◎楊麗娜

[中國石油大學(xué)(北京)理學(xué)院數(shù)學(xué)系，北京 100000]

空間解析幾何是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)習(xí)多元微積分的基礎(chǔ)空間解析幾何的極值求解是一種綜合題型，考查相關(guān)幾何知識和取得極值的必要條件下面本文針對四種最值問題分別給出求解方法

一、異面直線最短距離

(方法一)與的參數(shù)式如下：

與是與上的任意兩點，則：

(,)=(-2+1)+(-)+(2+1)

則(,)取得極值的必要條件是：

解得的距離為1，即兩條直線間的最短距離

(方法二)過作平行于的平面，該平面法向量可取為：

又平面過點(0,1,-1),該平面方程可寫為：

-2-2(-1)++1=0，即2+2--3=0，

上的點(-1,1,0)到此平面的距離為1，即所求最短距離

(方法三)和的公垂線的方向向量與、垂直，所以有：

=×,?=,

二、曲面與平面的最短距離

2求旋轉(zhuǎn)曲面=+與平面+-2=2之間的最短距離

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

(方法二)在旋轉(zhuǎn)曲面上找一點，使得該點處的切平面平行于已知平面，則該點到已知平面的距離即所求

切平面的法向量為(2,2,-1),

曲面在此點處的切平面與已知平面平行，兩個平面的法向量也平行，則有：

三、求立體體積最值

3已知拋物面=4++的切平面為π，求拋物面上一點，使得介于π、柱面(-1)+=1以及平面=0之間的立體體積最大

設(shè)=4++的切點為(,,)，

則π的法向量為(2,2,-1)，

2(-)+2(-)-(-)=0，

可得駐點(1,0)，且|=5π,=5，

由于實際問題有解，且駐點唯一，所以當(dāng)切點為(1,0,5)時，所求體積最大

在該點處的切平面方程為：

求體積的最小值即求分母的最大值，構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：

四面體體積最小值為：

對于空間解析幾何的最值問題，我們可以應(yīng)用條件極值或無條件極值求解，如果最值問題涉及空間曲面的切平面，則切點的坐標(biāo)是求解的關(guān)鍵

四、求表面積的最值

5設(shè)半徑為的球的球心在半徑為(為常數(shù))的定球面上，為了使前者夾在定球內(nèi)部的表面積最大，求，并求此最大表面積

設(shè)定球的球心在原點，其方程為：

++=，

動球的球心在定球面上，由于對稱性，設(shè)動球的球心在定球面與軸的交點(0,0,)處，則動球面的方程為：

++(-)=，

兩球面的交線為：

把動球面看作平面曲線：

繞著軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)曲面，夾在定球面內(nèi)部的那部分曲面的面積為：

根據(jù)一元函數(shù)取得極值的必要條件：