朱凌云 顧美華 茍向鋒

（天津工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 天津 300387）

0 引言

面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由主動(dòng)直齒輪和共軛面齒輪組成，用于傳遞相交軸或交叉軸之間的運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力。因其具有結(jié)構(gòu)緊湊、體積小、重合度大、傳動(dòng)功率大、分流效果好、噪聲低等諸多優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于直升機(jī)、航空減速器等對(duì)空間占用和質(zhì)量要求嚴(yán)格的重要傳動(dòng)裝置中。

自20 世紀(jì)50 年代美國Fellows Gear Shaper 公司報(bào)道了面齒輪加工方法以來[1]，越來越多的學(xué)者開始致力于面齒輪的研究。Litvin 等[2-5]在面齒輪的設(shè)計(jì)理論、加工方法、應(yīng)力分析等方面做出了杰出貢獻(xiàn)。Feng等[6]建立了漸開線斜齒面齒輪傳動(dòng)全齒面的精確模型。Zhou等[7]提出了一種生成面齒輪齒面幾何形狀的新型包絡(luò)法，并用于面齒輪的數(shù)控銑削加工。Fu等[8]提出了一種新的面齒輪齒廓修形方法，可精確控制其修形參數(shù)。

隨著齒輪設(shè)計(jì)方法及制造工藝的成熟，動(dòng)態(tài)特性對(duì)齒輪傳動(dòng)過程中的穩(wěn)定性和可靠性的影響逐漸成為研究的重點(diǎn)。Lin 等[9-10]建立曲面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，研究了不完全振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)響應(yīng)及扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。Li等[11]建立面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的4 自由度動(dòng)力學(xué)模型，研究了小齒輪齒根疲勞裂紋對(duì)面齒輪傳動(dòng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。Chen 等[12-14]建立6 自由度面齒輪副動(dòng)力學(xué)模型，研究了修形及時(shí)變嚙合剛度對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的影響。Chen 等[15]利用有限元法計(jì)算面齒輪的時(shí)變嚙合剛度，分析了傳動(dòng)誤差激勵(lì)對(duì)面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性的影響。馮光碩等[16]提出了面齒輪非對(duì)稱時(shí)變嚙合剛度的計(jì)算方法。林騰蛟等[17]研究了面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的彎扭動(dòng)力學(xué)模型中的分岔、準(zhǔn)周期運(yùn)動(dòng)和混沌現(xiàn)象。

通常，面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)建模主要采用集中質(zhì)量法，模型中考慮了諸如輸入和輸出軸激勵(lì)、時(shí)變嚙合剛度、齒側(cè)間隙、傳動(dòng)誤差和嚙合阻尼等因素。已有研究結(jié)果對(duì)揭示面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性非常有效，但無法獲得系統(tǒng)的嚙合條件和動(dòng)態(tài)嚙合力。Shi 等[18]提出了一種基于多狀態(tài)嚙合的直齒輪副動(dòng)力學(xué)建模方法，分析其動(dòng)態(tài)嚙合力與嚙合狀態(tài)的變化，為研究齒輪傳動(dòng)中的振動(dòng)提供了新思路。

本文中建立了接近面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)實(shí)際工作狀態(tài)的非線性動(dòng)力學(xué)模型，考慮各種嚙合參數(shù)及實(shí)際嚙合齒廓和由重合度所引起的多狀態(tài)嚙合，計(jì)算了系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力的變化及載荷對(duì)其非線性動(dòng)力學(xué)的影響。

1 非線性動(dòng)力學(xué)模型

面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)由直齒圓柱齒輪和面齒輪組成。主動(dòng)輪為輸入軸上的直齒輪，其質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、驅(qū)動(dòng)力矩和齒數(shù)分別為mp、Ip、Tp和Zp；從動(dòng)輪為輸出軸上的面齒輪，其質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、阻抗力矩和齒數(shù)分別為mf、If、Tf和Zf；Ifx為面齒輪在x軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；y軸和z軸分別為直齒輪和面齒輪的軸線。如圖1所示，面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)可簡化為6自由度的含剛性支撐的彎扭擺振動(dòng)系統(tǒng)。系統(tǒng)參數(shù)如表1所示。

圖1 面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)簡化物理模型Fig.1 A simplified physical model of face-gear transmission system

表1 面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 Parameters of the studied face-gear transmission system

面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的重合度大于1.0，且存在齒側(cè)間隙，傳動(dòng)過程中會(huì)出現(xiàn)齒面嚙合、齒背接觸和脫嚙等3種嚙合狀態(tài)。分別建立了其非線性動(dòng)力學(xué)模型。

1.1 考慮多狀態(tài)嚙合的彎扭擺模型

齒面嚙合、齒背接觸和脫嚙狀態(tài)下的受力分別如圖2（a）、圖2（b）、圖2（c）所示。直齒輪沿z軸和x軸的平動(dòng)位移分別為zp和xp；繞y軸的角位移為θp。面齒輪沿z軸和x軸的平動(dòng)位移分別為zf和xf；繞z軸的旋轉(zhuǎn)角位移為θf；繞x軸的扭擺角位移為θfx。齒面嚙合時(shí)，直齒輪驅(qū)動(dòng)面齒輪沿嚙合線N1N2運(yùn)動(dòng)；齒背接觸時(shí)，面齒輪推動(dòng)直齒輪沿接觸線M1M2運(yùn)動(dòng)。Fnp1、Fnp2分別為沿嚙合線N1N2或接觸線M1M2方向作用在直齒輪輪齒上的正壓力；Fnf1、Fnf2分別為沿嚙合線N1N2或接觸線M1M2方向作用在面齒輪輪齒上的正壓力；Fmp1、Fmp2、Fmf1和Fmf2分別為垂直于嚙合線N1N2或接觸線M1M2的摩擦力。

圖2 面齒輪受力示意圖Fig.2 Force diagram of a face-gear transmission system

根據(jù)齒輪嚙合原理，嚙合輪齒處于雙齒區(qū)時(shí)，齒面嚙合狀態(tài)下，沿嚙合線N1N2方向的總動(dòng)態(tài)嚙合力大于0，即Fnf1+Fnf2＞0；沿嚙合線N1N2方向的相對(duì)位移大于齒側(cè)間隙的一半，即x0＞Dn。齒背接觸狀態(tài)下，沿接觸線M1M2方向的總動(dòng)態(tài)嚙合力小于0，即Fnf1+Fnf2＜0；沿接觸線M1M2方向的相對(duì)位移小于齒側(cè)間隙一半的負(fù)值，即x0＜-Dn。脫嚙狀態(tài)下，作用在輪齒上的力為0，相對(duì)位移滿足-Dn＜x0＜Dn。嚙合輪齒處于單齒區(qū)時(shí)，上述條件中，F(xiàn)np1、Fnf1均為0。多狀態(tài)下的系統(tǒng)絕對(duì)扭彎擺振動(dòng)方程為

式中，cpx和cpz分別為輸入軸上軸承沿x軸和z軸的支承阻尼系數(shù)；kpx和kpz分別為輸入軸上軸承沿x軸和z軸的支承剛度；cfx和cfz分別為輸出軸上軸承沿x軸和z軸的支承阻尼系數(shù)；kfx和kfz分別為輸出軸上軸承沿x軸和z軸的支承剛度；cfxx和kfxx分別為面齒輪在x軸上的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)和支撐剛度；f（xp）和f（zp）分別為軸承在輸入軸上的間隙函數(shù)；f（xf）和f（zf）分別為軸承在輸出軸上的間隙函數(shù)；在“±”和“?”中，當(dāng)齒面嚙合時(shí)，分別取兩符號(hào)上部的“+”和“-”；當(dāng)齒背接觸時(shí)，分別取兩符號(hào)下部的“-”和“+”。

沿N1N2或M1M2方向作用在直齒輪和面齒輪第i對(duì)齒上的正壓力為

式中，Lyi（τ）（y=u，v；i=1，2）為第i對(duì)輪齒的載荷分配系數(shù)，u和v分別對(duì)應(yīng)齒面嚙合和齒背接觸狀態(tài)。

沿嚙合線方向的總動(dòng)態(tài)嚙合力為

式中，τ為時(shí)間；kn（τ）、Cn分別為時(shí)變嚙合剛度和嚙合阻尼系數(shù)；x0為沿嚙合線方向的相對(duì)位移，x0=rbpθp+xpcosα+zpsinα-ryf2θf-xfcosα-zfsinα-e(τ)；e（τ）為綜合傳遞誤差；Dn為齒側(cè)間隙的一半。

面齒輪傳動(dòng)中，直齒輪不受軸向力，面齒輪不受徑向力。根據(jù)其嚙合原理及點(diǎn)接觸原理，面齒輪副所受法向力始終與直齒輪的基圓相切，則嚙合線是一條與直齒輪基圓相切的直線?？梢?，嚙合點(diǎn)到直齒輪回轉(zhuǎn)中心和面齒輪回轉(zhuǎn)中心的距離都是時(shí)變的，且摩擦力的方向總是與嚙合線垂直。

垂直于N1N2和M1M2的摩擦力為

式中，μyi為齒面摩擦因數(shù)。

摩擦力方向系數(shù)為

式中，rp為直齒輪節(jié)圓半徑；rypi（τ）、ryfi（τ）分別為第i對(duì)輪齒上嚙合點(diǎn)到直齒輪和面齒輪中心的距離，計(jì)算式分別如式（6）、式（7）所示。

式中，Sypi、Syfi分別為第i對(duì)輪齒上嚙合點(diǎn)到直齒輪和面齒輪中心的摩擦力臂，計(jì)算式分別由式（8）～式（10）所示。式中，ha為齒頂高；α、ωp分別為直齒輪節(jié)圓壓力角和角速度；αc為面齒輪壓力角，αc=α+arccos(rf/ryfi)；rf為節(jié)點(diǎn)到面齒輪軸心的距離，rf=mzf/2；T0為單雙齒交替嚙合周期，T0= 2π/zpωp；rff、rfm分別為點(diǎn)M1到點(diǎn)P和回轉(zhuǎn)中心的距離。

將式（1）無量綱化，即為

式中，q分別代表x1、x2、z1和z2；d為軸承間隙，d=bpx/D0=bpz/D0=bfx/D0=bfz/D0。

1.2 系統(tǒng)無量綱歸一化彎-扭-擺模型

齒側(cè)間隙和重合度大于1.0，決定面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)存在單/雙齒齒面嚙合、單/雙齒齒背接觸和脫嚙等多種嚙合狀態(tài)。相對(duì)位移大于齒側(cè)間隙的一半且嚙合力大于0，即x3≥D且Fn＞0時(shí)，系統(tǒng)處于單/雙齒齒面嚙合；x3≤D且Fn＜0 時(shí)，系統(tǒng)處于單/雙齒齒背接觸；當(dāng)-D＜x3＜D且Fn= 0時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生脫嚙。

定義嚙合力在x方向的狀態(tài)函數(shù)rx（t，x3）為

式中，rxd（t，x3）、rxs（t，x3）分別為雙、單齒嚙合在x方向的狀態(tài)函數(shù)，可分別由式（14）和式（15）求得；j為周期數(shù)。

定義嚙合力在z方向的狀態(tài)函數(shù)rz（t，x3）為

雙齒嚙合和單齒嚙合在z方向的狀態(tài)函數(shù)rzd（t，x3）和rzs（t，x3）可分別由式（17）、式（18）求得。

嚙合狀態(tài)函數(shù)h（t、x3）、rzf（t、x3）可分別由式（19）、式（20）求得。

式中，hd（t，x3）、rzfd（t，x3）和hs（t，x3）、rzfs（t，x3）分別為雙齒嚙合和單齒嚙合的狀態(tài)函數(shù)，可分別由式（21）～式（24）求得。

將狀態(tài)函數(shù)式（15）～式（26）引入到面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)模型中，則可化為包含5種狀態(tài)的無量綱歸一化扭彎擺模型，即

式中，f（x3）為齒側(cè)間隙函數(shù)，計(jì)算式為

無量綱非線性動(dòng)態(tài)嚙合力Fn可用來判別嚙合狀態(tài)，其方向與x3相同，可由式（27）計(jì)算得到。

由式（27）中可見，與現(xiàn)有非線性動(dòng)力學(xué)模型相比，本文中所建立的含多狀態(tài)嚙合的系統(tǒng)扭彎擺非線性模型中，考慮了嚙合剛度、載荷分配率、摩擦、齒側(cè)間隙和綜合傳動(dòng)誤差等因素，有以下特點(diǎn)：①包含的狀態(tài)函數(shù)h（t，x3）和rzf（t，x3）可以準(zhǔn)確反映面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的嚙合狀態(tài)。②包含的狀態(tài)函數(shù)rz（t，x3）明確區(qū)分了單齒嚙合和雙齒嚙合。③可通過方程中有關(guān)齒廓的時(shí)變參數(shù)來分析齒廓變形和修形對(duì)面齒輪系統(tǒng)的影響。④動(dòng)態(tài)嚙合力可準(zhǔn)確說明其對(duì)嚙合狀態(tài)的影響。

2 動(dòng)態(tài)嚙合力與嚙合狀態(tài)分析

根據(jù)重合度計(jì)算方法，可得面齒輪的近似重合度εm=1.72。此時(shí)，嚙合齒對(duì)出現(xiàn)單、雙齒交替，其嚙合區(qū)域劃分如圖3 所示。圖3 中，AD為嚙合線的工作部分，A和D分別為嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)，P為節(jié)點(diǎn)，BC為單齒嚙合區(qū)（對(duì)應(yīng)輪齒上的B1C1），AB和CD為雙齒嚙合區(qū)（對(duì)應(yīng)輪齒上的A1B1和C1D1）。沿嚙合線AD的載荷分配率可根據(jù)文獻(xiàn)[19]求得。

圖3 沿嚙合線嚙合區(qū)域的劃分Fig.3 Division of engagement area along the action line

為了說明動(dòng)態(tài)嚙合力與嚙合狀態(tài)之間的關(guān)系，嚙合頻率ω分別取1.1、2.1和3.4，分析其動(dòng)態(tài)特性及不同嚙合狀態(tài)發(fā)生機(jī)理。式（25）中的其他無量綱參數(shù)取k11=k12=k13= 0.15，k21=k22=k23= 0.3，k31= 0.3，k32=0.32，k33= 0.31，k= 0.3，ξ31= 0.06，ξ32= 0.07，ξ33= 0.012，ξ11=ξ12= 0.01，ξ23= 0.07，ξ= 0.05，ξ13=ξ21=ξ22= 0.06，ε= 0.2，F(xiàn)= 0.14。

2.1 齒面嚙合

圖4所示為嚙合頻率ω=1.1時(shí)，面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)嚙合力隨無量綱時(shí)間t的變化及其相圖。由圖4中可見，動(dòng)態(tài)嚙合力始終大于0，相對(duì)位移x3大于無量綱齒側(cè)間隙D的一半，表明系統(tǒng)處于齒面嚙合狀態(tài)，未發(fā)生脫嚙、齒背嚙合。圖5所示為ω=1.1時(shí)的載荷分配率（圖5（a））和動(dòng)態(tài)嚙合力（圖5（b））沿嚙合線的分布圖。圖5 中，點(diǎn)A和點(diǎn)D分別為嚙入點(diǎn)和嚙出點(diǎn)。根據(jù)載荷分配率，動(dòng)態(tài)嚙合力不均勻地分配給兩對(duì)齒。當(dāng)嚙合點(diǎn)從點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，n+1 齒對(duì)上的動(dòng)態(tài)嚙合力逐漸減小，n齒對(duì)上的動(dòng)態(tài)嚙合力增加。n+1齒對(duì)在點(diǎn)B處分離，系統(tǒng)進(jìn)入單齒嚙合；n-1 齒對(duì)在點(diǎn)C進(jìn)入嚙合。單雙齒切換時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力發(fā)生突變。動(dòng)態(tài)嚙合力的波動(dòng)增加了系統(tǒng)的不穩(wěn)定性，會(huì)導(dǎo)致齒輪在運(yùn)行時(shí)產(chǎn)生振動(dòng)。

圖4 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性（ω=1.1）Fig.4 Dynamic characteristics of the system（ω=1.1）

圖5 ω=1.1時(shí)沿嚙合線的動(dòng)態(tài)特性Fig.5 Dynamic characteristics along the action line when ω=1.1

2.2 脫嚙

圖6所示為嚙合頻率ω=2.1時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)嚙合力隨無量綱時(shí)間t的變化及其相圖。由圖6 中可見，動(dòng)態(tài)嚙合力周期性地出現(xiàn)等于0的情況，其相對(duì)位移x3也會(huì)小于無量綱齒側(cè)間隙D的一半。這表明脫嚙周期性發(fā)生。齒面嚙合與脫嚙交替進(jìn)行將使齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)行不平穩(wěn)。圖6（a）中的局部放大圖揭示了從齒面嚙合切換到脫嚙時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力發(fā)生突變，加劇了系統(tǒng)振動(dòng)。

圖6 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性（ω=2.1）Fig.6 Dynamic characteristics of the system（ω=2.1）

圖7 所示為ω=2.1 時(shí)，載荷分配率（圖7（a））和動(dòng)態(tài)嚙合力（圖7（b））沿嚙合線的分布圖。當(dāng)嚙合點(diǎn)在單齒嚙合區(qū)內(nèi)從點(diǎn)C移動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，n齒對(duì)和n-1齒對(duì)上的總動(dòng)態(tài)嚙合力及其分量逐漸減小。總動(dòng)態(tài)嚙合力在點(diǎn)a處減小至0，預(yù)示嚙合齒對(duì)即將發(fā)生脫嚙。隨著動(dòng)態(tài)嚙合力的反向增加，最終發(fā)生齒面脫離。動(dòng)態(tài)嚙合力的波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致嚙合狀態(tài)發(fā)生變化?？倓?dòng)態(tài)嚙合力的波動(dòng)將引起面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中出現(xiàn)輪齒脫離、產(chǎn)生振動(dòng)。

圖7 ω=2.1時(shí)沿嚙合線的動(dòng)態(tài)特性Fig.7 Dynamic characteristics along the action line when ω=2.1

2.3 齒背接觸

圖8所示為嚙合頻率ω=3.4時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)齒背接觸，其動(dòng)態(tài)嚙合力隨無量綱時(shí)間t的變化及其相圖。動(dòng)態(tài)嚙合力的大小出現(xiàn)了Fn＞0、Fn=0 和Fn＜0 三種情況，相對(duì)位移x3也對(duì)應(yīng)地出現(xiàn)了x3＞D、D＜x3＜-D和x3＜-D三種情況，這說明此時(shí)系統(tǒng)中出現(xiàn)了齒面嚙合、脫嚙和齒背接觸三種情況。由圖8（a）中的局部放大部分可以看出，嚙合狀態(tài)改變時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力發(fā)生波動(dòng)，導(dǎo)致了齒輪傳動(dòng)過程中的振動(dòng)。

圖8 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性（ω=3.4）Fig.8 Dynamic characteristics of the system（ω=3.4）

圖9（a）、圖9（b）和圖9（c）、圖9（d）所示分別為圖8（a）中兩處局部放大部分中從齒面嚙合到脫嚙的載荷分配率（圖9（a））和動(dòng)態(tài)嚙合力（圖9（b））和從齒背接觸到脫嚙時(shí)的載荷分配率（圖9（c））和動(dòng)態(tài)嚙合力（圖9（d））沿嚙合位置的分布圖。由圖9（b）中可見，當(dāng)嚙合點(diǎn)從嚙合線上的點(diǎn)A移動(dòng)到雙齒嚙合區(qū)的點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力減小，在點(diǎn)a處減小至0 后反向增加，其作用方向在點(diǎn)a處發(fā)生突變，說明嚙合齒對(duì)即將脫嚙。動(dòng)態(tài)嚙合力在單齒嚙合區(qū)BC的點(diǎn)b處等于0，此時(shí)，面齒輪系統(tǒng)發(fā)生脫嚙。動(dòng)態(tài)嚙合力的波動(dòng)導(dǎo)致輪齒脫離。由圖9（d）中可見，當(dāng)嚙合點(diǎn)從嚙合線中的點(diǎn)A移動(dòng)到嚙合點(diǎn)C附近時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力的絕對(duì)值減小。它在點(diǎn)a處減小至0 后增加。動(dòng)態(tài)嚙合力的作用方向在點(diǎn)a處突變，說明齒背接觸狀態(tài)即將結(jié)束。動(dòng)態(tài)嚙合力在雙齒嚙合區(qū)CD的點(diǎn)b處等于0，系統(tǒng)發(fā)生脫嚙。動(dòng)態(tài)嚙合力的波動(dòng)導(dǎo)致脫嚙和振動(dòng)。

圖9 ω=3.4時(shí)沿嚙合線的動(dòng)態(tài)特性Fig.9 Dynamic characteristics along the action line when ω=3.4

綜上，由單對(duì)齒嚙合和雙對(duì)齒嚙合交替產(chǎn)生的振動(dòng)發(fā)生在嚙合線的特定位置。由嚙合狀態(tài)的切換引起的齒面振動(dòng)和齒背振動(dòng)發(fā)生在嚙合線的任何位置。動(dòng)態(tài)嚙合力在方向上的突變導(dǎo)致系統(tǒng)嚙合狀態(tài)的轉(zhuǎn)變。

3 載荷對(duì)非線性動(dòng)力學(xué)行為的影響

考慮多狀態(tài)嚙合的扭彎擺面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)具有強(qiáng)非光滑非線性特征，其解析求解困難。本文中采用4階Runge-Kutta法數(shù)值求解，利用相圖、Poincaré映射圖、分岔圖和最大Lyapunov 指數(shù)（TLE）圖分析面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為。為了系統(tǒng)研究面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)和多狀態(tài)嚙合特性，定義3個(gè)不同的Poincaré截面為：

（1）時(shí)間截面Poincaré 映射，Γn={(x1，x?1，x2，x?2，x3，x?3，z1，z?1，z2，z?2，z3，z?3，t) ∈R12×R+，mod(t，2π/ω) = 0}。

（2）齒面截面Poincaré 映射，Γp={(x1，x?1，x2，x?2，x3，x?3，z1，z?1，z2，z?2，z3，z?3，t) ∈R12×R+，x3=D}。

（3）齒背截面Poincaré 映射，Γb={(x1，x?1，x2，x?2，x3，x?3，z1，z?1，z2，z?2，z3，z?3，t) ∈R12×R+，x3= -D}。

數(shù)值求解不同截面的Poincaré映射。時(shí)間映射用于研究周期激勵(lì)系統(tǒng)的周期解。相軌跡每次到達(dá)齒面截面/齒背截面時(shí)發(fā)生一次碰撞?；邶X面/齒背截面內(nèi)的Poincaré 映射可以判斷相軌跡和齒面/齒背間的接觸次數(shù)。系統(tǒng)的周期性運(yùn)動(dòng)和碰撞特性由符號(hào)n-p-b來表征。其中，n為周期運(yùn)動(dòng)數(shù)；p、b分別為齒面碰撞和齒背碰撞的數(shù)量。

當(dāng)齒輪系統(tǒng)在不同嚙合狀態(tài)之間切換時(shí)發(fā)生振動(dòng)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性和可靠性造成影響。本小節(jié)中主要分析載荷對(duì)系統(tǒng)非線動(dòng)力學(xué)的影響。

取無量綱參數(shù)k= 0.3，k11=k12=k13= 0.15，k21=k22=k23= 0.3，k31= 0.3，k32=0.32，k33= 0.31，ξ31=0.06，ξ32= 0.07，ξ33= 0.012，ξ11=ξ12= 0.01，ξ23=0.07，ξ= 0.05，ξ13=ξ21=ξ22=0.06，ε= 0.2，ω=2.6。系統(tǒng)隨載荷增大的分岔圖及對(duì)應(yīng)的TLE 如圖10 所示。其中，青色表示時(shí)間截面Γn內(nèi)的分岔圖，紅色表示齒面截面Γp內(nèi)的分岔圖，藍(lán)色表示齒背截面Γb內(nèi)的分岔圖。即青色為面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)隨載荷變化時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性變化過程，可將其分解至齒面截面Γp（紅色）及齒背截面Γb（藍(lán)色）內(nèi)。

由圖10 中可見，當(dāng)F＜F1=0.005 1 時(shí)，系統(tǒng)按照1-1-0 的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，在系統(tǒng)1 個(gè)周期1 運(yùn)動(dòng)內(nèi)，因?yàn)榘l(fā)生了脫嚙而出現(xiàn)1 次齒面碰撞，未發(fā)生齒背接觸。圖11中，“·”為時(shí)間截面映射點(diǎn)，“△”為齒面截面映射點(diǎn)。圖11（a）、圖11（b）所示分別為F=0.002 時(shí)的相圖與動(dòng)態(tài)嚙合力。當(dāng)載荷增大至F=0.005 1 時(shí)，系統(tǒng)進(jìn)入混沌運(yùn)動(dòng)，其TLE 大于0，出現(xiàn)脫嚙和齒背接觸。圖11（c）、圖11（d）所示分別為F=0.01時(shí)的Poincaré 映射圖和動(dòng)態(tài)嚙合力變化圖。此時(shí)，嚙合力在Fn＞0、Fn=0 和Fn＜0 間 變 化。當(dāng) 載 荷 增 大 至F2=0.103 1 時(shí)，發(fā)生鞍結(jié)分岔，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)退化為2-1-0運(yùn)動(dòng)，在系統(tǒng)1 個(gè)周期2 運(yùn)動(dòng)內(nèi)發(fā)生1 次齒面碰撞。圖11（e）、圖11（f）所示分別為F=0.105 時(shí)的相圖、映射圖與動(dòng)態(tài)嚙合力隨時(shí)間的變化圖。當(dāng)載荷增大至F3=0.109 6 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生擦切，其齒面碰撞增至系統(tǒng)1 個(gè)周期2 運(yùn)動(dòng)內(nèi)出現(xiàn)兩次，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為2-2-0，其相圖、映射圖與動(dòng)態(tài)嚙合力隨時(shí)間變化如圖11（g）、圖11（h）所示。對(duì)照?qǐng)D11（f）、圖11（h）可見，當(dāng)F從左向右經(jīng)過F3點(diǎn)之后，M區(qū)域中的動(dòng)態(tài)嚙合力從Fn＞0 向Fn=0 的偏移，表明系統(tǒng)的部分相軌跡擴(kuò)大并向齒面截面左側(cè)移動(dòng)，如圖11（e）、圖11（g）所示，齒面碰撞次數(shù)增加了一次。當(dāng)載荷增大至F4=0.116 6時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生逆倍化分岔，其TLE等于0，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)遷為1-1-0。當(dāng)F=0.177 1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生擦切，其相圖、映射圖與動(dòng)態(tài)嚙合力如圖11（i）、圖11（j）所示。當(dāng)F＞F5=0.177 1時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)為1-0-0，不發(fā)生脫嚙、齒面碰撞和齒背碰撞，其相對(duì)位移大于齒側(cè)間隙的一半，動(dòng)態(tài)嚙合力始終大于0，如圖11（k）和圖11（l）所示。

圖10 系統(tǒng)隨載荷F增大時(shí)的分岔圖及TLE圖Fig.10 Bifurcation diagram and TLE spectrum with the increase in load F

圖11 系統(tǒng)的相圖、Poincaré映射圖及動(dòng)態(tài)嚙合力Fig.11 Phase diagram,Poincaré mappings and the dynamic engaging force of the system

可見，當(dāng)載荷較大時(shí)，面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)和振動(dòng)特性相對(duì)穩(wěn)定。當(dāng)載荷系數(shù)較小時(shí)，系統(tǒng)出現(xiàn)分岔和混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的振動(dòng)特性變得復(fù)雜；雖然載荷系數(shù)較小時(shí)仍存在周期運(yùn)動(dòng)，但系統(tǒng)運(yùn)行過程中會(huì)發(fā)生脫嚙，這也是需要避免的。

4 結(jié)論

（1）根據(jù)面齒輪嚙合原理和受力分析，建立了考慮重合度、載荷分配率、綜合傳動(dòng)誤差、時(shí)變嚙合剛度等時(shí)變參數(shù)的面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)6自由度彎扭擺非線性動(dòng)力學(xué)模型。該模型可用于研究動(dòng)態(tài)嚙合力、嚙合狀態(tài)及其非線性動(dòng)力學(xué)，有助于面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)齒廓變形和齒廓修形的研究。

（2）由于單對(duì)齒和雙對(duì)齒的交替嚙合，動(dòng)態(tài)嚙合力發(fā)生波動(dòng)，動(dòng)態(tài)嚙合力的波動(dòng)會(huì)導(dǎo)致嚙合狀態(tài)發(fā)生變化。當(dāng)嚙合狀態(tài)變化時(shí)，動(dòng)態(tài)嚙合力發(fā)生突變。這是面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中出現(xiàn)振動(dòng)與噪聲的根本原因。

（3）當(dāng)載荷較大時(shí)，面齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)特性和振動(dòng)特性穩(wěn)定而簡單；載荷較小時(shí)，會(huì)出現(xiàn)復(fù)雜的多狀態(tài)嚙合特性。