賈英新，華玉龍，田相軒

(1.陸軍裝甲兵學(xué)院軍政基礎(chǔ)系，北京100072； 2.陸軍航空兵學(xué)院無(wú)人機(jī)中心，北京101149； 3.陸軍裝甲兵學(xué)院信息通信系，北京，100072)

1 引言

對(duì)預(yù)定路徑的準(zhǔn)確穩(wěn)定跟蹤是無(wú)人裝備順利執(zhí)行各種任務(wù)的基礎(chǔ)，對(duì)路徑跟蹤進(jìn)行研究具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。文獻(xiàn)[1-5]等研究了無(wú)人艇路徑跟蹤控制問(wèn)題，考慮無(wú)人艇的前后不對(duì)稱性，建立了非完全對(duì)稱數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上結(jié)合line-of-sight (LOS)導(dǎo)引律制定控制器實(shí)現(xiàn)了無(wú)人艇對(duì)預(yù)定路徑的穩(wěn)定跟蹤。然而，與無(wú)人艇相比無(wú)人兩棲平臺(tái)的工作環(huán)境更加復(fù)雜惡劣，工作任務(wù)多樣裝具經(jīng)常變換，使得平臺(tái)模型參數(shù)攝動(dòng)更加劇烈，現(xiàn)有控制律的魯棒性難以滿足要求。

此外，無(wú)人兩棲平臺(tái)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)還存在輸入飽和特性，即只能對(duì)一定范圍內(nèi)的輸入進(jìn)行響應(yīng)，而對(duì)超出范圍的輸入無(wú)法響應(yīng)，輸入飽和特性進(jìn)一步增加了控制器的制定難度。針對(duì)具有輸入飽和特性的路徑跟蹤問(wèn)題，文獻(xiàn)[6-8]引入了飽和補(bǔ)償輔助系統(tǒng)，通過(guò)對(duì)執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)的部分進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，改善了控制器的跟蹤效果；文獻(xiàn)[9，10]利用具有光滑特性的雙曲正切函數(shù)和Nussbaum函數(shù)對(duì)飽和函數(shù)進(jìn)行處理，保證了受限控制系統(tǒng)的穩(wěn)定。這兩種方法雖然都能夠解決系統(tǒng)的輸入飽和問(wèn)題，但也存在控制器制定過(guò)程復(fù)雜、制定的控制器計(jì)算量大不易于工程實(shí)現(xiàn)等不足。

針對(duì)具有輸入飽和的非完全對(duì)稱無(wú)人兩棲平臺(tái)數(shù)學(xué)模型，本文提出了一種更為結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)單的基于干擾觀測(cè)器的抗飽和控制方法。該方法將實(shí)際控制輸入看作不受限的理想控制輸入與執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)的控制輸入兩部分的疊加，后者可被視為等效干擾并與模型不確定性及真實(shí)外界干擾一并應(yīng)用干擾觀測(cè)器進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。由于無(wú)需單獨(dú)的輔助系統(tǒng)對(duì)飽和特性估計(jì)和補(bǔ)償，因而簡(jiǎn)化了控制器的制定過(guò)程；飽和補(bǔ)償與真實(shí)外界干擾補(bǔ)償合二為一，也使得制定的控制器結(jié)構(gòu)更為簡(jiǎn)潔，計(jì)算量小，易于工程實(shí)現(xiàn)。

2 無(wú)人兩棲平臺(tái)結(jié)構(gòu)及數(shù)學(xué)建模

2.1 無(wú)人兩棲平臺(tái)結(jié)構(gòu)

本文研究的無(wú)人兩棲平臺(tái)由某型兩棲車輛改裝而成，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示：兩個(gè)臥式軸流噴水推進(jìn)器以距離2l對(duì)稱布置于平臺(tái)兩側(cè)，推進(jìn)器噴口(即水門)方向固定但大小可調(diào)；當(dāng)水門逐漸關(guān)閉時(shí)多余的水經(jīng)由倒車水道以角度δ向前噴出，當(dāng)兩側(cè)水門開度不同時(shí)兩噴水推進(jìn)器產(chǎn)生不等的推進(jìn)力從而形成轉(zhuǎn)首力矩使得平臺(tái)轉(zhuǎn)向。在實(shí)際中通常將噴水推進(jìn)器的縱向推力與水門開度之間的關(guān)系簡(jiǎn)化為線性，則由幾何關(guān)系可得無(wú)人兩棲平臺(tái)的縱向推力、橫向推力以及轉(zhuǎn)首力矩分別為

圖1 無(wú)人兩棲平臺(tái)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖

(1)

式中：′=sin+(cos)2；和分別表示平臺(tái)的總長(zhǎng)和總寬；表示倒車水道出口至平臺(tái)重心的縱向距離；和分別表示縱向和橫向推力；表示轉(zhuǎn)首力矩；表示反噴系數(shù)；表示推力減額分?jǐn)?shù)；和分別表示噴水推進(jìn)器對(duì)橫向推力和轉(zhuǎn)首力矩的影響系數(shù)。

將水門完全打開記為“1”，水門完全關(guān)閉記為“0”，則實(shí)際中水門開度可響應(yīng)的范圍為，∈[0，1]；相應(yīng)地，根據(jù)式(1)可知、、的可行范圍為

min≤≤max，min≤≤max，

min≤≤max

其中，“·”與“ ·”分別表示“·”的最小值與最大值，且min=-2cos，max=2(1-)，max=-min=(1+)sin，max=-min=(1+)(+′)。

由式(1)的第二、三式易知

=

(2)

由于無(wú)人兩棲平臺(tái)的航行速度通常不高，和變化不大，因此可知近似為常數(shù)，即轉(zhuǎn)首力矩與橫向推力成比例關(guān)系；在船舶領(lǐng)域，由于大部分船舶的舵角是可調(diào)的，因而是變化的，這是無(wú)人兩棲平臺(tái)與船舶最大的不同，這一特性可使得無(wú)人兩棲平臺(tái)的控制問(wèn)題得以簡(jiǎn)化。

2.2 非完全對(duì)稱無(wú)人兩棲平臺(tái)模型

當(dāng)無(wú)人兩棲平臺(tái)在水面上航行時(shí)，可將其視為特殊形狀的船舶，忽略模型不確定性及外界環(huán)境的影響可建立無(wú)人兩棲平臺(tái)的平面三自由度數(shù)學(xué)模型為

(3)

式中：=[，，]∈表示大地坐標(biāo)系下的位置坐標(biāo)和首向角，=[，，]∈表示隨體坐標(biāo)系下的速度；=[，，]表示實(shí)際控制輸入；矩陣()，，()以及分別表示大地坐標(biāo)系到隨體坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣、質(zhì)量矩陣、科里奧利向心力矩陣、以及阻尼矩陣，其數(shù)學(xué)形式分別為

3 飽和控制輸入轉(zhuǎn)換

在工程實(shí)際中，執(zhí)行機(jī)構(gòu)往往存在位置、速度、以及加速度等方面的限制，當(dāng)控制輸入超過(guò)這些界限后就會(huì)使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)陷入飽和，對(duì)于超出的部分則無(wú)法響應(yīng)，進(jìn)而影響系統(tǒng)的性能，甚至破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但如果從最初設(shè)計(jì)階段即將執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性考慮在內(nèi)則可在一定程序上避免飽和問(wèn)題的發(fā)生。

由于式(3)中的控制輸入為實(shí)際控制輸入，則可知∈[，]；引入一個(gè)理想控制輸入∈，為不考慮執(zhí)行機(jī)構(gòu)飽和特性時(shí)求得的控制輸入。與之前的關(guān)系為

(4)

式中：=[min，min，min]，=[max，max，max]。

由于式(4)連續(xù)但不可導(dǎo)，可能使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)出現(xiàn)沖擊，為得到平滑的控制輸入，借鑒文獻(xiàn)[9]和[13]，將式(4)用雙曲函數(shù)代替

(5)

將式(5)代入式(3)可得

(6)

式中：Δ=-為執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)的部分，稱為等效干擾。

至此，執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和特性對(duì)系統(tǒng)的影響已轉(zhuǎn)化為等效干擾對(duì)系統(tǒng)的影響，接下來(lái)的任務(wù)是：設(shè)計(jì)控制器削弱等效干擾的影響，并且使得無(wú)人兩棲平臺(tái)的位置、速度信號(hào)收斂至預(yù)定值，即→，→，其中和表示預(yù)定路徑的位置及速度信號(hào)。

注1：與文獻(xiàn)[6-10]相比，本文對(duì)輸入飽和特性的處理方法具有以下優(yōu)點(diǎn)：

1) 將執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)的部分視為等效干擾，在控制器制定過(guò)程中可與模型不確定性及外界環(huán)境干擾合并處理，無(wú)需單獨(dú)引入輔助控制系統(tǒng)，簡(jiǎn)化了控制器的制定過(guò)程；

2) 在控制器設(shè)計(jì)階段即消除了輸入的限制，可方便利用現(xiàn)有智能算法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，提高了設(shè)計(jì)靈活性。

4 基于LOS導(dǎo)引律的控制問(wèn)題轉(zhuǎn)換

4.1 LOS導(dǎo)引律

()=arctan(′()′())

(7)

圖2 LOS導(dǎo)引律示意圖

本文主要對(duì)無(wú)人兩棲平臺(tái)的直線路徑跟蹤進(jìn)行研究，對(duì)于直線路徑而言，有

(8)

式中：為跟蹤誤差。

與現(xiàn)實(shí)中水手操舵類似，無(wú)人兩棲平臺(tái)在路徑跟蹤過(guò)程中應(yīng)始終朝向點(diǎn)航行，因而無(wú)人兩棲平臺(tái)的期望航向角應(yīng)為

=

(9)

式中，為參考航向角。

同時(shí)考慮到由于操舵以及外界環(huán)境的影響，無(wú)人兩棲平臺(tái)的橫向速度不為零，即平臺(tái)在航行中存在漂角，于是有

=+

(10)

式中，=arctan()；為航向角。

因此，根據(jù)式(8)-(10)可知無(wú)人兩棲平臺(tái)的期望首向角為

(11)

式中，0≤Δ≤Δ≤Δ。

4.2 跟蹤誤差

路徑跟蹤誤差由無(wú)人兩棲平臺(tái)在{}中的坐標(biāo)來(lái)描述，即

(12)

(13)

將式(12)展開可得：

=-(-())sin()+(-())cos()

(14)

對(duì)式(14)求導(dǎo)可得

(15)

根據(jù)式(6)、(7)、(12)及(15)可得無(wú)人兩棲平臺(tái)路徑跟蹤誤差系統(tǒng)為

(16)

根據(jù)文獻(xiàn)[14]的定理1可知：對(duì)于路徑跟蹤誤差系統(tǒng)(16)，在導(dǎo)引律(11)的作用下系統(tǒng)平衡點(diǎn)=0是一致半全局指數(shù)穩(wěn)定()的。這說(shuō)明導(dǎo)引律(11)可將無(wú)人兩棲平臺(tái)對(duì)期望位置的跟蹤簡(jiǎn)化為對(duì)期望航向角的跟蹤，因此，本文接下來(lái)控制目標(biāo)可描述為：設(shè)計(jì)控制律使得無(wú)人兩棲平臺(tái)的航向角和速度信號(hào)收斂至期望值，即→，→。

5 控制器設(shè)計(jì)

在本節(jié)中，將應(yīng)用反步控制理論設(shè)計(jì)兩個(gè)全局一致漸近穩(wěn)定控制器，在設(shè)計(jì)過(guò)程中一個(gè)忽略輸入飽和的影響，記為，另一個(gè)考慮輸入飽和的影響，記為。下面先對(duì)進(jìn)行設(shè)計(jì)：

5.1 忽略輸入飽和影響的控制器(M1)設(shè)計(jì)

定義航向角及速度跟蹤誤差分別為

(17)

(18)

令

(19)

式中：> 0為設(shè)計(jì)參數(shù)?？傻?/p>

Step 2：忽略等效干擾Δ的影響，結(jié)合式(6)并對(duì)式(18)求導(dǎo)可得

(20)

注2：當(dāng)忽略等效干擾Δ后，式(6)與式(3)形式相同，但兩者意義不同：式(3)中的為有界的實(shí)際控制輸入，而式(6)中的為任意連續(xù)的理想控制輸入。

將進(jìn)行擴(kuò)展可得第二個(gè)Lyapunov候選函數(shù)

(21)

對(duì)式(21)求導(dǎo)可得：

(22)

令

(23)

式中：={，，}為待設(shè)計(jì)的正定矩陣。

將式(23)代入式(22)得：

根據(jù)式(5)及式(23)即可求得實(shí)際控制輸入，制定完畢。

注3：的制定過(guò)程是目前普遍采用的，即：

1)忽略輸入飽和的影響，即假設(shè)是理想的不受限的控制輸入(本文以表示)，基于LOS、SF等導(dǎo)引律應(yīng)用backstepping、滑模變控制等算法求出此理想的不受限的控制輸入；

將理想控制輸入通過(guò)飽和函數(shù)或雙曲函數(shù)得到最終實(shí)際控制輸入。

5.2 考慮輸入飽和影響的控制器(M2)設(shè)計(jì)

在本節(jié)中將對(duì)考慮輸入飽和影響的控制器()進(jìn)行設(shè)計(jì)。的設(shè)計(jì)過(guò)程與相同，只不過(guò)由于考慮輸入飽和的影響使得理想控制輸入變?yōu)?/p>

(24)

當(dāng)系統(tǒng)存在模型不確定性及外界干擾時(shí)，一般采用自適應(yīng)算法或觀測(cè)器來(lái)進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，線性狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器將干擾項(xiàng)視為一個(gè)新的狀態(tài)，將狀態(tài)空間由二維擴(kuò)展至三維，通過(guò)狀態(tài)空間的求解實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾項(xiàng)的估計(jì)和補(bǔ)償，目前已在船舶、機(jī)器人、航空航天等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。借鑒文獻(xiàn)[15，16]，本文采用線性狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器來(lái)對(duì)等效干擾Δ進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償。

(25)

聯(lián)立式(24)與式(25)可得

(26)

為分析方便，首先記式(26)中的前四項(xiàng)為

(27)

不失一般性，只對(duì)超出上界的情況進(jìn)行分析。當(dāng)與使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)陷入飽和后，系統(tǒng)將經(jīng)歷以下4個(gè)階段

1)≥，與都使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)陷入飽和，即實(shí)際控制輸入都為=，則實(shí)際控制輸入對(duì)無(wú)人兩棲平臺(tái)做的功相等，即=；而對(duì)于超出上限部分執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)，能量損失分別為Δ，Δ；

2)<，≥，沒(méi)有陷入飽和，陷入飽和，則實(shí)際控制輸入=>，有>，其中-即為對(duì)階段(1)中Δ的部分補(bǔ)償；

綜上，當(dāng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)陷入飽和后，由于具有飽和補(bǔ)償功能，且在前三階段做功更多，可使得無(wú)人兩棲平臺(tái)的狀態(tài)響應(yīng)速度更快。

5.3 穩(wěn)定性分析

由于式(23)與式(26)中的尚未確定，控制輸入無(wú)法求出，下面對(duì)進(jìn)行設(shè)計(jì)?？紤]到路徑跟蹤的控制目標(biāo)之一是使無(wú)人兩棲平臺(tái)的速度跟蹤預(yù)定速度，并且根據(jù)式(18)可知當(dāng)→0時(shí)有→，因此可令=。

聯(lián)立式(2)與式(26)可得：

(28)

綜上，即完成了考慮輸入飽和影響的無(wú)人兩棲平臺(tái)路徑跟蹤控制器設(shè)計(jì)，總結(jié)控制器制定過(guò)程可得如下定理：

證：定義觀測(cè)誤差為

(29)

選取Lyapunov候選函數(shù)為

(30)

將式(30)沿著式(25)求導(dǎo)可得

(31)

6 數(shù)值仿真

本文所研究的無(wú)人兩棲平臺(tái)是在某型兩棲戰(zhàn)車的基礎(chǔ)上改裝而成的，其主要參數(shù)為

=1494

基于Matlab編寫程序并進(jìn)行仿真，結(jié)果如圖3至圖7所示。

圖3 控制輸入時(shí)間響應(yīng)曲線對(duì)比

圖4 控制輸入做功曲線對(duì)比

圖5 無(wú)人兩棲平臺(tái)軌跡曲線對(duì)比

如圖3所示為控制器與控制輸入時(shí)間響應(yīng)曲線對(duì)比，由于與存在比例關(guān)系，因而圖中只列出了的時(shí)間響應(yīng)曲線。由圖可知縱向推力未能使執(zhí)行機(jī)構(gòu)陷入飽和，觀測(cè)器未對(duì)其進(jìn)行飽和補(bǔ)償，因而圖3所示的兩條縱向推力曲線差別不大；但由于差別比較大，導(dǎo)致無(wú)人兩棲平臺(tái)狀態(tài)響應(yīng)不同，因而曲線不會(huì)完全重合。由圖3中曲線可以看出：在仿真初始時(shí)刻及便都使得執(zhí)行機(jī)構(gòu)陷入飽和，0-040為飽和補(bǔ)償?shù)?階段，040-410為飽和補(bǔ)償?shù)?階段，第410-462為飽和補(bǔ)償?shù)?階段，由第52節(jié)理論分析可知，飽和補(bǔ)償前三個(gè)階段所做的功應(yīng)該比大，如圖4所示為實(shí)際控制輸入的做功曲線，由圖可知(462)=29600，(462)=40400，>，說(shuō)明了前文理論分析的正確性；此外，由于與的縱向推力差別不大，由此可知在0-462階段內(nèi)控制輸入做功的差值主要由及產(chǎn)生，因此可推算出在此階段內(nèi)控制下無(wú)人兩棲平臺(tái)首向角的變化應(yīng)該比大，如圖5所示為無(wú)人兩棲平臺(tái)軌跡曲線對(duì)比圖，由圖易知在作用下平臺(tái)的首向角響應(yīng)比快，無(wú)人兩棲平臺(tái)以更快的速度收斂至預(yù)定路徑，說(shuō)明了前面分析的正確性。

圖6 M2作用下無(wú)人兩棲平臺(tái)速度曲線

圖7 狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器對(duì)等效干擾的觀測(cè)結(jié)果

圖6與圖7所示分別為作用下無(wú)人兩棲平臺(tái)速度曲線以及狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)等效干擾的觀測(cè)效果，從另一方面說(shuō)明了可有效實(shí)現(xiàn)無(wú)人兩棲平臺(tái)對(duì)預(yù)定路徑的穩(wěn)定跟蹤。

7 結(jié)論

本文研究了輸入飽和影響下的無(wú)人兩棲平臺(tái)路徑跟蹤控制問(wèn)題，得到了以下3點(diǎn)結(jié)論：

1) 對(duì)實(shí)際控制輸入進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其分解為不受限的理想控制輸入和執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)的控制輸入兩部分，并將執(zhí)行機(jī)構(gòu)無(wú)法響應(yīng)的部分視為等效干擾，此等效干擾可與真實(shí)外界干擾及模型不確定性合并處理，有效簡(jiǎn)化了控制器的制定過(guò)程；

2) 經(jīng)過(guò)實(shí)際控制輸入轉(zhuǎn)換，可將原系統(tǒng)視為不受限的理想輸入控制下的標(biāo)稱系統(tǒng)受到等效干擾的影響，針對(duì)此干擾影響下的標(biāo)稱系統(tǒng)可應(yīng)用多種方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，增加了控制器設(shè)計(jì)的靈活性；

3) 基于標(biāo)稱系統(tǒng)文中應(yīng)用LOS引導(dǎo)律及反步控制設(shè)計(jì)路徑跟蹤控制器，并應(yīng)用干擾觀測(cè)器對(duì)等效干擾進(jìn)行估計(jì)和補(bǔ)償，有效解決了路徑跟蹤控制問(wèn)題。