雷美妹

（福建省三明市尤溪縣東城中心小學(xué)，福建 三明 365100）

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。“數(shù)”是側(cè)重于數(shù)量關(guān)系，是符號(hào)的表達(dá)，而“形”則是側(cè)重于空間形式，是直觀的表達(dá)，二者各有各的特點(diǎn)、各有各的優(yōu)勢(shì)。“數(shù)”和“形”不是獨(dú)立存在的，充分利用兩者之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，以“數(shù)”研究“形”，以“形”表示“數(shù)”，就形成了數(shù)形結(jié)合。我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬(wàn)事休?！庇纱丝梢?jiàn)，數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)中的地位之重。

數(shù)形結(jié)合指的是數(shù)與形之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，主要包含兩點(diǎn)內(nèi)容，其一，以形助數(shù)。它對(duì)于代數(shù)知識(shí)的建構(gòu)，主要是通過(guò)圖形直觀化地呈現(xiàn)代數(shù)知識(shí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。其二，由數(shù)解形。通過(guò)圖形找尋代數(shù)關(guān)系，把復(fù)雜抽象的問(wèn)題以形象直觀的形式具體地表達(dá)出來(lái)，把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化、抽象問(wèn)題具體化，以最優(yōu)化的方式解決圖形問(wèn)題，并能深入理解所學(xué)知識(shí)，使學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力得以提升。

一、數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用在小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中的價(jià)值

（一）有助于將抽象的概念簡(jiǎn)單化

數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯性很強(qiáng)的學(xué)科，無(wú)論是對(duì)一些知識(shí)點(diǎn)概念的理解還是在解題過(guò)程中對(duì)數(shù)量關(guān)系的分析，都對(duì)學(xué)生的思維能力提出了較高的要求。小學(xué)階段，學(xué)生正處于從具體形象思維到抽象思維的過(guò)渡階段，特別是中高年級(jí)教材中往往會(huì)出現(xiàn)一些學(xué)生難以理解的知識(shí)點(diǎn)。如果教師沒(méi)有使用一定的教學(xué)方法，僅僅靠讓學(xué)生機(jī)械地記憶和背誦，則無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)點(diǎn)的深刻理解。例如，人教版三年級(jí)上冊(cè)第五單元《倍的認(rèn)識(shí)》的學(xué)習(xí)，學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)是通過(guò)作差進(jìn)行兩個(gè)數(shù)量關(guān)系的大小比較，這種比較方式會(huì)對(duì)本單元的學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)遷移，影響學(xué)習(xí)的效果。而學(xué)生在生活中雖然或多或少聽(tīng)說(shuō)過(guò)一些用來(lái)描述兩者之間數(shù)量關(guān)系的情景，但由于缺乏相關(guān)生活經(jīng)驗(yàn)，往往不能理解其中確切的含義。所以在教學(xué)過(guò)程中，教師可以利用數(shù)形結(jié)合思想，運(yùn)用合理有序的圖形排列，從對(duì)兩個(gè)數(shù)的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行比較引入。如果學(xué)生的回答是基于多少的比較，則教師可以結(jié)合圖形引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真觀察它們之間數(shù)量關(guān)系的規(guī)律，就是一個(gè)數(shù)里面包含了幾個(gè)的另一個(gè)數(shù)，由此引入“倍”的概念；接著運(yùn)用圖形的增加與減少，在標(biāo)準(zhǔn)量不變的情況下，變化被比較的量；被比較的量不變的情況下，改變標(biāo)準(zhǔn)量，通過(guò)這兩種情形的對(duì)比，讓學(xué)生深刻理解“倍”的概念，突破教學(xué)中的重難點(diǎn)。

（二）有助于幫助學(xué)生理清數(shù)量之間的關(guān)系

研究表明，小學(xué)階段學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解與分析，仍然要建立在充足、具體、直觀材料的基礎(chǔ)之上。而從中年級(jí)開(kāi)始，在教材和習(xí)題之中，文字、表格等描述方式逐漸取代了低年級(jí)的圖形表述，這對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)具有一定的挑戰(zhàn)，如果學(xué)生沒(méi)有學(xué)會(huì)一定的方法，則很難理清其中的數(shù)量關(guān)系。例如，在“已知一個(gè)量是另一個(gè)量的幾倍，求這個(gè)量”這節(jié)課當(dāng)中，有這樣的一個(gè)變式題：花店有紅花15 種，是黃花種類(lèi)的3 倍，花店有黃花多少種？很多學(xué)生所列的算式都是15×3=45（種），怎樣讓學(xué)生理清這個(gè)數(shù)量關(guān)系呢？這時(shí)候教師就可以通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生找出標(biāo)準(zhǔn)量，利用數(shù)形結(jié)合思想，用線段圖畫(huà)出紅花與標(biāo)準(zhǔn)量黃花之間的關(guān)系，學(xué)生就能輕而易舉地知道黃花的種類(lèi)了。而這一思想在人教版三年級(jí)上冊(cè)第六單元“用乘除法解決問(wèn)題”中得到了延續(xù)，教師可以先引導(dǎo)學(xué)生讀懂題目，找出不變的量，接著通過(guò)畫(huà)線段圖理清題意。在學(xué)習(xí)的最初階段，學(xué)生們會(huì)感覺(jué)到畫(huà)圖很困難，但熟練以后，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)這種方式對(duì)解題有著非常大的幫助，能讓他們體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)，影響到他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情。

（三）有助于學(xué)生找尋數(shù)學(xué)規(guī)律

“雙減”政策的出臺(tái)，對(duì)教師的教學(xué)水平提出了更高的要求，數(shù)學(xué)教師已不再可能用題海戰(zhàn)術(shù)加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，最直接的方式是通過(guò)提高課堂的效率實(shí)現(xiàn)。這就需要教師花更多的時(shí)間研究數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及對(duì)題型深入地剖析，通過(guò)一個(gè)題目的講解、變換，讓學(xué)生找出這一類(lèi)型題目的解題規(guī)律，從而達(dá)到舉一反三的目的。這樣的教學(xué)方式不僅能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，更能訓(xùn)練和提升學(xué)生的思維能力。例如，在“求組合圖形面積”的這部分知識(shí)里，如圖1 的題型是學(xué)生較難掌握的：已知圖1 中正方形的面積是10 平方厘米，求圓的面積。而如果學(xué)生能利用圖形找到解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵：圓的半徑與正方形的邊長(zhǎng)相等，要求圓的面積，只要把圓的半徑的平方看成一個(gè)整體，問(wèn)題就能迎刃而解了，不必糾結(jié)求不出半徑的長(zhǎng)度。只要找到了這個(gè)規(guī)律，解決如圖2：已知陰影部分的面積，求圓環(huán)的面積；圖3：已知三角形的面積，求圓的面積這類(lèi)問(wèn)題自然不在話下。

圖1

圖2

圖3

（四）有助于喚起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)美的追求

提起數(shù)學(xué)，很多人腦海里就會(huì)出現(xiàn)枯燥乏味一詞，很難把其與“美”聯(lián)系起來(lái)，這主要是受其高度抽象性、嚴(yán)密邏輯性的影響。其實(shí)很多人不知道，數(shù)學(xué)正是源于建筑中對(duì)美的追求而產(chǎn)生，以一種獨(dú)特的方式詮釋美學(xué)。早在2000 年前的古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就被整數(shù)的和諧美、圓和球體的對(duì)稱(chēng)美傾倒，稱(chēng)宇宙是數(shù)的和諧體系。利用數(shù)形結(jié)合，可以讓學(xué)生更形象、更生動(dòng)地獲得數(shù)學(xué)之美的體驗(yàn)，從而培養(yǎng)和提升學(xué)生的審美情趣和能力。而在教學(xué)過(guò)程中，教師要充分發(fā)掘和傳遞數(shù)學(xué)之美，讓學(xué)生在美的感受中提升追求真理的動(dòng)力，激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，這也是身為數(shù)學(xué)教育工作者的光榮使命。

二、數(shù)形結(jié)合在小學(xué)中高年級(jí)中的運(yùn)用策略

小學(xué)中高年級(jí)之后，隨著概念、公式和定理的增多，一些知識(shí)點(diǎn)的抽象性增強(qiáng)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的難度越來(lái)越大，如果在方法上沒(méi)有得到及時(shí)正確的引導(dǎo)，就可能導(dǎo)致對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的厭倦，留下難以彌補(bǔ)的遺憾。而數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用可以將抽象的問(wèn)題直觀化，通過(guò)圖形的方式將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，使學(xué)生的思路清晰明了，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展。但在實(shí)際教學(xué)中，筆者卻發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)“數(shù)形結(jié)合”的思想沒(méi)有內(nèi)化到平常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，遇到難題或較抽象的題時(shí)，部分學(xué)生選擇的是放棄或等待，等待教師的講解，這對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是極其不利的。那么在平時(shí)的教學(xué)中，“數(shù)形結(jié)合”思想在小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用策略呢？筆者認(rèn)為可以從以下幾方面入手。

（一）潛移默化滲透“數(shù)形結(jié)合”思想，提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效率

學(xué)生運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的意識(shí)不夠，和平常教師的教學(xué)方法有很大的關(guān)系，有可能是教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)不到位。在教學(xué)過(guò)程中，有些教師將解題過(guò)程和數(shù)形結(jié)合思想簡(jiǎn)單地進(jìn)行結(jié)合；而有些教師不到“萬(wàn)不得已”，不會(huì)使用數(shù)形結(jié)合的思想。事實(shí)上，除了解題過(guò)程，數(shù)學(xué)概念的界定、定理、公式等的學(xué)習(xí)，都隱含著數(shù)形結(jié)合的思想。以人教版小學(xué)六年級(jí)《圓柱的體積》一課為例。教師利用數(shù)形結(jié)合思想化抽象為直觀，就能讓學(xué)生更深刻地理解圓柱體積的概念和計(jì)算方法。首先，教師組織學(xué)生復(fù)習(xí)已經(jīng)學(xué)過(guò)的立體圖形的體積公式（長(zhǎng)方體、正方體）以及公式的推導(dǎo)過(guò)程后拋出問(wèn)題：“怎樣求圓柱的體積？你認(rèn)為可以從哪些方面進(jìn)行研究呢？”引發(fā)學(xué)生的思考。接著再引導(dǎo)學(xué)生觀察圓柱的底面特征，引導(dǎo)學(xué)生回憶圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，自然而然地把圓柱的體積和長(zhǎng)方體、正方體的體積聯(lián)系在一起。學(xué)生們已經(jīng)掌握了它們的體積可以統(tǒng)一用底面積乘高來(lái)計(jì)算，同時(shí)，他們也學(xué)會(huì)了“轉(zhuǎn)化”數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用，會(huì)嘗試把未知的知識(shí)轉(zhuǎn)化為已知。這時(shí)候教師再運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”的思想，利用學(xué)具讓學(xué)生動(dòng)手操作，經(jīng)歷圓柱體積的推導(dǎo)過(guò)程，加深學(xué)生對(duì)新知的理解，將“化圓為方，化曲為直”的數(shù)學(xué)思想植入學(xué)生的思維，為學(xué)生建立圓柱體初步的空間概念，從而提高學(xué)生知識(shí)遷移的能力。所以教師在日常教學(xué)工作中可以有意識(shí)地融入數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生在直觀的圖形、圖像中經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象的數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解和記憶，從而提升課堂的教學(xué)效率，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極性，使得學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程變得生動(dòng)有趣。

（二）積極倡導(dǎo)以形助數(shù)思想，提升學(xué)生對(duì)計(jì)算方法的理解

以形助數(shù)，就是通過(guò)形態(tài)的方式幫助學(xué)生了解數(shù)量之間的關(guān)系，將代數(shù)中的數(shù)量關(guān)系用形態(tài)的方式表征出來(lái)。運(yùn)用以形助數(shù)的方法，可以簡(jiǎn)潔直觀地把抽象的概念和定理以學(xué)生易于理解的方式表示出來(lái)，讓學(xué)生感受到，數(shù)學(xué)知識(shí)是可以通過(guò)不同的形式直觀形象地表現(xiàn)出來(lái)的，而不是死背算理和公式，艱澀難懂的甚至一些記不住的算理和公式還能通過(guò)幾何圖形的方式推導(dǎo)出來(lái)，從而啟發(fā)學(xué)生了解數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)與核心，以此促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的形成。

現(xiàn)在的數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)非常注重學(xué)生對(duì)算理的理解和掌握，以往那種把算法直接告訴學(xué)生，讓學(xué)生機(jī)械重復(fù)地訓(xùn)練就能提高成績(jī)的教學(xué)方法不適用了。所以在教學(xué)過(guò)程中讓學(xué)生運(yùn)用已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，以形助數(shù)，自主地探索計(jì)算方法，并將數(shù)運(yùn)算的計(jì)算過(guò)程和含義聯(lián)系起來(lái)，能加深學(xué)生對(duì)數(shù)的運(yùn)算方法的理解。例如，在教學(xué)《分?jǐn)?shù)乘除法》的計(jì)算時(shí)，要讓學(xué)生理解分?jǐn)?shù)乘除法的算理，知道為什么要把分子相乘的積作為積的分子、分母相乘的分母作為積的分母；除以一個(gè)不等于零的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。教師就很有必要運(yùn)用圖形直觀地把算理推導(dǎo)過(guò)程展示出來(lái)，把分?jǐn)?shù)乘除法的算理講明講透。最后，還可以運(yùn)用圖形對(duì)以上知識(shí)進(jìn)行鞏固：根據(jù)圖4 寫(xiě)一個(gè)分?jǐn)?shù)乘法算式和一個(gè)分?jǐn)?shù)除法算式。通過(guò)以數(shù)轉(zhuǎn)形，形再轉(zhuǎn)數(shù)，將分?jǐn)?shù)乘除的計(jì)算簡(jiǎn)單化，生動(dòng)直觀，易于掌握。

圖4

（三）引導(dǎo)學(xué)生靈活運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想，提高解題能力

小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題型增多、難度加大，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了更高的要求。在應(yīng)用題的解題過(guò)程中，經(jīng)常會(huì)有學(xué)生在讀題時(shí)出現(xiàn)不理解題意、不知道如何運(yùn)用已知條件得到問(wèn)題答案的情況。這時(shí)如果學(xué)生能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把題目中的數(shù)學(xué)語(yǔ)言通過(guò)圖形簡(jiǎn)潔明了地表達(dá)出來(lái)，則能幫助學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地把握問(wèn)題的關(guān)鍵，理清思路，促進(jìn)問(wèn)題的解決，同時(shí)也能增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。例如，小學(xué)六年級(jí)教學(xué)中常見(jiàn)的行程問(wèn)題：快、慢兩車(chē)從AB 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行，4 小時(shí)后相遇，相遇時(shí)距離AB兩地的中點(diǎn)為60 千米，此時(shí)慢、快兩車(chē)行駛的路程之比為2:3。AB 之間相距多少千米？對(duì)教師來(lái)說(shuō)，這類(lèi)的題型難度并不是很大，也是很常見(jiàn)的題型，如果學(xué)生能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合畫(huà)出圖5 線段，就能知道快車(chē)行駛的路程比總路程的1/2 多60km，而慢車(chē)行駛的是總路程的2/5，這樣就能輕易找到60km 對(duì)應(yīng)的率，利用量率對(duì)應(yīng)輕易列出算式：60÷（1/2-2/5）。如果這道題用方程來(lái)解，解題思路是一致的。但如果學(xué)生沒(méi)有正確掌握“數(shù)形結(jié)合”的思想，不運(yùn)用圖形分析問(wèn)題，則很難正確找出數(shù)量關(guān)系，學(xué)生解題的正確率則會(huì)大打折扣。所以教師要引導(dǎo)學(xué)生在遇到類(lèi)似的問(wèn)題一籌莫展之時(shí)，靈活運(yùn)用畫(huà)圖等方式直觀形象地分析問(wèn)題，能很大程度地提高解題的準(zhǔn)確性。

圖5

（四）培養(yǎng)學(xué)生建立“數(shù)形結(jié)合”思維，提升空間想象能力

空間想象能力在幾何學(xué)習(xí)的過(guò)程中有著重要的作用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不僅能夠幫助學(xué)生理解圖形公式的計(jì)算原理，對(duì)學(xué)生更直觀地了解幾何規(guī)律也有很大的促進(jìn)作用，它能幫助學(xué)生形象思維與抽象思維之間的轉(zhuǎn)換，提高學(xué)生的想象能力和數(shù)學(xué)思維能力。小學(xué)階段的空間觀念主要定位在空間表象層次上，小學(xué)高年級(jí)學(xué)生正處于具體形象思維到抽象概括思維的過(guò)渡階段，而高年級(jí)的教學(xué)內(nèi)容又要求學(xué)生有較高的抽象概括能力，在幾何教學(xué)中利用數(shù)形結(jié)合的思想，有利于提升學(xué)生的空間觀念，讓學(xué)生能在直觀與抽象之間輕松轉(zhuǎn)換。

三、結(jié)語(yǔ)

綜上所述，小學(xué)中高年級(jí)數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，不僅能幫助學(xué)生更好地理解、掌握抽象的數(shù)學(xué)概念，更深刻地理解算理，還能引導(dǎo)學(xué)生在遇到難題或較抽象的幾何題時(shí)，學(xué)會(huì)用畫(huà)圖方式直觀地表達(dá)題意，提高解題能力，發(fā)展空間想象能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。