規(guī)定，結構可靠度應不小于目標可靠指標，本工程實例計算得到的重力壩建基面抗滑穩(wěn)定可靠度指標β=5.55，滿足規(guī)范中對水工建筑物設計安全的要求。

4.5 結構參數(shù)隨機對可靠度影響分析

為了解結構參數(shù)隨機對重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度的影響，同時開展了結構參數(shù)為常量(除f′、c′外)情況下的可靠度計算，常量的具體數(shù)值取為原隨機分布的均值，并與結構參數(shù)隨機情況下的可靠度分析結果進行對比，如表3所示。由表3可見，壩體參數(shù)隨機使得重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度指標降低，失效概率和年計失效概率增大；壩體參數(shù)確定的工況下結構可靠度指標β=5.20，其結果偏大，會造成失效概率的較大低估。

表3 重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度計算對比分析結果

為進一步了解各單一結構參數(shù)變化對可靠度的影響程度，采用正交試驗法，開展了各隨機變量對可靠度的敏感性分析，將f′、c′、ρ、E1、μ1、E2、μ2這7個參數(shù)均作為影響因素，不考慮各參數(shù)之間的交互作用。分別取各參數(shù)均值的±5%、±15%作為4個試驗水平[23]。根據(jù)正交試驗結果，采用極差法獲得各隨機變量敏感性。各隨機變量對可靠度的敏感性程度Rj如圖3所示。由圖3可知，對重力壩沿建基面的抗滑穩(wěn)定可靠度最為敏感的結構參數(shù)為壩體密度ρ，其次是地基泊松比μ2，滑動面的抗剪斷黏聚力系數(shù)c′和抗剪斷摩擦系數(shù)f′較為敏感，其他參數(shù)影響相對較弱。

圖3 各參數(shù)對重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度敏感性分析結果

5 討 論

本文對比計算了考慮地震發(fā)生概率的地震參數(shù)和結構參數(shù)雙重隨機以及不考慮結構參數(shù)隨機下重力壩建基面抗滑穩(wěn)定可靠度，計算結果顯示參數(shù)雙重隨機下的可靠度指標β=5.55，不考慮結構參數(shù)隨機的可靠度指標β=6.33，考慮參數(shù)雙重隨機的重力壩抗滑穩(wěn)定可靠概率降低，失效概率增大。造成這種現(xiàn)象主要是因為考慮的隨機參數(shù)越多，越接近實際情況，其抗滑穩(wěn)定可靠度越接近真實可靠度。通過正交試驗法對結構隨機參數(shù)進行可靠度敏感性分析的計算結果顯示，壩體密度對結構可靠度最為敏感，極差值為0.403，其次為地基泊松比、滑動面的抗剪斷黏聚力系數(shù)和抗剪斷摩擦系數(shù)，極差值分別為0.351、0.321和0.259，這與相關的研究結果[24]規(guī)律相同。造成這種現(xiàn)象的主要原因是由于壩體密度的變異系數(shù)略大，以及壩體密度與靜力和動力計算過程均有關，故其對綜合可靠度的影響最大。在地震頻發(fā)區(qū)，應更關注結構的動力可靠度，進行動力可靠度分析時考慮地震參數(shù)和結構參數(shù)的隨機性更加符合實際。本文在考慮地震參數(shù)的隨機時采用了高斯平穩(wěn)地震動輸入模型，后續(xù)將采用非平穩(wěn)地震動模型來模擬地震動隨機性，構建更加符合實際的結構動力可靠度分析方法。

6 結 論

本文建立了靜、動力綜合作用下的重力壩建基面抗滑穩(wěn)定極限狀態(tài)方程，將地震荷載和結構參數(shù)雙重隨機性問題統(tǒng)一到隨機變量模式下，提出了考慮地震動和結構參數(shù)雙重隨機性的重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度分析方法，計算了考慮地震發(fā)生概率的抗滑穩(wěn)定年計失效概率，并對各結構參數(shù)對可靠度的敏感性進行了探討，具體結論如下：

(1)將高斯平穩(wěn)隨機地震動產(chǎn)生的壩體水平和豎向慣性力隨機過程的最大值作為隨機變量，根據(jù)隨機過程參數(shù)計算此隨機變量的均值和方差，將地震荷載隨機過程和結構參數(shù)隨機性統(tǒng)一到隨機變量模式下，提出了考慮地震動和結構參數(shù)雙重隨機性的重力壩抗滑穩(wěn)定可靠度分析方法。

(2)應用該方法計算出的考慮地震發(fā)生概率和抗滑穩(wěn)定年計失效概率的可靠度指標滿足規(guī)范要求，不考慮壩體材料參數(shù)隨機，會造成重力壩抗滑穩(wěn)定年計失效概率的低估?？紤]結構材料參數(shù)隨機，各隨機參數(shù)對壩體建基面抗滑穩(wěn)定可靠度的影響不同，其中，壩體材料密度對抗滑穩(wěn)定影響相對較大。