李麗紅 張發(fā)海 朱 磊

（1 江蘇安全技術(shù)職業(yè)學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院， 江蘇 徐州 221000）

（2 中國(guó)礦業(yè)大學(xué) 材料與物理學(xué)院， 江蘇 徐州 221116）

0 引言

空間三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)剛度大、控制精度高、承載能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用于工業(yè)包裝、航空航天、3D 打印等領(lǐng)域[1]。Vischer 等[2]最早提出三平移DELTA 機(jī)構(gòu)；Tsai等[3]提出一種空間三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其支鏈由平行四邊形機(jī)構(gòu)、移動(dòng)副構(gòu)成。此外，還有一些學(xué)者研究了通過(guò)DELTA 機(jī)構(gòu)衍生出的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)[4]。以上機(jī)構(gòu)都有耦合度大于等于1 的特點(diǎn)，這也使得機(jī)構(gòu)不具有運(yùn)動(dòng)解耦特性，直接導(dǎo)致三平移機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析、運(yùn)動(dòng)規(guī)劃與控制分析過(guò)程十分復(fù)雜。

目前，解耦空間三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)與研究成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者關(guān)注和研究的熱點(diǎn)[5]。毛璽等[6]設(shè)計(jì)了一種支鏈完全對(duì)稱分布且零耦合度的三維純平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)，并根據(jù)螺旋理論方法對(duì)運(yùn)動(dòng)輸出特性進(jìn)行了計(jì)算；建立運(yùn)動(dòng)學(xué)方程并得到機(jī)構(gòu)的位置解、速度、加速度等運(yùn)動(dòng)學(xué)分析；通過(guò)Matlab 和SolidWorks 聯(lián)合仿真得到樣機(jī)的位移、速度、加速度等參數(shù)所對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律曲線圖；在此基礎(chǔ)上，研究得到位置工作空間及其奇異性特征。季曄[7]設(shè)計(jì)了一種弱耦合且無(wú)奇異的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，通過(guò)螺旋理論和Kutzbach-Grubler 公式推導(dǎo)驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)；建立約束方程并得到運(yùn)動(dòng)學(xué)位置方程解析式，根據(jù)雅可比矩陣分析得到機(jī)構(gòu)無(wú)奇異位置特征；根據(jù)五次多項(xiàng)式對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)參考點(diǎn)進(jìn)行了軌跡規(guī)劃。程剛等[8]根據(jù)方位特征集拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)理論，闡述了并聯(lián)機(jī)構(gòu)解耦特性分析過(guò)程，提出一種零耦合度的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)；該機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、位置正逆解分析容易等特點(diǎn)，為該并聯(lián)機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)高精度位置控制提供了可能。沈惠平等[9]針對(duì)三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)控制及軌跡規(guī)劃等較為復(fù)雜的問(wèn)題，提出了一種具有解析式位置正解的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)；計(jì)算出方位特征集為三平移、耦合度為0、自由度為3；推導(dǎo)了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程位置解的符號(hào)解析式，分析操作空間和奇異性特征的性能；最后通過(guò)仿真分析運(yùn)動(dòng)規(guī)律，驗(yàn)證得到與理論計(jì)算一致的結(jié)果。曾達(dá)幸等[10]針對(duì)三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的綜合問(wèn)題，通過(guò)螺旋理論闡述了移動(dòng)副存在的條件，利用支鏈輸入副的選擇原則得到支鏈的運(yùn)動(dòng)副配置，綜合出全局各向同性的三維移動(dòng)解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)；并對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并完成了運(yùn)動(dòng)學(xué)位置分析；建立靈活性的目標(biāo)函數(shù)完成位形優(yōu)化，并進(jìn)行了樣機(jī)研制。朱偉等[11]提出了一種弱耦合且對(duì)稱的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其中，2條支鏈結(jié)構(gòu)為RRPaR，另外一條支鏈結(jié)構(gòu)為PPaP；計(jì)算了幾種重要的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)特征，完成了數(shù)學(xué)方程模型的建立，并得到位置解（正解和逆解）的符號(hào)解析式。

考慮到強(qiáng)耦合三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出強(qiáng)耦合所引起的實(shí)時(shí)控制問(wèn)題，本文中根據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)綜合理論，提出一種耦合度為0 的新型2CPR/UPU 三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和參數(shù)優(yōu)化。

1 并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)分析

1.1 機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)

圖1 2CUP-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structural diagram of parallel mechanism of 2CUP/UPU

1.2 拓?fù)涮匦苑治?/h3>

并聯(lián)機(jī)構(gòu)自由度計(jì)算公式根據(jù)方位特征集拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)綜合理論進(jìn)行計(jì)算[12]，具體定義為

作為衡量并聯(lián)機(jī)構(gòu)復(fù)雜程度的耦合度指標(biāo)，基本運(yùn)動(dòng)鏈的耦合度κ為

式中，mj為第j個(gè)SOCj的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；Ij為第j個(gè)SOCj的驅(qū)動(dòng)副數(shù)。

圖2 2CPR/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)三維模型Fig.2 3D model of 2CPR/UPU parallel mechanism

（1）根據(jù)機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖和三維模型圖，根據(jù)支鏈各運(yùn)動(dòng)副之間的布置特點(diǎn)，分析出支鏈對(duì)應(yīng)的POC集Mbj分別為

式中，Mbj為支鏈j的方位特征集；t為移動(dòng)特征；r為轉(zhuǎn)動(dòng)特征。

②支鏈2、支鏈3 的單開鏈為SOC{-Ci⊥Pi2//Ri3}，（i=2，3）計(jì)算得到支鏈的Mbj為

（2）分析第一條獨(dú)立回路的位移方程，以第2支鏈、第3 支鏈構(gòu)成第一個(gè)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)回路，根據(jù)

式（1），則回路1的位移方程ξLj為

①計(jì)算第2支鏈、第3支鏈構(gòu)成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集為

②將參數(shù)代入式（1），得到由支鏈2、支鏈3 組成的子并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度F2-3為

（3）分析第二條獨(dú)立回路的位移方程拓?fù)涮匦?，以回? 與支鏈1 組成第二回路，將相關(guān)參數(shù)代入式（1），得到回路2的位移方程數(shù)ξL2，有

①并聯(lián)機(jī)構(gòu)的POC集Mpa(1-2-3)為

②得出機(jī)構(gòu)自由度F1-2-3為

（4）約束度Δj分析，根據(jù)上述步驟代入式（3）中。計(jì)算過(guò)程為

結(jié)果分析表明，2CPR/UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有空間三維移動(dòng)的運(yùn)動(dòng)特性，耦合度k為0，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析容易、實(shí)時(shí)控制精度高；另外，位置正解具有符號(hào)解。

2 機(jī)構(gòu)的位置分析

2.1 位置逆解分析

機(jī)構(gòu)位置逆解分析是指通過(guò)動(dòng)平臺(tái)位置輸出得到輸入的表達(dá)式的過(guò)程[13]。設(shè)定動(dòng)平臺(tái)位置中心P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z），即為動(dòng)平臺(tái)位置輸出。將靜坐標(biāo)系{O-xyz}建立在靜平臺(tái)中心。

已知P點(diǎn)坐標(biāo)（x，y，z），利用平移轉(zhuǎn)換原理映射到Ai點(diǎn)在靜坐標(biāo)下的坐標(biāo)點(diǎn)，即A1（x，y-r，z）、A2（x-r，y，z）、A3（x，y+r，z）。同樣，可得到Ai點(diǎn)在靜坐標(biāo)下的坐標(biāo)點(diǎn)B1（0，-R，0）、B2（-R，0，0）、B3（0，R，0）、M1（R，-R，0）、M2（-R，-R，0）、M3（-R，R，0）、M4（R，R，0）。

根據(jù)移動(dòng)副的位移恒定為li，建立約束方程為

對(duì)于支鏈2、支鏈3 而言，B2和B3的位置不固定，通過(guò)向量之間的外積原理，推導(dǎo)得到的關(guān)系等式為

通過(guò)等式（13）和等式（14），得到運(yùn)動(dòng)約束方程為

分離變量得到逆解表達(dá)式為

2.2 位置正解分析

位置正解分析是指已知移動(dòng)副輸入（l1，l2，l3）推導(dǎo)出動(dòng)平臺(tái)執(zhí)行末端位置（x，y，z）的過(guò)程。利用等式（15）推導(dǎo)出運(yùn)動(dòng)學(xué)正解符號(hào)解析式為

3 奇異分析

3.1 機(jī)構(gòu)雅可比矩陣

機(jī) 構(gòu) 的 輸 入l=（l1，l2，l3）T，所 對(duì) 應(yīng) 的 速 度l?=(l?1，l?2，l?3)T，動(dòng) 平 臺(tái) 執(zhí) 行 末 端 位 移X=（x，y，z）T，執(zhí)行末端速度可表示為=(vx，vy，vz)T。

同時(shí)，對(duì)等式（15）求導(dǎo)并分離變量，推導(dǎo)出機(jī)構(gòu)正逆解雅可比矩陣。

式中，Jl為逆雅可比矩陣；JX為正雅可比矩陣。

若JX非奇異，則

[76]Economic Survey of Burma, 1954, Rangoon: Superintendent, Union Govt Printing and Stationery, 1954, p.10.

若Jl非奇異，則

3.2 逆解奇異性分析

機(jī)構(gòu)逆解奇異發(fā)生的條件為det(Jl)= 0 且要求det(JX)≠0。計(jì)算得到det(Jl)表達(dá)式為

det(Jq)= 8l1l2l3（22）

滿足det(Jl) = 0 的條件有3 種情況，分別是支鏈1、支鏈2、支鏈3驅(qū)動(dòng)副位移為0，當(dāng)任意支鏈驅(qū)動(dòng)副位移為0時(shí)，機(jī)構(gòu)處于臨界位置狀態(tài)，該情況下會(huì)處于卡死狀態(tài)。該情況也叫邊界奇異。通過(guò)控制驅(qū)動(dòng)副的移動(dòng)范圍可有效地解決該極限邊界奇異發(fā)生。圖3所示為逆解奇異。

圖3 逆解奇異情形Fig.3 Singular case of inverse solution

3.3 正解奇異性分析

機(jī)構(gòu)正解奇異發(fā)生的條件為det(JX)= 0 且要求det(Jl)≠0。經(jīng)推導(dǎo)計(jì)算得到det(JX)的表達(dá)式為

正解奇異出現(xiàn)條件為det(JX)= 0，即存在條件是x= 0或y=R-r或z= 0。

圖4 正解奇異情形Fig.4 Singular case of positive solution

3.4 混合奇異性分析

機(jī)構(gòu)混合奇異發(fā)生的條件為det(JX)= 0 且det(Jl)= 0，所有支鏈驅(qū)動(dòng)副位移為0，則要求動(dòng)靜平臺(tái)尺寸相同，即R=r。因此，混合奇異存在條件為{l1=l2=l3= 0，R=r}。此時(shí)，動(dòng)靜平臺(tái)理論上重合才能出現(xiàn)該奇異。該奇異失去自由度，應(yīng)當(dāng)在設(shè)計(jì)過(guò)程避免出現(xiàn)。混合奇異如圖5所示。

圖5 混合奇異情形Fig.5 Mixed singular case

4 機(jī)構(gòu)的工作空間分析

機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)范圍主要受主動(dòng)副運(yùn)動(dòng)范圍、運(yùn)動(dòng)學(xué)逆解、轉(zhuǎn)角干涉等約束條件所限制[14]。在仿真分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)工作空間的過(guò)程中，需要結(jié)合這些約束條件，采用極值搜索法得到工作空間的邊界，邊界點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)的集合即搜索得到的工作空間圖形。以表1中的算例參數(shù)值為例。

表1 機(jī)構(gòu)的一組參數(shù)值Tab.1 A set of parameter values of the mechanism

由圖6所示可知，工作空間形狀呈半橢圓形，且工作空間邊界位置光滑，并沒(méi)有空洞，形狀對(duì)稱性較好；在x-o-y投影面關(guān)于y=0 對(duì)稱分布，類似“傘狀”分布；在y-o-z投影面完全關(guān)于y=0 對(duì)稱分布，呈橢圓形狀分布；在x-o-z投影面，形狀類似橢圓形狀，關(guān)于y=0.1對(duì)稱，整個(gè)工作空間較大。

圖6 工作空間三維圖Fig.6 3D diagram of the mechanism workspace

5 并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)靈巧性分析

靈巧度是一種評(píng)價(jià)并聯(lián)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中傳遞精度的性能指標(biāo)。靈巧度越高，機(jī)構(gòu)的各向同性越好[15]；一般根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程的雅可比矩陣進(jìn)行計(jì)算分析。靈巧度具體定義為

當(dāng)GCI= 0 或者接近0 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的雅可比矩陣為病態(tài)矩陣，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能較差，輸入輸出之間的傳遞精度低；反之，當(dāng)GCI= 1 或者接近1 時(shí)，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能較好，且對(duì)應(yīng)的輸入輸出的傳遞精度高，運(yùn)動(dòng)傳遞偏差小。利用上述定義公式，通過(guò)Matlab 軟件，根據(jù)圖7所示靈巧度在工作空間內(nèi)的搜索流程，采用極坐標(biāo)搜索法完成整個(gè)搜索過(guò)程，計(jì)算執(zhí)行末端在操作空間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)靈巧度分布。

圖7 運(yùn)動(dòng)靈巧度搜索流程圖Fig.7 Flow chart of motion dexterity search

圖8所示為機(jī)構(gòu)在工作空間內(nèi)靈巧度分布以及不同高度下靈巧度分布圖。由圖8中可知，工作空間表面的靈巧度分布均勻，當(dāng)z=0 時(shí)，GCI= 0 或者接近0，機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)性能較差，輸入輸出之間傳遞精度差。z=0.1 m 時(shí)，運(yùn)動(dòng)性能由外向內(nèi)越來(lái)越大，機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)精度越來(lái)越高，所對(duì)應(yīng)的靈巧度在中間區(qū)域最大，最大值為0.75左右。z=0.2 m時(shí)，中間區(qū)域的靈巧度略高于邊界區(qū)域的靈巧度，中間區(qū)域的靈巧度最高可達(dá)0.4左右。當(dāng)z=0.3 m和z=0.4 m時(shí)，靈巧度不隨位置而改變，所有的靈巧度相同，各位置分布均勻，傳遞性能一般，輸入輸出之間傳遞精度不高。

圖8 運(yùn)動(dòng)靈巧度分布圖Fig.8 Distribution of movement dexterity

6 尺度綜合

6.1 優(yōu)化模型建立

考慮到實(shí)際工程需求，期望獲得更好的運(yùn)動(dòng)靈活性性能?？赏ㄟ^(guò)優(yōu)化2CPR/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)的幾何設(shè)計(jì)變量來(lái)解決尺寸綜合問(wèn)題。建立目標(biāo)函數(shù)以及給定結(jié)構(gòu)參數(shù)約束范圍分別為

6.2 優(yōu)化算法的選擇

針對(duì)上述含有約束變量的單目標(biāo)問(wèn)題，選擇一種模仿蝗蟲在自然界的群集行為的蝗蟲優(yōu)化算法（Grasshopper optimization algorithm，GOA）[16]對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在求解未知搜索空間的實(shí)際問(wèn)題時(shí)，GOA 算法在迭代過(guò)程中可搜索得到精確的全局最優(yōu)值，具有迭代精度高、擴(kuò)展性強(qiáng)、優(yōu)化效率高的特點(diǎn)[17]?；认x優(yōu)化算法的參數(shù)選取如表2所示。

表2 蝗蟲優(yōu)化算法參數(shù)Tab.2 Parameters of grasshopper optimization algorithm

根據(jù)Matlab 軟件編程得到優(yōu)化目標(biāo)隨迭代次數(shù)的變化圖如圖9 所示。目標(biāo)函數(shù)在迭代次數(shù)為40 左右時(shí)趨于穩(wěn)定，并穩(wěn)定在0.374 2 左右。得到優(yōu)化后的尺寸參數(shù)的最優(yōu)值如表3所示。

圖9 優(yōu)化目標(biāo)隨迭代次數(shù)變化圖Fig.9 Variation of optimization objectives with iteration times

表3 2CUP/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)參數(shù)值對(duì)比Tab.3 Comparison of parameter values of 2CUP-UPU parallel mechanism

6.3 優(yōu)化算例分析

利用優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)參數(shù)得到的靈巧度分布圖如圖10 所示。和之前的初始經(jīng)驗(yàn)值相比，優(yōu)化后的靈巧度得到顯著提高，相比之前提升了將近1倍，性能得到大幅提升；優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)靈巧度分布均勻，邊界表面相比之前得到很大改善，且內(nèi)部的靈巧度最大值最高可達(dá)1。此時(shí)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，傳遞精度高，運(yùn)動(dòng)傳遞偏差小。結(jié)果表明，優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)性能相對(duì)之前更加優(yōu)越；算例分析結(jié)果也說(shuō)明了算法的有效性和可靠性。

圖10 2CUP/UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)優(yōu)化后靈巧度分布圖Fig.10 Distribution of dexterity after optimization of 2CUP-UPU parallel mechanism

7 結(jié)論

（1）設(shè)計(jì)了一種弱耦合的空間三平移并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)。該機(jī)構(gòu)具有輸入輸出實(shí)時(shí)控制精度高、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、工作空間大、控制容易等諸多優(yōu)點(diǎn)。

（2）通過(guò)建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程模型，研究了奇異性存在條件以及工作空間、靈巧度等性能。結(jié)果表明，機(jī)構(gòu)的工作空間性能較大，且邊界光滑無(wú)任何空洞的情況；另外，運(yùn)動(dòng)靈巧度較好且靈巧度分布均勻。

（3）根據(jù)優(yōu)化仿真模型完成了全局靈巧度的優(yōu)化設(shè)計(jì)。最優(yōu)化參數(shù)R、r、l尺寸對(duì)應(yīng)的參數(shù)值分別為1.06、0.8、0.4。優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)全局靈巧度提升約為原來(lái)的2倍，較之前運(yùn)動(dòng)性能更為優(yōu)越。