吳振雨 羅城升 陳保家 王林軍

(1.三峽大學 水電機械設(shè)備設(shè)計與維護湖北省重點實驗室,湖北 宜昌 443002;2.三峽大學 機械與動力學院,湖北 宜昌 443002)

拓撲優(yōu)化是在給定約束的情況下對結(jié)構(gòu)進行設(shè)計,且要在保證結(jié)構(gòu)性能不變的同時得到所需結(jié)構(gòu).隨著Bends?e等[1]提出均勻化方法,連續(xù)體的拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化得到飛速的發(fā)展.Bends?e等[2]提出固體各向同性材料懲罰(SIMP)法;Reitz等[3]提出材料屬性有理近似(RAMP)法,為結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化奠定了基礎(chǔ).Andreassen E等[4-6]編寫了一種高效的拓撲結(jié)構(gòu)優(yōu)化代碼.該代碼包含了靈敏度過濾、密度過濾和Heaviside投影函數(shù)過濾3種過濾方法,以保證優(yōu)化過程的穩(wěn)定性以及避免棋盤格現(xiàn)象.隨著拓撲優(yōu)化的逐漸完善,很多學者在變密度法的基礎(chǔ)上進行了拓展研究.高翔等[7]針對結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中的效率問題,提出一種針對Lagrange乘子的改進導重法過濾技術(shù).陳垂福等[8]基于步長因子進行改進導重法求解拓撲優(yōu)化問題.高翔等[9]提出了一種改進的導重法求解拓撲優(yōu)化問題及抑制灰度單元技術(shù).任毅如等[10]針對自重載荷懸臂梁結(jié)構(gòu)末端不收斂問題進行了研究.焦洪宇等[11]提出了一種基于導重法的結(jié)構(gòu)類周期性布局優(yōu)化方法.江旭東等[12]研究了導重法下的功率流響應(yīng)問題.李啟宏等[13]針對在不同規(guī)模網(wǎng)格下優(yōu)化結(jié)構(gòu)的性能問題,提出了一種改進的SIMP 優(yōu)化方法.趙婉霖等[14]針對SIMP 法提出了一種多約束的連續(xù)體優(yōu)化方法.以上學者的研究涉及到導重法、多約束問題、布局優(yōu)化和抑制灰度單元等領(lǐng)域,但這些研究均未在考慮收斂性問題的基礎(chǔ)上探討提升優(yōu)化效率的問題.因此,本文在基于收斂性問題的基礎(chǔ)上對提升優(yōu)化效率進行了研究.在Heaviside投影函數(shù)的基礎(chǔ)上改進進退法替代二分法進行計算,提高計算效率的同時,提高了收斂性.

1 傳統(tǒng)拓撲優(yōu)化模型

連續(xù)體拓撲優(yōu)化的目標是使得柔度最小[14],其優(yōu)化模型為:

式中:X e為第e個單元的密度;C(X e)為結(jié)構(gòu)柔度;K為整體剛度矩陣;U為位移向量;F為外部載荷;V(X e)為迭代過程中實體的體積;V0為初始設(shè)計域的總體積;f為材料的體積分數(shù)(最終剩余的材料體積占初始設(shè)計域總體積的百分比).設(shè)計變量的取值在0～1之間變化.

SIMP法的插值函數(shù)模型和柔度的靈敏度分別為:

RAMP法的插值函數(shù)模型和柔度靈敏度分別為:

式中:E e為第e個單元的彈性模量;X e為第e個單元的密度;E0和Emin分別為彈性模量的上限和下限;p為SIMP法中的懲罰因子;q為RAMP 法中的懲罰因子.

SIMP和RAMP的體積靈敏度均為:

由圖1可知,在p=1,q=1時,SIMP 為一條線性直線,RAMP 為一條凹曲線.在相同單元密度下,SIMP的彈性模量大于RAMP;p=4,q=4時,SIMP和RAMP兩條曲線相似,但在兩條曲線交點之前,相同密度下SIMP 比RAMP 的彈性模量要小;在p=8,q=8 時,兩條曲線交點之前,在相同的密度下SIMP比RAMP的彈性模量要小.

圖1 SIMP和RAMP插值函數(shù)模型的對比

綜上,SIMP在p=1 到p=4 之間曲線變化較大,但在p越大的時候懲罰力度大于RAMP.RAMP在q逐漸變大時曲線變化較小,整體穩(wěn)定性比SIMP好,但懲罰力度略有不足.采用改進的進退法對這兩種不同的計算彈性模量的方法進行目標函數(shù)的求解,更進一步說明改進進退法的適用性.

2 模型的改進

2.1 迭代方法的改進

二分法及進退法都是一維區(qū)間搜索法,且能有效地求解最小值問題,但二分法的求解效率低于進退法.本文在文獻[9]的基礎(chǔ)上對進退法進行改進.

(1)二分法

2.2 插值函數(shù)模型

由于變密度法所得優(yōu)化結(jié)構(gòu)中存在大量的灰度單元,導致結(jié)構(gòu)邊界不清晰,從而喪失了實際的工程應(yīng)用意義.因此采用Heaviside投影函數(shù)對灰度單元進行抑制,減少結(jié)構(gòu)中的灰度單元數(shù)量,以獲得具有更加清晰邊界的優(yōu)化結(jié)構(gòu).

Sigmund等[6]基于Heaviside投影函數(shù)提出一種插值函數(shù),插值函數(shù)和導數(shù)分別為:

高翔等[7]在Sigmund等[6]的基礎(chǔ)上進行了改進并提出一種新的插值函數(shù),函數(shù)及導數(shù)分別為:

如圖2所示,式(7)和式(9)兩個函數(shù)圖形基本相似,但式(9)相對于式(7)具有一定程度的提升.為了更全面地印證改進進退法的優(yōu)點,采用這兩個插值函數(shù)對改進的進退法和二分法進行對比.

圖2 公式(7)和公式(9)的圖形對比

3 算例驗證

3.1 簡支梁的拓撲優(yōu)化

簡支梁拓撲結(jié)構(gòu)簡圖如圖3所示,簡支梁優(yōu)化離散單元長為120,寬為60.集中載荷在簡支梁下端正中間位置.

圖3 二維簡支梁簡圖

設(shè)置參數(shù)彈性模量上限E0=1,下限Emin=1×10-9,集中力大小F=1,體積比f=0.5,過濾半徑rmin=2.5,SIMP和RAMP的懲罰因子p=3,q=3,β=1.將投影函數(shù)式(7)和式(9)分別應(yīng)用于SIMP和RAMP方法中,分別采用二分法和改進的進退法兩種優(yōu)化算法進行計算.

由于式(7)中部分方法無法收斂,最終結(jié)構(gòu)不可用,故選取式(9)中的結(jié)構(gòu)進行對比,如圖4所示,不論是二分法還是改進的進退法,均能得到較好的拓撲優(yōu)化簡圖.

圖4 簡支梁的拓撲結(jié)構(gòu)簡圖

由圖5和圖6可知,式(7)和式(9)在二分法和改進的進退法兩種迭代模式下,柔度曲線的變化趨勢相同但不完全重合.

圖5 二分法中各公式的柔度迭代過程

圖6 改進的進退法中各公式的柔度迭代過程

由表1可知,改進的進退法所需的迭代數(shù)小于二分法.式(7)采用SIMP方法時.改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了40.9%;式(9)采用SIMP方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了37.1%;式(9)采用RAMP方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了43.8%.

表1 二分法和改進的進退法對簡支梁計算后的結(jié)果

3.2 懸臂梁的拓撲優(yōu)化

懸臂梁拓撲結(jié)構(gòu)簡圖如圖7所示,懸臂梁左端固定,懸臂梁的長為120,寬為50,右下角承受集中載荷F.設(shè)置參數(shù)彈性模量上限E0=1,下限Emin=1×10-9,集中力大小F=1,體積比f=0.5,過濾半徑rmin=2.5,SIMP和RAMP的懲罰因子p=3,q=3,β=1.

圖7 二維懸臂梁簡圖

由于式(7)中SIMP法無法收斂,故選取式(9)的最終拓撲結(jié)構(gòu)簡圖進行對比,如圖8所示,二分法和改進的進退法均能得到較好的拓撲優(yōu)化簡圖.

圖8 懸臂梁的拓撲結(jié)構(gòu)簡圖

由圖9和圖10可知,式(7)和式(9)在二分法和改進的進退法兩種迭代模式下,柔度曲線的變化趨勢相同但不完全重合.

圖9 二分法中各公式的柔度迭代過程

圖10 改進的進退法中各公式的柔度迭代過程

由表2可知,改進的進退法所需的迭代數(shù)小于二分法.式(7)采用RAMP 方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減小了42.9%;式(9)采用RAMP方法時,改進的進退法迭代數(shù)相對于二分法減少了42.3%;式(9)采用SIMP方法時,二分法出現(xiàn)無法收斂的問題,而改進的進退法可以收斂并能得到較好的拓撲優(yōu)化結(jié)構(gòu),且所需的時間也較小.從而可知改進的進退法不僅迭代效率高于二分法,而且收斂效果也優(yōu)于二分法.

表2 二分法和改進的進退法對懸臂梁計算的結(jié)果

4 結(jié)論

本文改進了一種新的進退法,并將其應(yīng)用于兩個不同的插值函數(shù)進行計算.同時采用了SIMP 法和RAMP 法兩種彈性模量插值方法,并增加了本文方法與二分法的對比.兩個算例的計算結(jié)果表明:改進后的進退法相對于二分法,計算所需的步數(shù)以及迭代數(shù)明顯減小,能夠在保證結(jié)構(gòu)柔度的情況下較大地提升迭代的速度.因此,與二分法相比,改進的進退法效率更高,收斂效果更好.

本文僅對普通二維算例進行了研究,以后可將本文方法應(yīng)用于三維以及其他工程方面的算例.