鞏曉赟 李 超 趙志偉 寧小鵓 張玉祥 韓 明

（1 鄭州輕工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院， 河南 鄭州 450002）

（2 河南中煙工業(yè)有限責(zé)任公司 安陽卷煙廠， 河南 安陽 455004）

（3 鞏義市建設(shè)機(jī)械制造有限公司， 河南 鞏義 451200）

0 引言

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由于工況環(huán)境和全工時(shí)運(yùn)轉(zhuǎn)的工作性質(zhì)，易出現(xiàn)2種甚至3種故障同時(shí)存在的情況。轉(zhuǎn)子不平衡故障是航空發(fā)動機(jī)等旋轉(zhuǎn)機(jī)械常見的故障類型之一，在長時(shí)間運(yùn)行過程中產(chǎn)生的持續(xù)振動對軸承等零部件易造成損傷，導(dǎo)致不平衡軸承等耦合故障的發(fā)生[1-2]。而耦合故障振動信號相較于單一故障振動信號更加復(fù)雜，多種故障成分之間相互影響，相互耦合，導(dǎo)致信號中的弱故障特征被強(qiáng)故障特征和強(qiáng)噪聲成分所覆蓋，信噪比降低，增加了故障診斷的難度[3-5]。

稀疏表示作為一種信號處理方法，由于其稀疏性、高分辨率和強(qiáng)抗干擾能力等優(yōu)點(diǎn)，在機(jī)械故障診斷領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用[6-8]。Tang等[9]提出了一種基于稀疏表示的潛在分量分解方法，實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)噪聲背景下軸承與齒輪弱故障特征的有效識別。樊薇等[10]提出基于小波基的稀疏信號特征提取方法，利用相關(guān)濾波法構(gòu)建最優(yōu)小波冗余基底，并運(yùn)用優(yōu)化最小算法轉(zhuǎn)換信號的瞬態(tài)沖擊成分，實(shí)現(xiàn)了強(qiáng)噪聲背景下弱特征的有效提取。吳芳坦等[11]則采用具有提升總體目標(biāo)凸函數(shù)稀疏性的重疊群稀疏算法，從相關(guān)信號中提取并重構(gòu)出齒輪局部沖擊故障信號。

稀疏表示將信號表示成少量原子的線性組合，實(shí)現(xiàn)信號的稀疏性表達(dá)，可有效匹配信號中具有周期結(jié)構(gòu)特征的優(yōu)質(zhì)信號[12]。但是，稀疏表示的性能依賴于過完備字典參數(shù)的選擇，基于經(jīng)驗(yàn)值的參數(shù)設(shè)置因參數(shù)的復(fù)雜多樣和取值范圍廣，無法直接得到參數(shù)最優(yōu)值[13]。本文中通過多步網(wǎng)格搜索法的交叉驗(yàn)證思想優(yōu)化稀疏表示參數(shù)，降低位移因子和頻率因子對重構(gòu)誤差的影響，提升了耦合故障的稀疏表示性能。首先，以位移因子和頻率因子的搜索范圍構(gòu)成網(wǎng)格面，建立多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示方法模型，通過多步網(wǎng)格搜索選取稀疏表示的最優(yōu)參數(shù)；其次，通過最優(yōu)參數(shù)確定基于自適應(yīng)Gabor原子字典正交匹配追蹤的稀疏表征信號；最后，通過軸承實(shí)測信號進(jìn)行基于徑向基函數(shù)的SVM 的分類與識別，驗(yàn)證了本文中方法的準(zhǔn)確性和耦合故障識別的適用性。

1 稀疏表示理論

1.1 稀疏表示

信號稀疏表示能有效提取非線性復(fù)雜振動信號中的特征[14]。設(shè)長度為p的信號y，可看作Rn的一個(gè)向量，過完備字典D=[d1，d2，…，dn]，則信號y可表示為

式中，xi為基函數(shù)的系數(shù)；x={x1，x2，…，xn}為信號的稀疏矩陣；n＞p。

本文中采用的稀疏表示方法是自適應(yīng)Gabor原子字典的正交匹配追蹤（Orthogonal matching pursuit，OMP）算法[15-16]。計(jì)算過程是通過原始信號建立Gabor 原子的過完備字典，利用OMP 算法對原始信號進(jìn)行匹配計(jì)算，尋找過完備字典中最佳匹配原子并生成殘余信號，根據(jù)殘余信號生成新的過完備字典并進(jìn)行下一次匹配計(jì)算，直到殘余信號滿足條件后終止計(jì)算。

Gabor 原子是一種時(shí)頻原子，具有良好的時(shí)頻逼近性能，能有效匹配到信號中的循環(huán)特征。其基本定義為

式中，g(t) =e-πt2為高斯窗函數(shù)；γ=(s，u，ξ)為原子參數(shù)。

OMP算法的具體計(jì)算過程如下[17]：

輸入：過完備字典D，信號y，尺度因子s。

輸出：重構(gòu)的信號x?。

初始值：殘差r0=y，索引集Λ0=D，迭代步數(shù)t= 1。

Step1：找到殘差r和過完備字典原子dj中內(nèi)積 最 大值所對應(yīng)的腳標(biāo)λ，即λi=arg maxj=1,…,N|＜ri-1，dj＞|。

Step2：更新支撐集Λ=Λt-1∪{λi}，記錄到字典中，重建原子集合Di=[Di-1，dλt]。

Step3：由最小二乘法得到x?=arg min‖ ‖

y-Dtx?t2，并更新殘差rt=y-Dtx?t。

Step4：若t＜s，t=t+ 1，返回step1；若t=s，則停止迭代，輸出重構(gòu)信號x?=x?t。

1.2 參數(shù)設(shè)置對重構(gòu)誤差的影響

由式（2）中可知，Gabor 原子字典內(nèi)部函數(shù)主要由原子γ=(s，u，ξ)決定，尺度因子s、位移因子u和頻率因子ξ不同，對應(yīng)的重構(gòu)誤差不同[18]。在相同迭代下，各參數(shù)值附近10%的變化范圍內(nèi)的重構(gòu)誤差變化如圖1所示。

圖1 Gabor原子參數(shù)對信號重構(gòu)誤差影響Fig.1 Influence of Gabor atomic parameters on signal reconstruction error

將重構(gòu)誤差E作為優(yōu)化目標(biāo)，設(shè)待分解信號為f，過完備字典D={gy(t) }，則f可以分解為

式中，gγ為原子；R1f為殘余信號。殘余信號和原子正交，有

最佳原子gγ n滿足

利用已經(jīng)得到的原子對gγn進(jìn)行正交運(yùn)算，得

根據(jù)式（6），再次計(jì)算殘余信號為

重構(gòu)誤差E是關(guān)于Gabor 函數(shù)和迭代次數(shù)n的函數(shù)。第n+ 1次迭代表示為

則，n+ 1次迭代的重構(gòu)誤差為

式中，f(t)為待處理的時(shí)間信號；AN(t)為待處理信號關(guān)于時(shí)間t的噪聲信號。

2 稀疏表示參數(shù)優(yōu)化模型

為了提高重構(gòu)精度，本文中針對Gabor原子字典的位移因子u和頻率因子ξ進(jìn)行優(yōu)化，通過多步網(wǎng)格搜索的迭代選優(yōu)和OMP算法實(shí)現(xiàn)。

根據(jù)網(wǎng)格搜索法理論，設(shè)搜索空間的坐標(biāo)系r=(u，ξ，E)。其中，u∈(u1，u2)，ξ∈(ξ1，ξ2)共同構(gòu)成網(wǎng)格面u-ξ，步長為L，網(wǎng)格點(diǎn)表示為u∈(u1，u1+L，…，u2)，ξ∈(ξ1，ξ1+L，…，ξ2)。取空間坐標(biāo)系上一點(diǎn)為P，其垂直平面坐標(biāo)為Q(ui，ξi)，P、Q兩點(diǎn)之間距離為dist，對應(yīng)的重構(gòu)誤差為E(n，t)。傳統(tǒng)網(wǎng)格搜索法只進(jìn)行一次搜索，網(wǎng)格中重構(gòu)誤差最小點(diǎn)的位置即認(rèn)為是最優(yōu)參數(shù)，此時(shí)，距坐標(biāo)系距離最小為distmin。則

本文中的多步網(wǎng)格搜索法為多次搜索。設(shè)初始搜索范圍為u∈(u1，u2)，ξ∈(ξ1，ξ2)構(gòu)成的網(wǎng)格面u-ξ，初始步長為L0，網(wǎng)格點(diǎn)表示為u∈(u1，u1+L0，…，u2)，ξ∈(ξ1，ξ1+L0，…，ξ2)。網(wǎng)格中重構(gòu)誤差最小點(diǎn)P0，即為此次搜索的最優(yōu)點(diǎn)，其垂直坐標(biāo)點(diǎn)為Q0，則

再以P0為中心，重新設(shè)定搜索區(qū)域u1∈(u1，u1+L0)，ξ1∈(ξ1，ξ1+L0)，搜 索 步 長 更 新 為L1=L0/2。新搜索區(qū)域的網(wǎng)格點(diǎn)可表示為u1∈(u1，u1+L1，…，u1+L0)，ξ1∈(ξ1，ξ1+L1，…，ξ1+L0)。該區(qū)域重構(gòu)誤差最小點(diǎn)為P1，其垂直坐標(biāo)點(diǎn)為Q1，則

進(jìn)而，以P1為中心設(shè)定搜索范圍，重復(fù)以上搜索流程，直至滿足迭代終止條件L≤α。其中，α是經(jīng)多次迭代試驗(yàn)而保持重構(gòu)誤差不變的最大值。多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示方法模型如圖2所示。

圖2 多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示方法模型Fig.2 Multi-step grid search optimization sparse representation model

3 仿真分析與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 仿真信號分析

為驗(yàn)證多步網(wǎng)格搜索算法優(yōu)化的稀疏表示模型對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡-軸承耦合故障信號的重構(gòu)和降噪性能，構(gòu)建式（15）～式（18），分別仿真軸承正常、單一軸承故障、單一不平衡故障和不平衡-軸承耦合故障。其中，x0表示高斯白噪聲。不平衡-軸承耦合故障的仿真信號如圖3所示。

設(shè)置多步網(wǎng)格搜索算法中的位移因子u和頻率因子ξ初始取值范圍為[-10，10]，初始步長為4，步長迭代停止閾值為0.1。組合位移因子u和頻率因子ξ兩個(gè)參數(shù)，構(gòu)成5×5 的u-ξ網(wǎng)格面，計(jì)算圖3 中耦合故障仿真信號參數(shù)節(jié)點(diǎn)在稀疏表示下的重構(gòu)誤差E和重構(gòu)時(shí)間T。選擇尋優(yōu)結(jié)果中重構(gòu)誤差最小的區(qū)域并更新搜索范圍和步長，直至滿足迭代停止條件。參數(shù)計(jì)算過程及其參數(shù)尋優(yōu)結(jié)果如圖4所示。

圖3 不平衡-軸承耦合故障仿真信號Fig.3 Unbalance-bearing coupling fault simulation signals

由圖4 中可知，當(dāng)位移因子u= 2、頻率因子ξ=2 時(shí)，最小重構(gòu)誤差E=0.361 2。設(shè)定相同的迭代步數(shù)，采用本文中方法與未優(yōu)化參數(shù)的稀疏表示方法分別對圖3 所示的不平衡-軸承耦合故障仿真信號進(jìn)行重構(gòu)，得到如圖5所示耦合故障的重構(gòu)信號與重構(gòu)時(shí)間。對比分析可知，多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示方法能有效提取信號中的循環(huán)特征，突出信號的沖擊成分，保證了參數(shù)優(yōu)化后稀疏表示的準(zhǔn)確性；同時(shí)，參數(shù)優(yōu)化后信號重構(gòu)時(shí)間縮短17.84%，提高了稀疏表示運(yùn)行效率。

圖4 多步搜索流程及最終參數(shù)搜索結(jié)果Fig.4 Multi-step search process and results of parameter search

圖5 重構(gòu)結(jié)果Fig.5 Reconstruction results

為了進(jìn)一步驗(yàn)證多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示模型的重構(gòu)效果，對耦合故障信號加入不同信噪比的噪聲信號，并分別計(jì)算原始信號、未優(yōu)化參數(shù)和已優(yōu)化參數(shù)稀疏表示重構(gòu)信號的信噪比，結(jié)果如圖6所示。由圖6（a）中不同噪聲環(huán)境下信噪比的對比結(jié)果可知，當(dāng)噪聲信號大于1 dB 時(shí)，本文中方法的信噪比結(jié)果大于未優(yōu)化參數(shù)的稀疏表示結(jié)果，且噪聲干擾越大，多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示模型的重構(gòu)效果越好。圖6（b）是加入5 dB噪聲的重構(gòu)信號波形圖，可看出多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏表示方法的降噪效果得到進(jìn)一步提升。

圖6 不同噪聲下耦合故障的降噪效果Fig.6 Noise reduction effect of coupling faults under different noises

圖7 所示為不平衡-軸承耦合故障稀疏表示重構(gòu)信號的包絡(luò)譜結(jié)果。從圖7中可知，采用本文中方法的包絡(luò)譜結(jié)果優(yōu)于未優(yōu)化參數(shù)的包絡(luò)譜結(jié)果，干擾信號減弱，故障特征增強(qiáng)。

圖7 仿真不平衡-軸承耦合故障重構(gòu)包絡(luò)譜Fig.7 Envelope spectrum reconstruction for unbalance-bearing coupling fault simulation

3.2 實(shí)驗(yàn)分析

采用美國SQ 公司機(jī)械故障綜合試驗(yàn)臺模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析驗(yàn)證，分別模擬了轉(zhuǎn)子不平衡故障、負(fù)載端軸承故障、電機(jī)端軸承故障以及其相互之間的耦合故障。圖8 所示為試驗(yàn)臺及其故障設(shè)置示意圖。其中，負(fù)載端軸承型號為ER-12K，電機(jī)端軸承型號為6203；轉(zhuǎn)子不平衡質(zhì)量塊為1 個(gè)螺釘加兩個(gè)墊片，不平衡位置為左側(cè)輪盤外圈第7 個(gè)孔位。實(shí)驗(yàn)中，設(shè)置電機(jī)轉(zhuǎn)速為1 800 r/min，采樣頻率為12 800 Hz，振動信號由加速度傳感器B所采集。

圖8 試驗(yàn)臺及其故障設(shè)置示意圖Fig.8 Diagram of the test bench and its fault setting

利用4 個(gè)實(shí)驗(yàn)案例對本文中提出的方法進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，每個(gè)案例由4 類不同故障類型的信號組成。表1 所示為4 個(gè)實(shí)驗(yàn)案例中信號故障類型的詳細(xì)信息。其中，案例1 的分析基礎(chǔ)為4 類軸承與轉(zhuǎn)子不平衡耦合故障的信號；案例2 為轉(zhuǎn)子不平衡與軸承單一故障的信號；案例3、案例4 分別為單一故障和耦合故障相組合的信號。每個(gè)實(shí)驗(yàn)案例采集240組信號，其中，每類故障信號60 組（訓(xùn)練樣本30組，測試樣本30 組）。

表1 實(shí)驗(yàn)案例信號組成Tab.1 Experimental data signal type

續(xù)表

用本文中所提方法對案例1中的耦合故障信號進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。首先，利用基于多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化模型的稀疏表示方法對案例1 中耦合故障信號進(jìn)行重構(gòu)，圖9 所示為轉(zhuǎn)子不平衡-負(fù)載軸承外圈耦合故障振動信號的重構(gòu)結(jié)果。從圖9中可知，本文方法能夠有效重構(gòu)出振動信號的循環(huán)特征和沖擊成分。

圖9 轉(zhuǎn)子不平衡-負(fù)載軸承外圈耦合故障重構(gòu)信號Fig.9 Reconstruction signals of rotor unbalance loaded bearing outer ring coupling faults

其次，計(jì)算經(jīng)本文方法稀疏重構(gòu)后每組信號的均方根值、頻率方差和尺度熵三維特征。再將案例1中每類信號的三維特征向量輸入基于徑向基函數(shù)的SVM 分類模型進(jìn)行分類。圖10 所示為信號優(yōu)化重構(gòu)前后的特征空間分布圖，圖11 所示為信號優(yōu)化重構(gòu)前后的分類結(jié)果。

圖10 耦合故障信號特征分布圖Fig.10 Coupling fault feature distribution diagram

由圖10 中可以看出，對比基于原始信號和基于優(yōu)化稀疏重構(gòu)后信號的三維特征空間分布情況，原始信號特征在空間分布下很雜亂，不具有聚集性；而經(jīng)過優(yōu)化后的稀疏重構(gòu)信號的各類耦合故障特征在空間中呈現(xiàn)出較好的聚類效果。從圖11 中可以看出，原始信號預(yù)測分類出現(xiàn)了較多錯(cuò)誤樣本，而優(yōu)化重構(gòu)后信號預(yù)測樣本分類結(jié)果的準(zhǔn)確率明顯提高。

圖11 耦合故障分類結(jié)果圖Fig.11 Coupling fault classification diagram

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文中所提方法的效果，又用后3 組案例按照案例1 的分析實(shí)驗(yàn)流程進(jìn)行了驗(yàn)證。圖12 所示為4 組案例的分類準(zhǔn)確率結(jié)果。其中包含了基于原始信號和優(yōu)化前后重構(gòu)信號的分類效果。從圖12 中可以看出，根據(jù)本文中方法優(yōu)化參數(shù)后的稀疏重構(gòu)信號在4組案例中的分類準(zhǔn)確率較原始信號和優(yōu)化前都有明顯提升。其中，案例1中針對純耦合故障信號的分類準(zhǔn)確率較優(yōu)化前提高了8.34%，說明面對復(fù)雜耦合信號，本文中方法具有優(yōu)越性。

圖12 4組案例的分類準(zhǔn)確率Fig.12 Classification accuracy of four cases

4 結(jié)論

針對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不平衡-軸承耦合故障信號中的弱故障特性，提出了多步網(wǎng)格搜索優(yōu)化稀疏診斷方法。通過引入多步網(wǎng)格搜索算法優(yōu)化Gabor原子的位移因子和頻率因子兩個(gè)參數(shù)，降低參數(shù)設(shè)置對重構(gòu)誤差的影響，并采用均方根值、頻率方差和尺度熵3種特征，對信號進(jìn)行了基于徑向基函數(shù)的SVM 的分類與識別。該方法不僅解決了稀疏表示中經(jīng)驗(yàn)選取參數(shù)值的問題，而且提升了抗干擾能力。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)分析表明，相較于未優(yōu)化參數(shù)的稀疏表示方法，本文中方法具有明顯的優(yōu)勢。具體結(jié)論如下：

（1）在低噪聲干擾下，所提方法完整地繼承了稀疏表示方法的優(yōu)點(diǎn)，可有效提取信號的循環(huán)特征，突出信號的沖擊成分，保證了參數(shù)優(yōu)化后稀疏表示的準(zhǔn)確性。

（2）當(dāng)耦合故障特征的噪聲干擾增大時(shí)，所提方法對軸承耦合故障信號的降噪效果明顯，有效降低了噪聲對耦合故障中弱故障特征的影響，提升了稀疏表示的降噪能力和抗干擾能力。

（3）所提方法實(shí)現(xiàn)了稀疏表示中的參數(shù)擇優(yōu)，提高了算法運(yùn)行效率，使稀疏表示的重構(gòu)時(shí)間更短，優(yōu)化后的重構(gòu)信號分類效果更好，準(zhǔn)確率更高。