蔡安江，王瑞遠

（西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055）

剃齒齒形中凹誤差是齒輪傳動產生振動、噪聲和降低齒輪使用壽命的主要因素之一，研究剃齒齒形中凹誤差對制造高精度齒輪滿足科技發(fā)展要求有著重要意義。

目前，國內外剃齒齒形中凹誤差的研究主要集中在剃齒嚙合點載荷、誘導法曲率、相對滑移速度、彈塑性變形量、剃削力和安裝誤差等單因素對剃齒齒形中凹誤差的影響及其形成機理。Zhang等[1-2]對交錯軸螺旋齒輪的嚙合情況和載荷分布進行研究，認為載荷分布不均是引起齒形中凹誤差的重要原因；Hsu等[3-4]通過分析剃齒加工的接觸狀態(tài)來研究徑向剃齒對齒面誤差的影響。蔡安江等[5-7]基于齒面承載接觸分析技術（LTCA）技術分別從齒面載荷、接觸變形與剃削力等因素分析了齒形中凹誤差的形成機理，認為嚙合點的塑形變形是齒形中凹誤差出現(xiàn)的主要原因。姚文席等[8]分別從齒面的相對滑移速度和誘導法曲率兩個因素分析了齒形中凹誤差的形成機理，認為節(jié)圓處剃削量過多是齒形中凹誤差的形成原因。文獻[9-10]在考慮剃齒安裝誤差的情況下研究了各參數(shù)對齒面誤差的影響，并提出齒輪安裝誤差的改進方法；吳震宇等[11]分析了安裝誤差下刀具和工件之間的相對運動關系來研究安裝誤差對齒廓形狀誤差的影響；文獻[12-13]通過對包含安裝誤差的齒面方程與理論齒面方程對比分析，得到了機床各調整參數(shù)誤差與全齒形法向偏差的變化規(guī)律。實際上單因素研究很難去揭示剃齒齒形中凹誤差的形成機理，更難以從理論上對剃齒過程產生齒形中凹誤差的規(guī)律進行定量研究，因此多因素耦合分析對剃齒齒形中凹誤差的研究與預測具有重要意義。

本文基于齒輪嚙合原理建立了含剃齒安裝誤差的剃齒分析模型，引入單次切削面積，建立了包含重合度、機床運動參數(shù)和安裝誤差的剃齒齒形中凹誤差多源耦合預測模型；通過分析剃齒齒形中凹誤差與嚙合點單次切削面積的關系來研究剃齒齒形中凹誤差的形成機理。

1 建立剃齒分析模型

剃齒加工中，剃齒刀和工件齒輪的軸交角誤差ΔΣ 、中心距誤差Δa和 兩個高速軸的同步誤差Δω1和 Δω2都會反應到工件的齒向誤差上[12]，因此針對這4個誤差參數(shù)建立剃齒嚙合點幾何模型如圖1所示。

圖1 含安裝誤差的剃齒嚙合幾何模型

考慮幾何模型中的安裝誤差參數(shù)，根據(jù)剃齒刀與工件齒輪的運動關系推導出嚙合點的相對滑動速度V為

其中

式中：(x,y,z)為 嚙合點在坐標系S中的坐標；Σ為剃齒刀與工件齒輪的軸交角；a為中心距；ω1為剃齒刀的角速度；ω2為 工件齒輪的角速度；v02為工件齒輪的軸向進給速度。

根據(jù)空間幾何關系相對滑移速度V在刀刃垂直方向上的分量切削速度V1為

式中： β1、β2分別為剃齒刀與工件齒輪的螺旋角。

安裝誤差會使嚙合點位置發(fā)生變化，根據(jù)齒輪嚙合原理可以求出改變后的嚙合點軌跡方程為[13]

式中：r(1)為剃齒刀在坐標系S1中 的齒面方程；M21為坐標系S1到 坐標系S2的 轉換矩陣； (u,θ)為齒面的曲線參變數(shù)。嚙合點處沿刀齒方向的誘導法曲率K為[14]

根據(jù)位置改變后的齒輪嚙合軌跡方程可以確定

式中：rb1為 剃齒刀基圓半徑；λ為齒廓的轉角參變數(shù)；P為剃齒刀齒面的螺旋參數(shù)。

背吃刀量由徑向進給量、嚙合點壓下量和輪齒的彎曲程度決定，剃齒時嚙合點的背吃刀量ap為

式中：Δfr為剃齒刀每次徑向進給量，當工件齒輪總切削余量已知時，該值由徑向進給次數(shù)確定；δc為嚙合點的壓下量；δw為嚙合點輪齒的總彎曲量。

剃齒刀單次徑向進給量Δfr和嚙合點的壓陷量δc分別為[15]：

式中：Δ為剃齒切削余量；α為剃齒法向壓力角；e為剃齒刀容屑槽槽距與槽寬之比；ci取決于兩接觸曲面主曲率大小及兩主曲率方向之間的夾角；Fnc為嚙合點垂直切削刃的作用力。

因為斜齒輪彎曲變形計算非常復雜，將工件齒輪簡化為直齒變截面懸臂梁模型，如圖2所示。假設齒輪左右齒面的嚙合點分別為A和B，則嚙合點A處的彎曲變形δw[16]為

圖2 工件齒輪變截面懸臂梁模型

式中：δFAAw、δFBAw分 別為FA和FB沿y軸方向上的分力對A點的彎曲變形，F(xiàn)A、FB分別為嚙合點A、B受到的剃齒徑向力。

由于剃齒加工是無間隙的切削加工運動，中心距誤差Δa會直接影響剃齒過程中的背吃刀量，根據(jù)空間幾何關系可以求出剃齒加工背吃刀量誤差Δap為

最終求得剃齒時每次徑向進給的背吃刀量ap為

該模型由于同時考慮安裝誤差、相對滑移速度、誘導法曲率和背吃刀量，可以更全面地分析所有因素對剃齒加工的影響，為剃齒加工的多因素耦合打下基礎。

2 齒形中凹誤差預測模型

2.1 剃齒嚙合點單次切削面積

重合度、安裝誤差和機床運動等因素均是影響剃齒齒形中凹誤差的重要因素，基于剃削原理將這些因素耦合為單次切削面積，進而可以通過單次切削面積來研究多因素耦合對剃齒齒形中凹誤差的影響規(guī)律。

根據(jù)剃削原理可知：剃齒是在單點嚙合的同時對工件的側表面進行刮剃加工，工件齒輪每轉動一周剃齒刀在嚙合點處進行一次切削加工，將這次切削加工定義為嚙合點單次切削加工。考慮到剃齒各嚙合點之間的切削要素完全不同，基于傳統(tǒng)正交切削模型建立剃齒嚙合點單次切削模型，其中單次切削的實體模型如圖3a）所示，嚙合點A經歷的開始接觸-背吃刀量最大-結束接觸3種接觸狀態(tài)模型如圖3b）所示。這3種接觸狀態(tài)對應的剃齒刀轉角分別為φ1、φ2、φ3，單次切削面積指的是在嚙合點單次切削加工中工件齒廓側表面被剃除的面積。求解嚙合點的單次切削面積，需推導出嚙合點處實際背吃刀量a′p關 于誘導法曲率K、切削速度V1和剃齒刀轉角φ 的函數(shù)。

圖3 剃齒嚙合點單次切削模型

根據(jù)嚙合點A在開始接觸狀態(tài)和結束接觸狀態(tài)的實際背吃刀量為0，可知剃齒刀轉角φ1、 φ2、φ3之間滿足：

式中s(φ)為切削刃上嚙合點距離剃齒刀齒根的弧長。

單次切削過程中的切削長度l為

聯(lián)立式（15）和式（16），得單次切削面積U為

2.2 建立剃齒齒形中凹誤差預測模型

在剃齒加工中，剃齒齒形中凹誤差一般通過測量工件齒輪齒廓的形狀偏差值來表示。齒廓的形狀偏差是指在計量范圍內，包容實際齒廓跡線的兩條與平均齒廓跡線完全相同的曲線間的距離，既齒廓的形狀偏差由實際齒廓軌跡上的最高點和最低點決定。考慮到嚙合點單次切削面積與實際齒廓軌跡的深度成負相關，將嚙合點單次切削面積的最大值和最小值作為影響齒廓形狀偏差的關鍵因素，通過遺傳算法改進BP神經網(wǎng)絡（GA-BP）來建立剃齒齒形中凹誤差的預測模型。

遺傳算法改進BP神經網(wǎng)絡（GA-BP）是通過遺傳算法（GA）的搜索最優(yōu)解功能來優(yōu)化BP神經網(wǎng)絡中初始神經元之間的權值和閾值的選擇，其流程圖如圖4所示。

圖4 遺傳算法改進BP神經網(wǎng)絡流程圖

由于篇幅問題只對適應函數(shù)的計算進行詳細說明。由于遺傳算法搜索的是預測誤差平方和最小的網(wǎng)絡閾值和權值,且遺傳算法只能朝適應度函數(shù)值越來越大的方向進化,故選擇均方誤差（MSE）的倒數(shù)作為適應度函數(shù)，則

式中：f(x)為 適應度函數(shù)；T為期望輸出；O為實際輸出；N為輸入樣本數(shù)。

3 討論及分析

3.1 模型驗證

由于剃齒齒形中凹誤差常發(fā)生在小模數(shù)齒輪和重合度小于2的剃齒加工中，根據(jù)齒輪手冊[17]選取齒數(shù)為17、模數(shù)為4.2333、壓力角為20°、變位系數(shù)為0.0468的小模數(shù)工件齒輪，并基于齒輪刀具設計與選用手冊[18]選取4組不同重合度的剃齒刀，如表1所示。

表1 剃齒刀參數(shù)

根據(jù)齒輪手冊[17]選定剃齒加工的主軸轉速n范圍為5.33 ～ 12.47 r/s，徑向進給速度V徑范圍為3.3 ～5.8 μm/s，軸向進給速度V軸范圍為0.43 ～ 1.21 mm/s，根據(jù)工程實際分別選取主軸轉速為6 r/s、8 r/s、10 r/s、12 r/s、徑向進給速度為3.3 μm/s、3.9 μm/s、4.5 μm/s、5.8 μm/s和軸向進給速度為0.5 mm/s、0.6 mm/s、0.85 mm/s、1 mm/s。假設中心距誤差范圍為0.01 ～0.06 mm，軸交角誤差范圍為0.1° ～ 0.7°，兩個高速軸的同步誤差范圍為0.01 ～ 0.05 r/min，分別對機床的位移、角度和速度參數(shù)進行微調，并用微調參數(shù)來表示實際的安裝誤差。選取表1中的4組剃齒刀參數(shù)分別在YW423剃齒機上試剃工件齒輪，應用萬能齒輪測量儀GM3040a對剃后齒輪進行齒形齒向檢測，并采用相同微調參數(shù)對應的安裝誤差、剃齒刀參數(shù)以及機床運動參數(shù)來計算剃削過程中的單次切削面積。

為選取合理的樣本，基于單一變量原則選用24組參數(shù)組合，通過加工實驗得到24組工件齒輪左右齒面齒形中凹誤差實測值及其中心位置齒廓展開角，考慮左右齒面的對稱性，選取其中14組右齒面實驗測量值作為預測模型的訓練數(shù)據(jù)樣本，剩余10組右齒面實驗測量值作為模型的驗證數(shù)據(jù)樣本。

在MATLAB中建立剃齒齒形中凹誤差預測模型，其中輸入?yún)?shù)為單次切削面積的最大值Umax、最小值Umin和 最大值對應齒廓展開角 θmax，輸出參數(shù)為剃齒齒形中凹誤差值E和中凹誤差中心位置齒廓展開角θ，隱含層節(jié)點數(shù)為10，訓練步長為10000，目標誤差設置為0.0001，學習效率為0.01。

表2為仿真預測值與實測值的對比誤差，由表2可知中凹誤差預測值與實測值的最大誤差為9.35%、最大誤差值為2.2 μm、平均誤差為6.93%，中凹誤差中心位置預測值與實測值的最大誤差為3.89%、最大誤差值為1.09°、平均誤差為2.19%。對比結果說明預測模型對剃齒齒形中凹誤差值和中凹誤差中心位置具有較高的預測精度，驗證了預測模型的可行性與準確性。

表2 仿真預測值與實測值的誤差

3.2 單次切削面積對剃齒齒形中凹誤差的影響

為了研究單次切削面積對剃齒齒形中凹誤差的影響，對剃齒齒形中凹誤差值及其中心位置隨單次切削面積的變化規(guī)律進行了分析，如圖5和圖6所示。

圖5表明，工件齒輪的齒形中凹誤差隨著單次切削面積的增大而增大，當單次切削面積超過一定值后齒形中凹誤差減少。這說明了過量切削是剃齒齒形中凹誤差形成的主要原因，且單次切削面積與中凹誤差值關系曲線中存在極大值點，極大值點對應的剃齒齒形中凹誤差值最大，故選取剃削參數(shù)時應該避免單次切削面積極大值點的出現(xiàn)。剃齒加工是多刀刃的重復切削，而每次切削加工產生的齒形中凹會導致中凹位置的誘導法曲率減小，即中凹位置后續(xù)的實際單次切削面積不斷減小。當中凹位置的單次切削面積小于其兩側時，齒形中凹誤差會產生修正現(xiàn)象，而中凹位置的初始單次切削面積越大，其后續(xù)單次切削面積的減小速度就越快，所以當初始單次切削面積超過一定值時會出現(xiàn)齒廓偏差的修正現(xiàn)象。

圖5 單次切削面積與中凹誤差值關系曲線

圖6 表明，齒形中凹誤差的中心位置與最大單次切削面積的位置基本重合，隨著單次切削面積的增大其中心位置逐漸向齒頂移動。其原因為：最大單次切削面積的位置決定了中凹誤差的中心位置；當嚙合點徑向力增加時，齒頂側的彎曲變形增長速度比齒根側的大，使得齒頂側單次切削面積增長速度也偏大，導致齒面整體單次切削面積增大時最大單次切削面積的位置向齒頂移動。

圖6 單次切削面積與中凹誤差中心位置關系曲線

3.3 切削參數(shù)對單次切削面積的影響

為分析各切削參數(shù)對單次切削面積的影響，基于單一變量原則選取12組切削參數(shù)計算得出最大單次切削面積，如表3所示。

表3 不同切削參數(shù)的最大單次切削面積

當剃齒嚙合的重合度從1.6548增加到1.7112時，單次切削面積減小；當重合度繼續(xù)增加到1.8294時，單次切削面積增大。這是因為重合度的增大會導致誘導法曲率的減小和切削長度的增大，當重合度大于一定值時切削長度變化的影響要大于誘導法曲率變化的影響，即過大的重合度會導致單次切削面積增大，增大了剃齒齒形中凹誤差。

剃齒的徑向進給速度和軸向進給速度與剃齒單次切削面積成正相關，主軸轉速與剃齒單次切削面積成負相關。這是因為徑向進給速度越大，嚙合點的背吃刀量越大，單次切削面積也就越大；軸向進給速度越大，嚙合點的切削速度越大，單次切削面積也就越大；主軸速度越大，嚙合點的相對滑移速度越大，單次切削面積也就越小。剃齒的軸交角誤差、中心距誤差和高速軸同步誤差與剃齒單次切削面積成正相關，其中軸交角誤差和中心距誤差對剃齒單次切削面積的影響最明顯，高速軸的同步誤差對剃齒單次切削面積的影響幾乎可以忽略。這是因為增加軸交角誤差和中心距誤差都會直接增加單次切削過程中實際的背吃刀量，導致單次切削面積快速增大。

4 結論

1）建立了同時考慮安裝誤差、相對滑移速度、誘導法曲率和背吃刀量的剃齒分析模型，基于剃削原理將剃齒加工過程中的多源因素耦合為嚙合點單次切削面積，為剃齒加工多因素耦合分析提供了一種新方法。

2）通過遺傳算法改進BP神經網(wǎng)絡（GA-BP）建立了剃齒齒形中凹誤差預測模型，預測結果與實驗測試結果比較可知，剃齒齒形中凹誤差預測值和中凹誤差中心位置預測值的平均誤差分別為6.93%和2.19%，驗證了預測模型的可行性和準確性。

3）切削參數(shù)對剃齒單次切削面積有著直接的影響，可以通過增大重合度、主軸轉速以及減小徑向進給速度、軸向進給速度、軸交角誤差和中心距誤差等方式來減小剃齒的單次切削面積，達到控制剃齒齒形中凹誤差的效果。

4）定量分析了剃齒齒形中凹誤差的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)單次切削面積過大是引起剃齒齒形中凹誤差形成的主要原因，剃齒齒形中凹誤差與單次切削面積成正相關，中凹誤差的中心位置會隨著單次切削面積的增大向齒頂移動。