曹 慧， 段 富 海

(大連理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 遼寧 大連 116024)

0 引 言

復(fù)雜退化系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)組成部件數(shù)目較多，各部件間存在著明顯的結(jié)構(gòu)特征，如串/并聯(lián)、冗余、k-n、橋等.受環(huán)境、負(fù)載、老化等問題影響，系統(tǒng)部件的性能特征逐漸退化直至失效.系統(tǒng)常配備連續(xù)監(jiān)測部件，如傳感器、計量儀表等，能夠?qū)崟r獲取系統(tǒng)部件退化狀態(tài)數(shù)據(jù)信息.當(dāng)復(fù)雜系統(tǒng)執(zhí)行到某退化狀態(tài)需進(jìn)行維修操作，但由于維修資源有限，如維修時間和成本有限，不能同時對所有系統(tǒng)部件進(jìn)行適當(dāng)維修操作時，可采用選擇性維修策略[1].

復(fù)雜退化系統(tǒng)的選擇性維修方式主要有更換性維修和預(yù)防性維修兩種.更換性維修使系統(tǒng)“修復(fù)如新”，是完美的維修方式.而預(yù)防性維修可將系統(tǒng)恢復(fù)到介于“修復(fù)如新”和“如舊”的中間狀態(tài)，是一種非完美的維修方式.在實(shí)際工程應(yīng)用中，這兩種維修方式可以描述大部分的維修活動.Nakagawa[2]率先在風(fēng)險率或役齡模型中引入改善因子來描述預(yù)防性維修的非完美屬性，提出了一種結(jié)合風(fēng)險率模型和役齡退回模型優(yōu)點(diǎn)的混合模型.Pandey等[3]和Liu等[4]基于混合模型，討論了考慮預(yù)防性維修的復(fù)雜系統(tǒng)選擇維修問題.在上述研究中，預(yù)防性維修的改善因子通常假定為常數(shù).實(shí)際上，由于維修人員的專業(yè)水平、工具和維修環(huán)境等因素的限制，系統(tǒng)維修質(zhì)量往往是隨機(jī)的.針對這一問題，Duan等[5]提出一種基于隨機(jī)維修質(zhì)量的系統(tǒng)選擇性維修模型.然而，該模型忽略了系統(tǒng)部件以往維修情況對維修質(zhì)量的影響.在退化系統(tǒng)的維修決策中，系統(tǒng)部件的維修情況會影響其退化狀態(tài)，而系統(tǒng)部件的退化狀態(tài)直接影響了系統(tǒng)維修質(zhì)量.因此，在建立適用于退化系統(tǒng)的隨機(jī)維修質(zhì)量模型時，還應(yīng)充分考慮系統(tǒng)部件以往的維修情況.

綜上所述，本文以退化狀態(tài)可監(jiān)測的復(fù)雜系統(tǒng)為研究對象，提出基于部件隨機(jī)維修質(zhì)量的選擇性維修策略.該策略以系統(tǒng)執(zhí)行下一任務(wù)的預(yù)測可靠度為目標(biāo)建立維修優(yōu)化模型并利用遺傳算法(GA)搜索得到系統(tǒng)最優(yōu)維修決策，從而為決策者制訂合理的系統(tǒng)維修計劃提供理論支撐.

1 退化系統(tǒng)可靠度模型

1.1 系統(tǒng)部件可靠度模型

本文選擇Wiener過程作為刻畫部件性能退化過程的基礎(chǔ)模型.令隨機(jī)過程X(t)(t≥0)表示部件i的性能退化量.部件i的退化過程可用如下線性Wiener過程刻畫：

(1)

假設(shè)部件退化量Xi(t)累積到設(shè)定失效閾值li時發(fā)生退化失效，可定義部件失效時間Ti為退化量Xi(t)首次到達(dá)或超過失效閾值li的時間，即

Ti=inf{t|Xi(t)≥li，t≥0}

(2)

易知Ti應(yīng)服從逆高斯分布.

假設(shè)部件i運(yùn)行到時刻τ仍未失效，且當(dāng)前性能退化量為dτ，i(dτ，i

Tτ，i=inf{t|Xi(t+τ)≥li，Xi(τ)=dτ，i，t≥0}=

inf{t|Xi(t+τ)-Xi(τ)≥li-dτ，i，t≥0}=

inf{t|Xi(t)≥li-dτ，i，t≥0}

(3)

失效時間Tτ，i仍服從逆高斯分布，其密度函數(shù)只需將Ti密度函數(shù)中的失效閾值li替換為li-dτ，i即可.

由可靠度的定義可知，可靠度是在規(guī)定時間內(nèi)系統(tǒng)及部件能夠正常運(yùn)轉(zhuǎn)或服務(wù)正常的概率.因此，部件i的可靠度可表示為Ri(t)=1-Fi(t).即可得到部件i運(yùn)行到任意時刻τ時，關(guān)于時間t的預(yù)測可靠度，可表示為

(4)

1.2 系統(tǒng)可靠度分析模型

鑒于復(fù)雜退化系統(tǒng)的特點(diǎn)是系統(tǒng)部件數(shù)目較多，且各部件間存在著明顯的性能退化特征，本文采用GO法[6](goal oriented methodology)建立系統(tǒng)退化可靠性評估模型.GO法系統(tǒng)可靠性分析的過程是以操作符描述系統(tǒng)各部件，再以信號流連接操作符建立的系統(tǒng)GO圖模型.對系統(tǒng)GO圖進(jìn)行GO運(yùn)算，得到系統(tǒng)輸出狀態(tài)值和狀態(tài)概率，再評估系統(tǒng)可靠性[7-8].

2 退化系統(tǒng)選擇性維修策略

2.1 系統(tǒng)維修過程基本假設(shè)

根據(jù)退化系統(tǒng)的特點(diǎn)，需對系統(tǒng)選擇性維修過程做如下基本假設(shè)：

(1)系統(tǒng)由n(i=1，…，n)個部件組成，在系統(tǒng)運(yùn)行過程的任意時刻，描述部件性能退化狀態(tài)的累積退化量可通過傳感器監(jiān)測得到.

(2)系統(tǒng)進(jìn)入維修間隔期后，系統(tǒng)部件的退化進(jìn)程進(jìn)入停滯狀態(tài).維修人員可根據(jù)系統(tǒng)部件當(dāng)前的退化水平和故障狀態(tài)，對各部件執(zhí)行預(yù)防性更換或維修操作.各維修操作均可有效改善部件當(dāng)前的退化水平，改善程度與部件當(dāng)前退化水平有關(guān).

(3)經(jīng)更換性維修后，系統(tǒng)部件狀態(tài)恢復(fù)到完好狀態(tài).經(jīng)預(yù)防性維修后，系統(tǒng)部件恢復(fù)到介于完好狀態(tài)和當(dāng)前退化狀態(tài)的中間狀態(tài).

(4)系統(tǒng)采取的任何維修操作都在維修間隔期內(nèi)完成，執(zhí)行維修操作所需維修人員、備件充足，且維修過程不受維修地點(diǎn)和維修工具等的限制.

2.2 系統(tǒng)部件維修質(zhì)量模型

一般地，維修后系統(tǒng)部件的狀態(tài)取決于采取何種維修操作方式，且各種維修方式的維修質(zhì)量應(yīng)與分配給該部件的維修費(fèi)用和部件當(dāng)前的退化狀態(tài)有關(guān)[5].

(5)

(6)

式中：a、b是維修費(fèi)用的調(diào)整參數(shù)；ci表示部件i的維修費(fèi)用，cr，i表示部件i的更換性維修費(fèi)用，0

若系統(tǒng)部件已經(jīng)經(jīng)歷了多次預(yù)防性維修操作，部件i的預(yù)防性維修質(zhì)量隨預(yù)防性維修次數(shù)的增多而下降.此時，系統(tǒng)部件的維修質(zhì)量還應(yīng)與該部件已執(zhí)行維修操作的次數(shù)有關(guān).

(7)

式中：g是模型的調(diào)整參數(shù).γi表示部件i的維修次數(shù)，γi=1時，表示進(jìn)入當(dāng)前維修間隔期前，部件i未進(jìn)行預(yù)防性維修操作，且在當(dāng)前維修間隔期內(nèi)部件首次采取預(yù)防性維修操作時，式(7)與式(6)形式相同.

(8)

(9)

式中：g1、g2是模型的調(diào)整參數(shù).

(10)

累積分布函數(shù)可表示為

(11)

綜上所述，在預(yù)防性維修質(zhì)量隨機(jī)的條件下，若已知系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的時間為θk+1，則對于執(zhí)行第k次任務(wù)后退化量已知的任意系統(tǒng)部件i，根據(jù)式(4)可得該部件維修后，執(zhí)行第k+1次任務(wù)的預(yù)測可靠度：

(12)

2.3 維修費(fèi)用和時間模型

假設(shè)在系統(tǒng)第k次任務(wù)完成后的維修間隔期內(nèi)，若系統(tǒng)部件i被選擇執(zhí)行維修操作，則其要么更換，要么進(jìn)行預(yù)防性維修.且考慮到系統(tǒng)多個部件同時進(jìn)行維修時，存在正的經(jīng)濟(jì)相關(guān)性[9-10]，維修總費(fèi)用應(yīng)減去由共同維修多個部件節(jié)省的基本維修費(fèi)用.此時，系統(tǒng)總維修費(fèi)用表示為

(13)

式中：cs表示系統(tǒng)執(zhí)行維修操作的基本費(fèi)用；C(k)表示系統(tǒng)第k次任務(wù)完成后的維修間隔期內(nèi)，系統(tǒng)維修操作消耗的總費(fèi)用；cp，i表示部件i的預(yù)防性維修費(fèi)用，cr，i表示部件i的更換性維修費(fèi)用，0

同理，系統(tǒng)總的維修時間應(yīng)為所有選擇維修操作部件消耗的維修時間之和，表達(dá)式為

(14)

式中：T(k)表示系統(tǒng)第k次任務(wù)完成后的維修間隔期內(nèi)，執(zhí)行維修操作消耗的總時間；tp，i表示部件i的預(yù)防性維修時間，tr，i表示部件的更換性維修時間，0

2.4 維修優(yōu)化模型

在完成第k次任務(wù)進(jìn)入維修間隔期后，系統(tǒng)選擇性維修策略優(yōu)化過程為以系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的總維修費(fèi)用和總維修時間為約束，以最大化系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的預(yù)測可靠度為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，從全部系統(tǒng)部件中選擇亟待維修部件并確定其維修操作方式.選擇性維修優(yōu)化目標(biāo)模型可表示為

(15)

式(15)限制了系統(tǒng)總的維修費(fèi)用不能超過設(shè)定維修成本c0及系統(tǒng)總的維修時間不能超過設(shè)定維修時間t0.

本節(jié)采用遺傳算法(GA)解決退化系統(tǒng)選擇性維修目標(biāo)優(yōu)化問題[11].基于GA的維修優(yōu)化過程：首先，隨機(jī)生成包含所有系統(tǒng)部件維修決策信息的二進(jìn)制編碼向量作為初始種群.該維修決策向量的編碼方式如圖1所示.根據(jù)系統(tǒng)部件的維修選擇情況和維修方式，每個部件可分配2 bit空間，1 bit表示維修選擇變量Vi(k)，1 bit表示部件的維修方式變量εi(k).以圖1所示的n部件編碼結(jié)構(gòu)為例，部件1編碼為01，說明其未被選擇進(jìn)行維修；部件2編碼為11，說明其被選擇且進(jìn)行了預(yù)防性維修操作.根據(jù)系統(tǒng)部件的數(shù)量，種群中維修決策向量個體長度應(yīng)為2n，算法的搜索空間應(yīng)為22n.

其次，計算種群中各向量的適應(yīng)度，從種群中選擇滿足最優(yōu)適應(yīng)度的向量作為親本進(jìn)行交叉和變異操作.當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到設(shè)定值時，確定在相應(yīng)維修約束條件下，優(yōu)化目標(biāo)模型達(dá)到最優(yōu)值的維修決策向量.

3 算例分析

表1 系統(tǒng)部件退化狀態(tài)與維修資源參數(shù)

GA的優(yōu)化過程參數(shù)設(shè)置如下：種群大小設(shè)置為200，最大迭代次數(shù)g=300，交叉、變異概率設(shè)置為0.2.GA的迭代過程收斂性如圖3所示.算法優(yōu)化得到的系統(tǒng)最優(yōu)維修決策如表2所示.

由表2可知，考慮預(yù)防性維修時，系統(tǒng)維修的最優(yōu)決策為操作符5-1、5-2、1-12和1-17采取更換性維修操作，操作符5-3、1-14和1-15采取預(yù)防性維修操作，其余部件則未被選擇采取維修操作.此時，根據(jù)隨機(jī)維修質(zhì)量模型得到的系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的預(yù)測可靠度為0.839 5，系統(tǒng)維修所需的費(fèi)用為1 693美元，維修時間為175 h.

表2中還給出了在確定維修質(zhì)量模型(考慮、不考慮維修次數(shù)兩種情況)，以及不考慮維修次數(shù)時的隨機(jī)維修質(zhì)量模型等各種維修質(zhì)量模型下，系統(tǒng)的預(yù)測可靠度評估結(jié)果.通過比較可知，(1)考慮隨機(jī)維修質(zhì)量下，系統(tǒng)預(yù)測可靠度為0.846 2、0.839 5，分別高于同類確定質(zhì)量模型得到的系統(tǒng)預(yù)測可靠度0.01%、4.48%；(2)考慮維修次數(shù)的維修質(zhì)量模型得到的系統(tǒng)預(yù)測可靠度為0.794 7、0.839 5，相較同類模型不考慮維修次數(shù)時分別降低了5.14%、0.67%.

進(jìn)一步分析給定的維修資源總量大小對系統(tǒng)維修優(yōu)化結(jié)果的影響，以執(zhí)行第k+1次任務(wù)的系統(tǒng)最大化預(yù)測可靠度為優(yōu)化目標(biāo)時，最大預(yù)測可靠度相對維修費(fèi)用和維修時間敏感性如圖4所示.其中，將系統(tǒng)維修時間設(shè)定為175 h，令系統(tǒng)維修費(fèi)用在[1 300，1 900]美元內(nèi)以步長100美元逐漸增加，得到的系統(tǒng)最大預(yù)測可靠度在圖4(a)中給出.將系統(tǒng)維修費(fèi)用設(shè)定為1 700美元，令系統(tǒng)的維修時間在[135，195]h內(nèi)以步長10 h逐漸增加，得到的系統(tǒng)最大預(yù)測可靠度變化情況在圖4(b)中給出.

根據(jù)圖4可知，系統(tǒng)執(zhí)行第k+1次任務(wù)的最大預(yù)測可靠度隨給定的維修費(fèi)用和維修時間的增加而增大.圖4(a)中，系統(tǒng)預(yù)測可靠度的增大趨勢停止在1 600美元，隨后因受限于維修時間，隨著維修費(fèi)用的增加，系統(tǒng)的預(yù)測可靠度不再增大.類似地，在圖4(b)中，受限于維修費(fèi)用，系統(tǒng)預(yù)測可靠度隨維修時間的增長趨勢停止在185 h.

4 結(jié) 語

本文建立了以可靠度為中心的選擇性維修策略模型，并在所建立的維修決策模型中，充分考慮了系統(tǒng)非完美維修部件的隨機(jī)維修質(zhì)量對系統(tǒng)可靠性評估和維修決策的影響.根據(jù)航空發(fā)動機(jī)控制系統(tǒng)算例的仿真結(jié)果可知：(1)受維修次數(shù)的影響，部件隨機(jī)維修質(zhì)量水平降低，系統(tǒng)可靠度評估結(jié)果為0.839 5，相較于確定維修質(zhì)量的評估結(jié)果降低0.66%.(2)系統(tǒng)執(zhí)行下一任務(wù)的預(yù)測可靠度隨著維修資源水平的增加而增長.在某一維修資源為定值時，系統(tǒng)預(yù)測可靠度的增長幅度最終將因受限于該資源而趨于穩(wěn)定.可見，利用本文所提系統(tǒng)部件隨機(jī)維修質(zhì)量模型進(jìn)行系統(tǒng)可靠性評估，所得結(jié)果準(zhǔn)確有效，可用于指導(dǎo)后續(xù)系統(tǒng)維修決策.同時，基于隨機(jī)維修質(zhì)量的選擇性維修策略還可幫助維修決策者在制訂合理維修計劃的同時避免維修資源的浪費(fèi).