高清冉，劉波，趙國正

(濟源職業(yè)技術學院 機電工程學院，河南 濟源 459000)

一、蝸桿蝸輪減速機優(yōu)化設計基礎

蝸桿蝸輪減速機是一種動力傳遞機構，利用蝸桿蝸輪嚙合的大傳動比，將電機(馬達)的高轉速一次性快速減小到低轉速，大幅提高轉矩。在傳遞動力與運動的機構中，由于蝸桿蝸輪傳動工作平穩(wěn)、噪聲小、結構緊湊，還可以實現(xiàn)自鎖等優(yōu)點，蝸桿蝸輪減速機的應用范圍相當廣泛[1]。但一般的蝸桿蝸輪由于相對滑動速度較大，蝸輪磨損嚴重，故蝸輪齒圈常需用貴重的錫青銅等耐磨金屬材料制造。為了降低制造材料成本，在蝸桿蝸輪減速機的優(yōu)化設計中，常以降低蝸輪齒圈體積作為設計目標。

某礦運送礦渣的帶式運輸機用單級普通圓柱蝸桿減速機，其輸入功率P=10 kW，轉速n=1450 r/min，傳動比i=20，單向傳動，載荷無沖擊(載荷系數(shù)K=1.1)。蝸桿選用低碳合金鋼20 CrMnTi，芯部調(diào)質處理，齒面滲碳淬火，硬度大于45 HRC；蝸輪選用錫青銅 ZCuSn10Pb1，金屬模鑄造。蝸輪齒圈的許用接觸應力σH=220 MPa。按照設計要求對蝸輪齒圈體積進行優(yōu)化設計，并設計蝸桿蝸輪尺寸。

二、建立數(shù)學模型

(一)確定齒圈體積計算公式

注：b—齒寬；de—齒圈外徑；d0—齒圈內(nèi)徑；da—齒頂圓直徑；df—齒根圓直徑。

根據(jù)機械設計手冊[2]，確定計算項目及其計算公式如表1所示。

表1 計算項目及其計算公式

根據(jù)表中幾何尺寸，計算齒圈體積V：

(二)確定設計變量

由齒圈體積的計算公式可知，齒圈體積是關于蝸桿頭數(shù)z1、模數(shù)m、直徑系數(shù)q和傳動比i的函數(shù)，通常傳動比i是設計已知量，因此取z1、m、q作為設計變量[3]：

(三)確定目標函數(shù)

齒圈體積作為目標函數(shù)，寫成式(1)：

(1)

(四)確定約束條件

1.確定接觸約束條件

由機械設計手冊，確定蝸輪齒面接觸疲勞強度條件：

其中T2是蝸輪的扭矩，單位N·mm，σH為蝸輪的許用接觸應力，單位MPa。把z2=i×z1，x1=z1，x3=q帶入上式，整理后得到接觸約束條件式(2)：

(2)

蝸輪的齒根彎曲疲勞強度：由于蝸輪的抗彎能力強，不容易發(fā)生輪齒折斷，通常不進行蝸輪齒根彎曲強度計算[4]。

2.確定蝸桿剛度約束條件

蝸桿工作時，其最大撓度y小于等于0.001d1=0.001mq，即

蝸桿支承跨度L≈0.9d2=0.9miz1；

彈性模量E=2.1×105MPa

157.5πx22x3(x3-2.4)4≤0。

(3)

3.確定蝸桿頭數(shù)約束條件

對于蝸桿動力傳動，通常取z1=2～4，所以有

g3(X)=x1-4≤0，

(4)

g4(X)=2-x1≤0。

(5)

4.確定模數(shù)約束條件

對于蝸桿動力傳動，為了保證輪齒的抗彎能力[5]，中輕載要求3≤m≤5，所以有

g5(X)=x2-5≤0，

(6)

g6(X)=3-x2≤0。

(7)

5.確定蝸桿直徑系數(shù)約束條件

通常取5≤q≤18，因此有

g7(X)=x3-18≤0，

(8)

g8(X)=5-x3≤0。

(9)

由上面分析可知式(1)—式(9)組成蝸桿蝸輪的優(yōu)化設計數(shù)學模型[6]。該數(shù)學模型是由2個性能約束和6個邊界約束組成的三維非線性規(guī)劃問題，共有8個不等式約束。

(五)建立優(yōu)化設計數(shù)學模型

f(X)=0的解一般通過代數(shù)幾何來求解，s.t.是英文“subject to”的縮寫，意為“受約束于”[7]。優(yōu)化設計問題的數(shù)學模型包括N維設計變量X、約束條件(g(X)≤0或h(X)=0)和目標函數(shù)f(X)三要素，其數(shù)學模型實質是優(yōu)化問題的數(shù)學抽象，在滿足所有約束條件的情況下，求解N維設計變量X，使設計目標函數(shù)達到最優(yōu)[8]。最優(yōu)化問題一般稱為“數(shù)學規(guī)劃問題”，求解約束非線性規(guī)劃問題的MATLAB 函數(shù)是它要求目標函數(shù)、約束函數(shù)和函數(shù)梯度都是連續(xù)的，該函數(shù)根據(jù)初始值來進行梯度步長收斂，能夠搜索到局部最優(yōu)解[9]。這時蝸桿蝸輪非線性規(guī)劃問題優(yōu)化設計的數(shù)學模型表示為：

三、編寫程序

程序根據(jù)傳動比i=20，選取蝸桿頭數(shù)z1=2，查表選取模數(shù)m=5，q=18，則初始點X0=[2，5，18]T，根據(jù)設計變量的邊界條件、約束條件的變量系數(shù)矩陣和常數(shù)向量，編制目標函數(shù)wg_f和約束函數(shù)wg_g。

計算蝸桿傳動的動力參數(shù)前，先計算蝸桿傳動效率[10]：

(一)編寫動力參數(shù)程序

蝸桿蝸輪動力參數(shù)程序如下：

K=1.1；P1=6；n1=1450；i=20；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt(i)；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1

用MATLAB運行結果如圖2所示。

圖2 蝸桿蝸輪動力參數(shù)

(二)蝸桿蝸輪約束優(yōu)化

1.建立目標函數(shù)文件wg_f.m

function f=wg_f(x)；

i=20；psi_e=1.5；psi_b=0.75；

a1=pi*psi_b*x(2)^3*(x(3)+2)/4；

a2=(i*x(1)+psi_e+2)^2；

a3=(i*x(1)-4.4)^2；

f=a1*(a2-a3)；

end

2.建立約束函數(shù)文件wg_g.m

function[g，geq]=wgcd_g(x)；

K=1.1；P1=6；n1=1450；i=20；sigma_HP=220；

eta=1-0.035*sqrt(i)；T1=9550*P1/n1；T2=i*eta*T1；

g(1)=K*T2*(15150/(i*x1*sigma_HP))^2-x(2)^3*x(3)；

g2_1=0.729*i^3*x(1)^3*sqrt((2*T1/(x2*x3))^2+，

(2*T2*tan(pi/9)/(i*x1*x2))^2)；

g2_2=157.5*pi*x2^2*x3*(x3-2.4)^4；

g(2)=g2_1-g2_2；

g(3)=x1-4；

g(4)=2-x1；

g(5)=x2-5；

g(6)=3-x2；

g(7)=x3-18；

g(8)=5-x(2)；

geq=[]；

end

3.函數(shù)優(yōu)化

非線性規(guī)劃設計程序編寫：

x0=[2；5；18]；

lb=[2；3；5]；

ub=[3；5；18]；

A=[]；b=[]；

Aeq=[]；beq=[]；

[x，fval]=fmincon(@wg_f，x0，A，b，Aeq，beq，lb，ub，@wg_g)；

蝸桿蝸輪傳動優(yōu)化結果如圖3所示。

圖3 目標函數(shù)優(yōu)化結果

約束函數(shù)最優(yōu)解的函數(shù)值如圖4所示。

圖4 約束函數(shù)優(yōu)化結果

(三)計算蝸桿蝸輪主要尺寸

根據(jù)機械設計手冊，編寫如下程序：

z1=input(‘ z1=’)；

m=input(‘ m =’)；

q=input(‘q =’)；

Vz=wg_f([z1m q])；

fprintf(‘ Vz = %3.4f mm^3 〗n’，Vz)

d1=q*m；z2=i*z1；d2=z2*m；

a=0.5*(d1+d2)；

da1=d1+2*m；da2=d2+2*m；

df1=d1-2.4*m；

b1n=2*round((8+0.06*z2)*m/2)；

gama=atan(z1/q)；

Sn=0.5*pi*m*cos(gama)；

psi_e=1.5；psi_b=0.75；

b2m=round(psi_b*da1)；

de2m=da2+psi_e*m；

運行程序，輸入z1=3，m=5，q=8后得到優(yōu)化后的齒圈體積 Vz= 692787.4481mm3。

蝸桿蝸輪的幾何尺寸如圖5所示。

圖5 蝸桿蝸輪幾何尺寸

四、結語

X0=[z1，m，q]T=[2，5，18]T，初始蝸輪齒圈體積V0=wg_f(x0)；運行程序，得到蝸輪初始齒圈體積V0= 920226.4844mm3。而最優(yōu)結果X=[z1，m，q]T=[3.000，5.000，7.7277]T，fmin(X)= 673921.3360mm3，極小點滿足約束條件。取值z1=3，m=5，q=8后得到優(yōu)化后的齒圈體積 Vz= 692787.4481mm3。根據(jù)機械設計手冊，優(yōu)化結果結合國家標準，規(guī)范取值為z1=3，m=5，q=10，作為優(yōu)化后實際標準取值，此時得到實際優(yōu)化齒圈體積Vz= 831344.9377mm3，和初始值蝸輪齒圈體積V0相比，優(yōu)化設計湊整后的解是原設計結果的 0.9034倍，齒圈體積明顯縮小。其縮小的主要原因是增加了蝸桿頭數(shù)Z1，降低了蝸桿直徑系數(shù)q，降低了蝸桿齒頂圓直徑da1，而蝸輪齒寬b隨著da1的降低而降低，從而得到減小齒圈體積Vz的目的。由上述設計結果可知，用MATLAB設計蝸桿蝸輪減速器，主要幾何尺寸設計能夠通過編寫m文件運行程序完成；設計中用非線性規(guī)劃優(yōu)化齒圈體積降低重量，在滿足使用要求的前提下，不僅降低了制造成本，同時使減速器結構也更加緊湊。