浙江省安吉縣孝豐高級中學 (313301) 汪本旺

1.深度教學的涵義

哈爾莫斯說：“學習數學的唯一方法是做數學”．適度的解題是學好數學的必不可少的教學環(huán)節(jié)，因此，教師應該選擇啟發(fā)性的好題，創(chuàng)設合適的教學情境，提出合理的教學問題，引發(fā)學生思考與交流，形成和發(fā)展學生的素養(yǎng)過程．同時在追求發(fā)展學生核心素養(yǎng)背景下，明確問題，實施深度教學，引導深度學習．

深度教學不是指無限增加知識難度和知識量，是克服對知識的表層學習、表面學習和表演學習，以及對知識的簡單占有和機械訓練的局限性，基于知識的內在結構，通過對知識完整深刻的處理，引導學生從符號學習走向學科思想和意義系統(tǒng)的理解和掌握，并導向學科素養(yǎng)的教學．它要求學習者深度理解知識內涵，主動建構個性化的知識系統(tǒng)和意義系統(tǒng)，并有效遷移運用于解決真實情鏡中的問題，追求在獲得知識意義、建立學科思想、發(fā)展學科能力、豐富學科經驗的基礎上養(yǎng)成學科核心素養(yǎng)[1]．

如何在習題課課堂中落實深度教學呢？本文以“阿波羅尼斯圓”這節(jié)習題課為例，談談如何在習題課課堂中去落實的深度教學．

2.深度教學的習題課案例分析

2.1引例點撥

師：很好！解答過程有問題嗎？

師：生2，你能解決此問題嗎？

師：非常漂亮！同學們還有其他的方法嗎？

師：掌聲鼓勵下！本題方法較多，生3的方法尤為簡潔，將三角問題轉化為解析幾何問題，進而快速解決.

設計意圖：通過引例讓學生初步感受點P滿足PA=k·PB的軌跡方程，從而引出阿氏圓概念.

2.2 追本溯源

波利亞先生說過：“有些題目的解答就像魔術師帽子里的兔子，不知道從哪里冒出來的，這些想法是如何想到的？揭示了這類問題的本質，我們就能站在更高位置來看待這個問題，問題就迎刃而解.”

事實上，這類問題來源是人教版必修二P124,B3和人教版必修二P144,B2：

2.(人教版必修二P144,B2)已知點M與兩個定點M1，M2距離的比是一個正數m，求點M的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形(考慮m=1和m≠1兩種情形).

教師給出阿波羅尼斯圓定義：

師：我們如何求出點P的軌跡方程？我們求軌跡方程的一般步驟是什么呢 ？

生4：建系、設點、分析動點滿足的條件、帶入化簡、最后驗證．

師：生4，你是如何建系求出點P的軌跡方程？

圖1

設計意圖：教材是復習備考的依據，脫離了教材，數學復習就像無源之水，而復習參考資料則是教材的補充，復習資料是為了幫助學生把握教材的重難點，把所學知識體系構建框架，提高分析和解決問題的能力．以教材為依據，能夠讓學生明確本節(jié)課知識重點和難點，教師依據教材，結合考綱要求和復習資料，能夠精心的編寫講義，同時能夠起到整合歸類，查漏補缺的作用．

2.3 思維萌芽

題型一已知兩個定點A、B和比值λ，求方程.

已知A(-1,0),B(2,0)，動點P滿足PB=2PA,求點P的軌跡方程．

學生獨立思考完成，最后一起給出答案：(x+2)2+y2=4．

題型二已知兩個定點A、B和方程，求比值λ.

已知A(-1,0),B(2,0)，動點P在圓(x+2)2+y2=4上運動，問是否存在λ使得PB=λPA(λ≠1)．

生5：λ=2.

師：很好！你如何處理的.

生5：由上一題直接知道答案.

師：非常聰明，如何不借助于上一題，同學們覺得又如何處理.

題型三已知一個定點A、方程和比值λ，求另一個定點.

已知A(-1,0)，圓(x+2)2+y2=4上運動，問是否存在點B使得對圓上任意一點P總有PB=2PA．

生7：不妨取P(0,0),由PB=2PA得B(2,0).

師：這種做法可行嗎？它能滿足對圓上任意的點P都成立嗎？

生8：可行的，由題型二我們知道它能滿足對圓上任意的點P都成立.

設計意圖：研究發(fā)現，數據分析是數學中的重要內容，在數學教學中，教師可以引導學生從大量的數據分析中得出明確的定義，這樣得出的概念理解具有可信度，學生不僅容易理解而且不容易忘記，也能較容易地將概念應用到不同的情境中.

2.4 能力提升

師：你是怎么知道點E的具體位置呢？

生9：其實很簡單，當點P運動到線段BC與圓的交點處，記為點F，則FC=2,所以EF=1,BE=1.

師：很好！其本質考查了阿氏圓的四個核心要素相互轉化，即已知一個定點、方程和比值λ，求另一個定點.

圖2 圖3

學生獨立思考，然后提出了兩種處理方法：

到底選擇哪種處理方法呢？還是兩種都可以？

設計意圖：本例考查阿氏圓四個核心要素的相互轉化，意在讓學生體會當一成不變的模仿無法解決新問題時，該如何思考、如何變通、如何作出適合新問題的調整，發(fā)散學生的思維，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力.

2.5 揭露本質

師：回到圖1，同學們可以分別計算OB、OP、OA的長度，你們發(fā)現什么？

師：也就是說，阿氏圓中隱藏著一個很重大的秘密：△OPB∽△OAP.因此，我們可以利用相似三角形線段之比去處理系數不相等問題.

圖4 圖5

設計意圖：通過變式的設計，讓學生對阿氏圓的理解不在停留在知識表面，而是有更加深刻的理解，即阿氏圓隱藏著相似三角形.我們可以利用相似三角形線段之比去處理系數不相等問題.

2.6 陌上花開

師：通過剛才的學習，同學們能否解決這道向量題呢？它蘊含的本質是什么呢？

同學們思考片刻后，大部分同學得到如下解答：

師：那么接下來如何轉化呢？

師：為什么不采取CE=2CB？

圖6 圖7 圖8

設計意圖：通過解決開篇提出的問題，首尾呼應.培養(yǎng)學生數學直覺，提升數形幾何，探索論證能力，升華知識技能進一步舉一反三.

2.7 小結歸納

師：你能總結下我們本節(jié)課主要解決哪類問題？

生12：我們可以解決形如：PC+k·PD最值問題.

師：很好！那么它的結構特點是什么？我們解題策略是什么？

生13：動點的軌跡是圓，常常采用構造相似.

師：利用阿氏圓解決PC+k·PD最小值的一般步驟有哪些？

3.高中數學習題課深度教學的反思

3.1 有利于發(fā)展學生的高階思維

在習題課的深度教學中，學生在面對問題時，能把原來的知識和技能進行組合，以形成解決當前問題的一種整體的技能，或者對原來的技能進行修正，以解決目前的問題．學生通過對問題的觀察，不斷檢驗上述技能是否能解決，不斷地修正假設．如果已有的知識和技能并不能解決問題，就會對新的方法提出假設并進行嘗試．如果成功，學生會考慮是否有類似的例子可以拓展，并發(fā)展新的理論．從認知學理論看，學生這種活動就是一種由各種認知技能與行為組成的復雜的心理過程，包括關聯(lián)、抽象、理解、推理、分析、綜合等.這就涉及到學生的高階思維能力．

3.2 有利于培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

在習題課的深度教學中，透過問題情境的改變，培養(yǎng)學生的數學思考、推理、交流、分析和判斷等關鍵能力．學生在認識數學、探索數學乃至創(chuàng)造數學的過程中，能建立起積極的學習態(tài)度，正確的價值觀，實現用數學的眼光看待現實世界，用數學的語言表達現實世界，用數學的思維分析現實世界，最終培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)．