安徽省淮北市第一中學(xué) (235000) 王 旭

數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)能力中的基本能力，學(xué)生通過運(yùn)算可以促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì)，養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神[1].其中圓錐曲線一直是高考數(shù)學(xué)的重難點(diǎn)，是考察學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)、邏輯推理以及直觀想象的重要載體，在此基礎(chǔ)上，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力有較高的要求.

針對(duì)學(xué)生的答題情況，本文以2021年全國乙卷的第21題為例，對(duì)其進(jìn)行深度解析與適當(dāng)延展，就高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)進(jìn)行思考.

1 真題再現(xiàn)

已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M:x2+(y+4)2=1上點(diǎn)的距離的最小值為4．

(1)求p；(2)若點(diǎn)P在M上，PA、PB是C的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

2 試題分析

本題涉及到拋物線和圓兩種二次曲線，第(1)問比較簡(jiǎn)單，只需要對(duì)已知條件進(jìn)行代數(shù)轉(zhuǎn)化即可求解.第(2)問涉及到P、A、B三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分析可知當(dāng)點(diǎn)P確定時(shí)，切點(diǎn)A、B也就隨之確定，所以△PAB面積的變化是由點(diǎn)P主導(dǎo)的.第(2)問的解答主要存在以下幾種問題：

問題一：求解三角形面積的最值問題，在選擇面積公式后不知道如何確定主元；問題二：設(shè)切線PA、PB的直線方程，利用傳統(tǒng)的三角形面積公式求解，但在求解過程中不會(huì)處理切點(diǎn)弦AB所在的直線方程；問題三：用k1,k2分別表示切線PA、PB的斜率，但不會(huì)處理這兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系.

3 解法剖析

易得第(1)問中p=2.下面重點(diǎn)討論第(2)問.

思路一：設(shè)點(diǎn)求直線，利用導(dǎo)數(shù)求切線.

思路二：巧用切點(diǎn)弦直線方程，優(yōu)化運(yùn)算過程.

思路三：以方程作為切入點(diǎn)，利用函數(shù)思想簡(jiǎn)化計(jì)算.

思路四：以切點(diǎn)作為切入點(diǎn)，利用參數(shù)方程簡(jiǎn)化計(jì)算.

4 教學(xué)啟示

4.1 逐本溯源，把握問題本質(zhì)

一題多解可以有效地幫助學(xué)生探究題目中蘊(yùn)含的本質(zhì)，建構(gòu)知識(shí)之間的聯(lián)系，尋找通式通法，探究問題本質(zhì)，也可以幫助學(xué)生連接知識(shí)網(wǎng)絡(luò).這道題考察的是拋物線中阿基米德三角形的面積問題，阿基米德三角形的相關(guān)性質(zhì)和結(jié)論也備受高考試題和模擬題的青睞，在近幾年的考試中屢次出現(xiàn).

比較上述兩題，也是涉及到阿基米德三角形的面積問題，由此我們可以歸納出阿基米德三角形面積的一般解法，從切線方程入手，得到兩條切線的交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用弦長(zhǎng)公式求得切點(diǎn)弦長(zhǎng)，繼而得到面積的表達(dá)式，如以變式1為例其解為：

4.2 優(yōu)化運(yùn)算，發(fā)展核心素養(yǎng)

在《中國高考評(píng)價(jià)體系》中提出“高考‘立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)’的核心功能”[2]，高考客觀上對(duì)于高中教學(xué)具有很重要的引導(dǎo)作用，對(duì)高考題目的研究可以判斷相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的考法以及對(duì)來年高考命題的把握，因此研究高考題目對(duì)高三的復(fù)習(xí)備考至關(guān)重要.在高三備考中，教師應(yīng)教會(huì)學(xué)生如何將題目中的條件“翻譯”為幾何語言以及代數(shù)語言，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言進(jìn)行表達(dá)解題的策略和方法.解析幾何是將幾何問題代數(shù)化，用數(shù)表形，用形轉(zhuǎn)化數(shù)，在例題講解中可以引導(dǎo)學(xué)生在運(yùn)算時(shí)邊觀察邊轉(zhuǎn)化，減少不必要的運(yùn)算.

提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不僅僅是單純的計(jì)算技能的培養(yǎng)，更是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的必要條件.因此教學(xué)中應(yīng)樹立正確的數(shù)學(xué)運(yùn)算觀.同時(shí)要養(yǎng)成學(xué)生良好的運(yùn)算習(xí)慣.并且教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)學(xué)生應(yīng)堅(jiān)持練習(xí)，不輕言放棄.波利亞在《怎樣解題》一書中提到：“教學(xué)生解題是意志的教育”，面對(duì)較為復(fù)雜的運(yùn)算時(shí)學(xué)生堅(jiān)持不懈地進(jìn)行處理，獲得的不僅僅是克服困難后收獲的喜悅，更是在培養(yǎng)自身不言放棄的品質(zhì).