◎劉得柱

(唐山市第二中學(xué),河北 唐山 063000)

從最近幾年的考題變化來看，以簡單幾何體為載體的線面位置關(guān)系的論證、角與距離的探求是?？汲Ｐ碌臒衢T話題我們?nèi)绾瓮黄屏Ⅲw幾何中的運動變化問題呢？下面本文從三方面加以說明

1 角度一：射影問題

在運動變化過程中，找容易度量的量

1(2018·新課標Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為(A)

圖1

我們?nèi)绾闻袛啻藭r截面的面積最大呢？一個很好的方法就是看截面在底面的投影的面積什么時候最大

圖2中(1)與(2)投影面的面積比較，就是圖3中△與四邊形′′的面積比較

圖2

圖3 比較(1)與(2)的底面投影

圖2中(2)與(3)投影面的面積比較可以用同樣的方法，如圖4

圖4 比較圖(2)與圖(3)的底面投影

這種方法很重要的一個依據(jù)就是，變化過程的對稱性以及變化過程中平面與底面所成的角不變，兩底面間的距離不變，所以投影面的形狀寬度不變，從而容易判斷面積的大小

2(2020·海淀區(qū)期中)如圖5，棱長為6的正方體的一個頂點在平面內(nèi)

圖5

(1)若正方體上與頂點共面的三個頂點、、到的距離最大值為3，且對應(yīng)點為，是正方體的其余四個頂點中的一個，則到平面距離可能是(填寫出所有正確結(jié)論序號)

①3 ②4 ③5 ④6 ⑤7

(1)為了求出各個頂點到平面的距離，我們要注意利用中點的紐帶作用

圖6

這道題與正方體在太陽光下的投影(如圖7)，有異曲同工之妙

圖7

A.(-2，6) B.(-6，2)

C.(-2，4) D.(-4，6)

本題可看作平面中的投影問題

圖8

2 角度二：折疊問題

在運動變化過程中，找沒有發(fā)生變化的量，如角度、長度等

4(2019·新課標Ⅲ)圖9是由矩形、Rt△和菱形組成的一個平面圖形，其中=1，==2，∠=60°將其沿，折起使得與重合，連接，如圖10

圖9

圖10

(1)證明：圖10中的、、、四點共面，且平面⊥平面；

(2)求圖10中的二面角--的大小

(1)推導(dǎo)出∥，∥，從而∥，由此能證明、、、四點共面，推導(dǎo)出⊥，⊥，⊥面，由此能證明平面⊥平面

圖11

本題要注意折疊前===2，⊥，⊥，而折疊后這些信息都沒有變，這些條件正好是我們證明線面垂直和建立坐標系的依據(jù)雖然圖形由二維到三維，發(fā)生了很大的變化，但不變的量是我們解題的依據(jù)

圖12

本題要注意折疊前后′與的長度不變，它們與的垂直關(guān)系不變，這是解題的依據(jù)還有就是角度的轉(zhuǎn)化，由角轉(zhuǎn)為角，角的變化比較明顯(由0°到180°)，很容易觀察

3 角度三：“動態(tài)”問題

在運動變化過程中，找高維度的量

點動成線，線動成面，面動成體，這是很簡單的道理，運用到立體幾何中卻很有效點動的問題看線，線動的問題找面，面動的問題找體

圖13

①∥平面

②△的面積與△的面積相等

③平面⊥平面

④三棱錐-的體積為定值

②點到的距離大于，∴△的面積與△的面積不相等

③隨著、兩點的移動，、掃過的區(qū)域就是對角面，雖然△的形狀在變，但它總在對角面內(nèi)在正方體-中，⊥，⊥，∴⊥面，又面與面是同一面，?面，∴平面⊥平面

④要注意選擇恰當?shù)牡酌妫悦孀鳛槿忮F的底面，點到對角面的距離就是三棱錐的高∵△的面積為定值，三棱錐-的高即線段的一半，也是定值，∴三棱錐-的體積是一個定值

從近幾年高考題目來看，試題注重能力考查，而運動變化問題注重創(chuàng)新，加強了試題的開放性、探究性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)探究的精神，是近幾年高考命題的一個新熱點對于此類問題，我們只需多想一步：“點動之后會怎樣，線動之后會怎樣？”在更廣闊的視野中去觀察、考慮問題，可能會有事半功倍的效果