張 樂，袁訓(xùn)鋒，雷 健，譚小東

（商洛學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，商洛 726000）

量子失協(xié)包括量子體系中的糾纏量子關(guān)聯(lián)和非糾纏量子關(guān)聯(lián)， 而量子糾纏是量子通信與量子計(jì)算的重要資源［1］。 作為一種非局域關(guān)聯(lián)，量子糾纏是量子通信區(qū)別于經(jīng)典通信的重要特征， 人們借助量子糾纏能夠完成在經(jīng)典領(lǐng)域中無法完成的工作， 如量子遙傳和量子密鑰分發(fā)等［1］。 人們?cè)J(rèn)為量子糾纏是量子信息技術(shù)超越其他經(jīng)典技術(shù)的根本原因，但近期的研究結(jié)果表明， 量子關(guān)聯(lián)可能比量子糾纏更基礎(chǔ)、更廣泛［2］。 量子關(guān)聯(lián)包括糾纏關(guān)聯(lián)和非糾纏關(guān)聯(lián)，也就是說，糾纏只是一種特殊的量子關(guān)聯(lián)。 從理論上講， 非糾纏量子關(guān)聯(lián)可以幫助人們確定量子計(jì)算 加 速DQC1 方 案［3-4］和 尋 找 量 子 搜 索 算 法［5-6］，目前，非糾纏量子關(guān)聯(lián)已通過實(shí)驗(yàn)［7］得到驗(yàn)證。 2001年，H. OLLIVIER 等［8］通過引入量子失協(xié)度量量子系統(tǒng)中非經(jīng)典關(guān)聯(lián)的總和(包括糾纏和非糾纏)。這一研究引起了人們的極大興趣， 他們相繼提出了各種度量方法，這些方法包括基于測(cè)量的度量方法［9-10］和基于相對(duì)熵的度量方法［11］以及幾何量子失協(xié)［12-13］等。研究成果表明，諸如核磁共振(NMR)系統(tǒng)［14］、冷原子系 統(tǒng)［15］、光 子 系 統(tǒng)［16-17］、囚 禁 離 子 系 統(tǒng)［18］和 自 旋 系統(tǒng)［19-20］等都存在量子失協(xié)現(xiàn)象。 量子失協(xié)與量子相變［21-22］、正 定 映 射 演 化［23］和 量 子 態(tài) 廣 播［24］等 緊 密 相關(guān)，在量子密碼術(shù)［25］、量子態(tài)遠(yuǎn)程制備［26］和生物系統(tǒng)模擬［27］等方面有著廣泛的應(yīng)用。另外，量子失協(xié)的動(dòng)力學(xué)研究結(jié)果表明，在馬爾科夫環(huán)境中，量子失協(xié)比量子糾纏具有更強(qiáng)的抗退相干能力［16,28］。 因此，研究量子失協(xié)有助于加深對(duì)量子信息論的理解， 有助于推動(dòng)量子信息技術(shù)的發(fā)展。

將固態(tài)量子系統(tǒng)應(yīng)用于微納加工工藝， 有利于大規(guī)模集成和擴(kuò)展， 這是研發(fā)量子元器件的重要途徑。 描述自旋量子間相互作用的自旋鏈在光晶格［29-30］、囚 禁 離 子［31-32］、超 導(dǎo) 量 子 比 特［33-34］和 核 磁 共振［35］等在物理系統(tǒng)中均有體現(xiàn)，自旋鏈模型中的量子失協(xié)也是應(yīng)用物理的重要研究?jī)?nèi)容。 一維伊辛、XY 和XXZ 等自旋鏈系統(tǒng)都是可以精確求解的［36-37］，它們?cè)谘芯繌?qiáng)關(guān)聯(lián)物理系統(tǒng)和系統(tǒng)臨界行為方面起著重要作用。 已有的研究結(jié)果表明，利用量子失協(xié)能有效探測(cè)一維自旋鏈系統(tǒng)的量子相變點(diǎn)［21-22,38-40］。 在更深入的研究中，人們還考慮了外場(chǎng)作用［41］、三體作用［42-43］、Dzyaloshinskii-Moriya 作 用［44-46］和 熱 波 動(dòng)［38］等對(duì)一維自旋鏈系統(tǒng)中量子失協(xié)的影響。

一維海森堡-伊辛自旋鏈系統(tǒng)是可以精確求解的。 E. LIEB 等［36］求出了該系統(tǒng)的基態(tài)，找到了系統(tǒng)的量子相變臨界點(diǎn)。 TAN X. D.等［47］利用量子重正化群方法研究了該系統(tǒng)基態(tài)中的量子糾纏， 發(fā)現(xiàn)量子糾纏的一階導(dǎo)數(shù)在系統(tǒng)的量子相變點(diǎn)處存在發(fā)散行為。 S. KHAN 等［48］利用同樣的方法研究了該系統(tǒng)基態(tài)中的量子失協(xié)現(xiàn)象， 探測(cè)到了該系統(tǒng)的量子相變點(diǎn)。以上研究主要集中在基態(tài)方面，而關(guān)于熱平衡態(tài)方面的研究還比較少。在本文中，我們研究了一維海森堡-伊辛自旋鏈模型中的量子失協(xié)的度量及其性質(zhì)， 導(dǎo)出了任意兩自旋粒子間量子失協(xié)的解析表達(dá)式，通過數(shù)值計(jì)算結(jié)果分析了溫度、海森堡-伊辛相對(duì)耦合強(qiáng)度和橫向磁場(chǎng)對(duì)量子失協(xié)的影響。

1 模型與兩體約化密度矩陣

2 量子失協(xié)

該定義是由H. OLLIVIER 等最先引入的， 它被稱為量子失協(xié)（Quantum Discord），其度量記為QD。

圖1 不同尺 度 自旋鏈中 QD (? )曲線

圖2 不同尺度自旋鏈中 dQD dt曲線

圖3 ln(2??) 與 ln( L)的擬合 曲 線

圖4 h? 0時(shí) QD (? 隨 ?和 kT 的變化情況

圖5 h ? 0.5時(shí) QD (? 隨 ?和 kT 的變化情況

圖6 h? 1時(shí) QD (? 隨 ?和 kT 的變 化 情況

圖7 h? 2時(shí) QD (? 隨 ?和 kT 的變化情況

圖8、圖9、圖10 和圖11 給出了不同溫度下QD(?2i?1,2i)隨耦合強(qiáng)度? 和 橫向磁場(chǎng)h的變化情況。 從圖8 可以看出，當(dāng)kT? 0時(shí)，對(duì)于給定的h，QD(?2i?1,2i)總是隨著? 的增大而減小，對(duì)于給定的小 ?，QD(?2i?1,2i)隨著h 的增大而減小，當(dāng)伊辛作用比較強(qiáng)時(shí)，QD(?2i?1,2i)不是h 的單調(diào)遞減函數(shù)，在h?0附近，先隨h 的增大而迅速增大，后隨h 的增大而緩慢變小。 從圖9 可以看出，當(dāng)kT? 0.5時(shí)，QD(?2i?1,2i)的變化情況與kT?0時(shí)的類似，但其峰值有所降低，在強(qiáng)伊辛作用下，QD(?2i?1,2i)在h?0附近增加得比較緩慢。 從圖10可以看出，當(dāng)kT?2.5時(shí)，熱波動(dòng)對(duì)量子關(guān)聯(lián)的破壞作用增強(qiáng)，QD(?2i?1,2i)的峰值降到0.3 以下。 從圖11 可以看出，當(dāng)kT? 5時(shí)，由于強(qiáng)熱波動(dòng)的影響，QD(?2i?1,2i)變化比較劇烈，這說明相應(yīng)的量子失諧已被破壞。

圖8 kT? 0時(shí) QD ( )隨 ?和h 的變化情況

圖9 kT? 1時(shí)Q D (? 隨 ?和h的變化情況

圖10 kT ? 2.5時(shí) QD (? 隨 ?和h 的變化情況

圖11 kT? 5時(shí) QD (? 隨 ?和h 的變化情況

圖12、圖13、圖14 和圖15 給出了不同耦合強(qiáng)度 ? 下QD(?2i?1,2i)隨溫度kT和橫向磁場(chǎng)h 的變化情況。 從圖12 可以看出，當(dāng)? ?0時(shí)，相鄰兩個(gè)自旋粒子間只有海森堡作用，QD(?2i?1,2i)隨溫度kT和橫向磁場(chǎng)h 的增大而減小。 從圖13 可以看出，當(dāng)? ?1時(shí)，QD(?2i?1,2i)也有所減小， 且與 ? ?0時(shí)的情況類似。 從圖14 可以看出，當(dāng) ? ?2時(shí)，在低溫條件下，QD(?2i?1,2i)隨h 的增大出現(xiàn)小范圍的波動(dòng)。 從圖15可以看出， 當(dāng) ? ? 3時(shí)，QD(?2i?1,2i)隨h 的波動(dòng)行為更加明顯。

圖12 ? ? 0時(shí) QD (? )隨 kT 和h 的變化情 況

圖13 ? ? 1時(shí) QD (? )隨 kT 和h 的 變化情況

圖14 ? ? 2時(shí) QD (? )隨 kT 和h 的變化情況

圖15 ? ? 3時(shí) QD (? 隨 kT和h 的變化情況

以上結(jié)果主要是由耦合強(qiáng)度 ?、溫度kT 和橫向磁場(chǎng)h 相互競(jìng)爭(zhēng)引起的。

根據(jù)以上結(jié)果，可以得出以下結(jié)論。

當(dāng)溫度和磁場(chǎng)一定時(shí)， ?取值較小時(shí)海森堡作用占據(jù)主導(dǎo)地位，量子整體上呈反鐵磁序，量子關(guān)聯(lián)較大；但隨著 ?的增大，伊辛作用占據(jù)主導(dǎo)地位，相鄰的反鐵磁耦合粒子對(duì)之間的耦合作用將抑制量子的反鐵磁序，削弱量子關(guān) 聯(lián)，即QD(?)隨 著 ?的增大而減小。

3 結(jié)束語

在本文中，我們研究了一維海森堡-伊辛自旋鏈模型中的兩體量子失協(xié)的性質(zhì)， 分析了溫度、 海森堡-伊辛相對(duì)耦合強(qiáng)度和橫向磁場(chǎng)對(duì)最近鄰反鐵磁耦合的兩自旋粒子間量子失協(xié)的影響， 得出了以下結(jié)論： 在絕對(duì)零度下，QD 的一階導(dǎo)數(shù)的極小值點(diǎn)在系統(tǒng)的量子相變點(diǎn)附近存在標(biāo)度行為； 隨著溫度升高和耦合強(qiáng)度增大，QD 不斷變小； 當(dāng)伊辛作用足夠強(qiáng)和溫度比較低的條件下，QD 在橫向磁場(chǎng)中將表現(xiàn)出明顯的波動(dòng)行為。