廣東省東莞市第六高級中學(xué)(523000)劉發(fā)榮

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)中的一種重要的思想方法,它是邏輯劃分思想在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用.這種數(shù)學(xué)思想幾乎涉及高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的各個部分,一直是高考導(dǎo)數(shù)試題的熱點問題,也是高考導(dǎo)數(shù)試題的易錯點.

在運用分類討論思想解決含參導(dǎo)數(shù)問題時,找分類討論的“分類臨界點”, 何時分、怎么分、分幾類是學(xué)生解題的難點,理解的重點,解題的易錯點.學(xué)生容易出現(xiàn)對參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)的不明確,合理討論參數(shù)的“分類臨界點”,對參數(shù)的精準(zhǔn)分類,做到“不重不漏”是分析解決函數(shù)問題的關(guān)鍵前提.

下面以人教版A 版高中數(shù)學(xué)新教材選擇性必修第二冊第五章復(fù)習(xí)參考題5 中的第19 題為例,運用分類討論思想探究含參導(dǎo)數(shù)問題.

1 問題呈現(xiàn)

在新教材中, 有這樣的一道課后題: 已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)有兩個零點,求a 的取值范圍.

對于第(1)問,要討論單調(diào)性,首先對函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x 進行求導(dǎo),即f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(ae2x-1)(2ex+1),令f′(x)= 0,則從這里起,就出現(xiàn)分類討論的“分類臨界點”思考.

2 問題探究

令f′(x)=0,則,即x=-ln a,但此方程的根不一定存在,需對參數(shù)a 的大小進行討論,明確函數(shù)y = f(x)是否存在極值點,從而求出f(x)的單調(diào)性.

這里就涉及“根的存在性”的分析探究.若a ≤0, 方程f′(x)= 0 無根,則f′(x)= (ae2x-1)(2ex+1)＜0,所以函數(shù)y = f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減.若a ＞0, 由f′(x)= 0 得x = -ln a.當(dāng)x ∈(-∞,-ln a)時,f′(x)＜0;當(dāng)x ∈(-ln a,+∞)時,f′(x)＞0,所以,函數(shù)y = f(x)在(-∞,-ln a)上單調(diào)遞減,在(-ln a,+∞)上單調(diào)遞增.

3 思維運用

新教材這道課后題考核了“根的存在性”和“分類臨界點”.此題求導(dǎo)后的導(dǎo)函數(shù)可以使用“十字相乘法”,令方程f′(x)= 0 得出,即x = -ln a,由于對數(shù)中真數(shù)必為正數(shù),就出現(xiàn)了極值點是否有意義的分類思考,因此對參數(shù)a進行分類討論,研究導(dǎo)函數(shù)方程根的存在性問題.類似這樣的分類討論思想求解函數(shù)單調(diào)性是近年高考中導(dǎo)數(shù)的熱點問題,也是學(xué)生的易錯問題,接下來對近幾年高考中考核此類問題的題目進行進一步的思考、探究和反思.

特例1已知函數(shù)f(x)=(ax2+bx+c)ex在[0,1]上單調(diào)遞減且滿足f(0)= 1,f(1)= 0,設(shè)g(x)= f(x)-f′(x),求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值.

對于上述這種極值點是否在定義域內(nèi)的“存在性”問題,可以轉(zhuǎn)化為“動軸定區(qū)間”的問題進行分類討論.

特例3(2016年全國新課標(biāo)I 卷)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.討論f(x)的單調(diào)性.

思考2016年全國新課標(biāo)I 卷導(dǎo)數(shù)壓軸題考核了“根的存在性”、“根的大小”兩種“分類臨界點”.令f′(x)= (x-1)(ex+2a)= 0, 則x = 1 或x = ln(-2a).出現(xiàn)了x = ln(-2a)這個極值點是否有意義的問題, 因此對參數(shù)a 進行分類討論,研究導(dǎo)函數(shù)的根的存在性問題.當(dāng)a ＜0 時,極值點x = 1 及x = ln(-2a)的大小關(guān)系不明確,需要對“根的大小”作分類.

分析3現(xiàn)已求出方程g(x)= 0 有兩個不相等的根分別為x1,x2,下面需要對兩個根的大小關(guān)系進行分析.由于a ＜0,所以x2＜x1.

思考此題同時對“二次函數(shù)結(jié)構(gòu)x2的系數(shù)a”、“二次方程的判別式Δ”、“根的大小”及“根的存在性”四種“分類討論點”進行分析探討,學(xué)生不僅要找準(zhǔn)分類討論的標(biāo)準(zhǔn),還要明確分類討論的層級,保證條理分明,層次清晰,對所討論的參數(shù)取值范圍做到“既不重復(fù),又不遺漏”.

4 反思總結(jié)

基于分類討論思想的含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題是高考卷中熱點考核題型之一,分類討論需要做到全面、周到、簡捷,解題步驟錯綜復(fù)雜,要求邏輯思維有條理性.在運用分類討論思想解決含參數(shù)導(dǎo)數(shù)問題時,常常需對不同的情況進行分類,“二次函數(shù)結(jié)構(gòu)的系數(shù)”、“二次方程的判別式”、“根的大小”及“根的存在性”是其中四種“分類討論點”.

4.1 明確討論的緣由

這是處理分類討論問題的關(guān)鍵: 為什么要分類討論? 只有明確了討論的原因,才能全面準(zhǔn)確地進行分類.上述的“二次函數(shù)結(jié)構(gòu)x2的系數(shù)a”、“二次方程的判別式Δ”、“根的大小”及“根的存在性”四種“分類臨界點”,都是由于在解題過程中,遇到不明確的情況,討論判別式與0 之間的關(guān)系、零點的個數(shù)等,從而根據(jù)實際情況進行分類討論.

4.2 理清討論的線索

此類基于分類討論思想的含參數(shù)導(dǎo)數(shù)試題,對于參數(shù)的“分類臨界點”可謂你中有我,我中有你.雖然錯中復(fù)雜,但還是有依可循.按照先“二次函數(shù)結(jié)構(gòu)x2的系數(shù)a”,再“二次方程的判別式Δ”,接著“根的存在性”,最后“根的大小”這樣的順序進行分類討論,對所討論的參數(shù)取值范圍做到“既不重復(fù),又不遺漏”.另外,多個分類標(biāo)準(zhǔn)同時出現(xiàn)的時候,應(yīng)該逐個突破,不能重疊.